전공소개

 

Stochastic Partial Differential Equations (SPDE in short):

 편미분방정식 (PDE)은 거시적인 관점에서 현상의 평균적인 움직임을  묘사한다. 반면 SPDE는 불규칙한 동력이 구현된 랜덤노이즈가 적용된 방정식으로  PDE를 포함하는 보다 일반적인 형태의 방정식이다. 쉽게 말하자면

    \[\text{SPDE theory=PDE theory+Probability}\]

이라고 할수 있다.

Deterministic and Stochastic  Science 비교:

PDE 와 SPDE 비교:

        

주요 연구되는 SPDE의 일반적인 형태는 Parabolic PDE인

    \[du=(Lu+f(u))dt, \,\,t>0\quad;\,\, u(0,\cdot)=u_0\]

를 일반화한

    \[du=(Lu+f(u))dt+\sum_k (\Lambda^ku+g^k(u))dW^k_t, \,\,t>0 \quad\, ;\,u(0,\cdot)=u_0\]

의 형태이다.  위에서 L, \Lambda^k는 (랜덤한) 미분연산자들이고 시리즈에 나타나는 것들은 확률과정(혹은 노이즈)들인 W^k_t에 대한 확률적분(stochastic integral)들이다.

예를 들어 parabolic PDE의 대표가 되는 열방정식(heat equation)

    \[ du=\Delta u \,dt \quad (i.e. \,\, u(t,x)=u(0,x)+\int^t_0 \Delta u(s,x)\,ds) \]

을 일반화하여, 랜덤 노이즈의 영향하에서의 열전도를 나타내는 확률열방정식(stochastic heat equation)

    \[ du=\Delta u \,dt + dW_t \quad (i.e. \,\, u(t,x)=u(0,x)+\int^t_0 \Delta u(s,x)\,ds +W_t) \]

 를 생각할 수 있다.   다른 재미있는 예로 확률나비아스톡스방정식을 생각해볼 수 있다.  확률나비아스톡스방정식(stochastic Navier-Stokes equation)은 정확히 측정 할 수 없는 불확실(random)한 외부의 힘이 흐르는 유체에 가해질 때 유체의 흐름을 설명하기 위한 모델로써 다음과 같은 형태이다:

    \[ du=(\nu \Delta u-(u \cdot \nabla)u-p)dt+ dW_t \]

여기서 u는 유체의 velocity, p는 pressure를 나타낸다.

확률편미분방정식의 해는  편미분방정식의 해가 가지는 해석학적 특성과 불확실성이 포함된 확률론적 성질을 동시에 가진다. 이로 인해 PDE 이론들에서 주로 다루어지는 존재성, 유일성, 정칙성(Regularity)의 문제들은 SPDE의 경우에 해가 가지는 불확실성 때문에  성질 규명에  많은 어려움이 수반된다. 가장 간단한 예를 든다면 구간 I=(0,10)에서 zero boundary condition과 initial data u(0,\cdot)=\sin \frac{2\pi x}{10}이 주어진 heat equation과  stochastic heat equation 의 해의 simulation은 다음과 같이 매우 다른 패턴을 보인다: