익산 정부론[5-6]

2조

2000130885 장영국

2006130661 오혜석

2007145020 박상우

2007145019 한정아

5.

- 방정 및 개방에서는 실은 하나이나 법은 여러 개일 수 있다.

-여러 개의 법 가운데 실과 같은 부호인 것이 있을 수 있으므로 반드시 정과 부를 밝혀야 한다.

5-1.

-두 가지 물건에 대한 연립 방정식은 두 물건을 법으로, 세 가지 물건에 대한 연립 방정식은 세 가지 물건을 법으로 하고, 네 가지와 다섯 가지 물건에 대한 연립 방정식도 모두 이와 같이 한다.

5-2.

-2차 방정식의 풀이에는 염과 우 두 층을 법으로 하고, 3차 방정식은 염, 우 세층을 법으로 한다.

4차 방정식과 5차 방정식도 모두 이를 따른다. 그러므로 실은 한 개이나 법은 여러 개라고 한다.

5-3.

-여러 가지 법 사이에 뺄셈이 있으면 수들의 부호는 섞인다.

-예를 들면, 2원 연립1차방정식에서 갑수(=x)의 몇 배(=ax)에서 을수(=y)의 몇 배(=by)를 빼고(-) 그 차를 어떤 수(=c)라 하자.

-이때, 을수를 법의 자리에 놓고 차를 실로 하여 더하면 갑수가 되어야 한다.

-그러므로 차(=c)와 실은 같은 것이 되므로 반드시 정부를 주어 갑수와 을수의 부호를 달리 하여야 한다.

5-4.

-또 예를 들면, 직사각형의 넓이(=c)와 두 변의 길이의 합(=b)이 주어졌을 때, 넓이(=c)는 실, 두 변의 길이의 합(=b)은 종렴(=1차항의 계수)이 되고, 1을 우(=2차항의 계수)로 하는 방정식을 얻는다.

-우인 1을 법의 자리에 놓으면, 1과 2차방정식의 근의 제곱을 곱한 것과 실을 합한 것이 종렴과 근을 곱한 것과 같아지므로, 실과 동류를 이루도록 반드시 정부를 주어 우 1과 1차항의 부호가 다르게 하여야 한다.

6.

-실이 정이면 법은 부이고, 실이 부이면 법은 정이다.

-여러 법 중에 실과 같은 종류가 있으면 실과 같은 부호를 붙여야 한다.

-정과 부가 서로 같이 변하는 것은 나눗셈과 곱셈에서와 같다. 따라서 반드시 실수와 같아져야 하므로 부호는 결정되지 않지만, 그 수는 반드시 같아야 한다.

6-1.

법과 실은 항상 서로 다른 부호를 가져야 하므로, 실이 정이면 법은 부이고 실이 부이면 법은 정이다.

법 중에서 실과 동류인 것이 있으면 반드시 실의 정, 부에 따라서 법의 정, 부는 구별되어야 한다.

6-2.

정과 부는 피차를 구별함에 따라 같고 다름이 결정되므로, 한 쪽이 정이면 나머지 쪽은 부가 된다.

또 한 쪽이 부이면 나머지 쪽은 정이 되어야 아무 변화가 없으므로, 그들은 같이 변해야 하고 혼자 변하는 것은 허락하지 않는다.

만약 부가 정으로 변하고 정은 부로 변하지 않거나 정은 부로 변하고 부는 정으로 변하지 않거나, 혹은 두 개의 정 가운데 다만 하나의 정만 변하거나, 두 개의 부 가운데 하나의 부만 변하면, 상당이 이루어지지 않으므로, 모든 계산이 잘못된다.

6-3. -상이란 서로 추정하여 구한 수이다.

-상을 구하기 전에는 그 수의 정과 부를 알 수 없으나, 내포하고 있는 것은 자연히 상당에 의하여 결정된다.

6-4.

-(매문정의) [방정론]에서 화교잡방정식의 예를 들어보자.

-만약에 강선과 호선 두 종류의 배가 있어, 적재량을 알 수 없다고 하자. 강선 5척의 적재량에서 호선 한척의 적재량을 빼면, 강선의 적재량이 2800석이 많고, 강선 3척과 호선 5척이 함께 실을 수 있는 것이 2800석이라면, 강선과 호선 각각의 적재량은 얼마인가?

-답은 강선은 600석이고 호선은 200석이다. 따라서 강선 5척은 3000석, 호선 1척은 200석이다. 그러므로 강선 5척은 정, 호선 1척과 2800석은 부로 놓으면, 그 식의 정과 부의  값이 같다.

-이것이 바로 매물암이 말하는 교수 방정식이다.

-또 강선 3척은 1800석을 싣고, 호선 5척은 1000석을 싣는다. 그러므로 강선 3척 및 호선 5척은 정, 2800석은 부로 주면, 이 식의 정과 부의 값이 역시 같다.

-이것이 바로 매물암이 말하는 화수 방정식이다.

6-5.

-매물암은 전식(전수)에서 2800석을 강선과 같이 정으로 하고 후식(후수)에서는 더하는 것으로 보아 정, 부의 부호를 사용하지 않았다.

