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{주어진 집합 $K$가 체(field)를 이룬다 함은 이 집합에 덧셈과 곱셈이라고 불리는 두 개의 셈법이 정의되어 있으면 이 집합의 모든 원소가 이 셈법에 관하여 다음 조건들을 만족시킨다는 뜻이다.}

{덧셈에 관하여}

\begin{enumerate}
\item $k+h=h+k$
\item $k+(h+l)=(k+h)+l$
\item 다음 조건을 만족시키는 원소 $0$이 유일하게 존재한다:
임의의 $k$에 대하여 $k+0=k$.
\item 임의의 $k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 원소 $h$가
유일하게 존재한다: $k+h=0$ (이러한 $h$를 보통 $-k$로 나타낸다.)
\end{enumerate}

{곱셈에 관하여}

\begin{enumerate}
\item $kh=hk$
\item $k(hl)=(kh)l$
\item 다음 조건을 만족시키는 원소 $1$이 유일하게 존재한다:
$1\neq0$이며,
임의의 $k$에 대하여 $k1=k$.
\item 임의의 $0$이 아닌 $k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 원소 $h$가
유일하게 존재한다: $kh=1$ (이러한 $h$를 보통 $k^{-1}$ 또는
$\dfrac1k$로 나타낸다.)
\end{enumerate}

덧셈과 곱셈의 관계에 대하여

\begin{enumerate}
\item $k(h+l)=kh+kl$
\end{enumerate}

두 선형공간에 대하여 이 두 선형공간이 그 셈법의 모양(?)을 볼 때 똑 같은 모양을 하고 있다고 말하고 싶을 때가 있다. 예를 들어 2차 다항식 전체로 이루어진 선형공간과 3차원 유클리드공간 $ \mathbb{R}^3$ 를 생각하여 보자. 이 때 다항식 $ ax^2+bx+c$ 에서 계수만을 뽑아 $ (a,b,c)$ 를 만들어 보면 이 다항식에 3차원 벡터를 하나 대응시킨 것이 된다. 이것은 물론 잘 정의된 함수이다. 이 함수의 정의역은 2차다항식 전체의 공간이고, 공변역은 3차원 유클리드 공간이다. 이 때 이 대응은 매우 자연스러울 뿐만 아니라 잘 살펴보면 이 대응이 1대1 대응관계를 이룬다는 것을 쉽게 알아볼 수 있다. 이에서 나아가서 당연한 사실 또 하나는 다항식의 덧셈과 그 계수로 이루어진 3차원 벡터의 덧셈이 정확히 일치한다는 것이다. 즉, \[ (ax^2+bx+c)+(a’x^2+b’x+c’) = (a+a’)x^2+(b+b’)x+(c+c’) \]

\[ (a,b,c)+(a’,b’,c’)=(a+a’,b+b’,c+c’)\] 이것은 누구나 알고 있는 것이지만 특별히 집어서 이야기하지 않았었다. 이 사실과 함께 또 하나의 당연한 사실 \[ k(ax^2+bx+c)= (ka)x^2+(kb)x+(kc) \]

\[ k(a,b,c)=(ka,kb,kc) \] 을 함께 놓으면 이것은 위의 1대1 대응관계가 선형사상이라는 말이 된다. 1대1 대응관계에서 선형사상이라는 말은 이 대응을 통하여 보면 두 선형공간의 덧셈과 스칼라배가 정확히 일치한다는 말이 된다.(음미하여 보자.) 따라서 두 선형공간 사이의 1대1 대응관계인 선형사상은 두 공간의 모양이 똑 같다(동형이다)는 뜻을 가진다. 그래서 이러한 사상을 동형사상(isomorphism)이라고 부른다. 수학에서 공부하는 모든 구조에서는 서로 달라보이지만 내막은 똑같을 때 사용하는 동형사상이 가장 중요한 개념 가운데 하나이다.