(매문정은 주어진 조건에서

5x-y=2800-우식(전수)

3x+5y=2800-좌식(후수)

을 구한 후 x를 소거(좌식*5-우식*3)하여 28y=5600을 얻어 y를 구하고, 이를 우식이나 좌식에 대입하여 x를 구하고 있다.)

-만일 그렇게 하였다면, 정과 부는 상당을 이루지 않는데 무엇을 기준으로 할까? 더욱이 순전히 덧셈으로 얻어지는 수만 사용하는 것은 영뉵과 같은 법에서와 같이 정부를 사용하지 않아도 괜찮으나 교수가 섞여있는 경우(=화교잡방정식)에 어떻게 정, 부를 사용하지 않을 수 있겠는가.

6-6.

-지금 호선의 적재량을 구하는데 강선 5척을 정, 호선 1척과 적재량 2800석을 부로 하고 이를 우식으로 늘어놓는다. 강선 3척과 호선 5척을 정으로, 적재량 2800석을 부로 하여 좌식으로 늘어놓는다. 제일 윗자리의 수를 서로 곱하면, 오른쪽 행은 강선 정 15척, 호선 부 3척 적재량 부 8400석이 된다. 왼쪽 행은 강선 정 15척 호선 정 25척, 적재량 부 14000석이 된다. 오른쪽 행을 왼쪽 행에서 빼면 강선은 없어지고 호선은 서로 더하여 정 28척을 얻고, 적재량은 빼서 부 5600석을 얻는다.

-위의 자리를 법, 아래 자리를 실로 하여 나누어 200석을 얻는다.

-매씨의 법에 따르면 호선 28척과 적재량 5600석 모두 정이 되어 어떻게 법과 실이 같은 부호를 가질 수 있겠는가?

6-7.

-또 강선의 적재량을 먼저 구하려면 호선 1척은 부로, 강선 5척은 정, 적재량 2800석을 부로 하여 우행으로 늘어놓고, 호선 5척, 강선 3척 모두 정으로, 적재량 2800석은 부로 하여 좌행으로 늘어놓는다.

제일 윗자리 수를 서로 곱하여 오른쪽 행은 호선 부 5척, 강선 정 25척 적재량 부 14000석으로 되고, 왼쪽 행은 수는 변하지 않고 정, 부는 모두 바뀐다.

왜냐하면 오른쪽 행의 제일 윗자리 수는 호선 부 일 척이고 이를 곱하면 수들은 여전히 변하지 않고 호선 및 강선의 정에 부를 곱하였으므로 부로 변하고 적재량의 부에 부를 곱하였으므로 정으로 변한다.

-따라서 서로 곱할 때 그 수를 정리할뿐더러 정, 부도 정리해야 한다.

6-8.

-좌우행을 서로 뺀다는 것은 ‘비록 서로 다른 부호이면 빼고 같은 부호이면 더하라고 하였으나’

-실實은 같은 부호는 빼고 다른 부호면 더하라는 것이다.

-그것을 논하여 보자. 만약 바로 다른 부호로 빼는 것은 결국은 같은 부호로 바뀌어 덧셈법과 일치하지 않는다.

그러므로 법을 바꾸어 제일 윗자리 수를 바꾸어 다른 부호를 없게 하여 그들을 뺀다.

-따라서 뺀다는 것은 같은 부호일 때로, 더하는 것은 서로 다른 부호일 때로 하면 그 법은 제대로 된다. 또 제일 윗자리가 서로 다른 부호이면 반드시 한 행을 바꾸는데 정, 부를 서로 바꾸고 나서 같은 부호는 빼고 다른 부호는 더하는 것, 이들 모두가 자연스러운 법칙이다.

6-9.

-하필 법을 바꾸고 그것을 따라야 한다고 하였을까?

다시 그것을 논하여 보자.

화교잡방정식의 경우는 각 행에 따로 곱한 후에 화수 방정식의 행에 있는 수들을 승법에 따라서 그 부호를 모두 바꾸어야 한다.

5     -1        -5      -5           -5      0

3      5        -3       25          -3     28

-2800  -2800     2800   -14000      2800  -16800

-한 풀이 중에 어떤 행은 정, 부를 그대로 따르고 다른 행은 승법에 따라 그 정, 부를 정하는 것을 어찌 제대로 된 법이라 하겠느냐?

-처음 들어갈 때 옛날 정, 부의 법칙을 제대로 연구하지 않고 서법을 공부하여 억지를 부리는 일이 무섭다.

6-10.

-또 [측원해경]의 정율 제 14문의 초를 예로 들자.

방정식 96000-680x-x²=0을 법에 따라 풀어 반경 120을 얻는다.

-반경의 제곱과 천원의 제곱의 부의 곱으로 14400을 얻고 또 반경과 천원의 부 680을 곱하여 81600을 얻는다. 이들을 더하여 부 수 96000을 얻어 정의 실과 같게 한다.

(-x²-680x+96000=0을 검산하고 있다.

a+b=0 <-> a=-b 로 설명하여 -x²-680x=-96000과 실 96000은 부호는 다르고 절대값은 같음을 보여주고 있다.)

-매물암의 [소광습유]에서 정부상당 법칙에 대하여 전혀 언급이 없는 것과 같이 역시 모자라는 것 같다.