풀이2

직접 계산하여 보일 것.

$y$는 \(V\) 위에 정의된non-zero linear function 이므로 \(p\in V\) 가 존재하여 \(y(p)=q\neq 0\) 가 된다. 이제 임의의 스칼라 $α$에 대하여 \(\alpha p/q\) 에서 $y$의 값을 계산하여 보면 \[ y\left(\frac{\alpha p}q\right) = \frac{\alpha}q y(p) = \alpha \] 이므로 \(y(x)=\alpha\) 인 $x=\dfrac{\alpha p}q∈ V$가 존재한다. (박배준의 답)

만일 \(z=0\) 이라면 모든 $x$에 대하여 $z(x)=0$이므로 문제의 조건에 의하여 모든 $x$에 대하여 $y(x)=0$이 되어 $y=0$이 되고 따라서 항상 $y=x$가 된다. 즉 $α=1$이면 된다.

이제 $z≠0$이라면 $z(x_0)≠0$인 $x_0$가 있다. 이 때, 힌트와 같이 \(\alpha=y(x_0)/z(x_0)\) 라 놓자. 이제 모든 $x$에 대하여 $y(x)=α z(x)$임을 보이자. \\[3mm] $x$를 임의로 잡자. \[ x= \frac{z(x)}{z(x_0)}x_0 + x – \frac{z(x)}{z(x_0)}x_0 \] 이므로 \[ y(x)= \frac{z(x)}{z(x_0)}y(x_0) + y(x – \frac{z(x)}{z(x_0)}x_0) = \alpha z(x) – y(x – \frac{z(x)}{z(x_0)}x_0) \] 이다.

한편 $ z(x – \frac{z(x)}{z(x_0)}x_0)=0 $ 이므로 $ y(x – \frac{z(x)}{z(x_0)}x_0)=0 $ 이다. 따라서 \(y(x)=\alpha z(x)\) 이다.

(증명 끝)

$y_i$는 $V$에서 $\mathbb{R}$로의 1차함수이다. 따라서 $(y_1,…,y_m)$라고 쓰면 이것은 $V$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 선형사상을 정의한다. 이 선형사상을 $S$라고 하자.

이제 모든 \(i=1,\dots,m\) 에 대하여 $y_i(x)=α_i$라 함은 \(S(x)=(\alpha_1,\dots,\alpha_m)\) 라는 뜻이다. 그러므로 문제에서와 같은 $x$가 존재한다는 말은 $v=(α_1,…,α_m)$라는 $\mathbb{R}^m$의 벡터가 $S$의 range $R_S$에 속한다는 말과 같다. 이제 교과서 21쪽 정리 $2’$을 사용하면 이 말은 벡터 $v=(α_1,…,α_m)$가 $N_{S’}^{⊥}$에 속한다는 말과 동치이다. 이 말을 풀어 써보자.

~

\(v\in N_{S’}^{\perp}\) \(\Leftrightarrow\)

$∀ l∈ N_{S’}$에 대하여 \(l(v)=0\) \(\Leftrightarrow\)

[ \(S’l=0\) \(\Rightarrow\) \(l(v)=0\) ] \(\Leftrightarrow\)

[ [ $∀ z$에 대하여 \(S’l(z)=l(Sz)=0\) ] \(\Rightarrow\) \(l(v)=0\) ] \(\Leftrightarrow\)

~ ~ ~ ~ ~ 이 말을 풀어쓰면

[ \(S’l=l\circ S\) 라는 1차함수가 상수함수 $0$이면 \(l(v)=0\) 이다. ]

~

~ ~ ~ ~ ~ $(\mathbb{R}^m)’$의 원소인 $\mathbb{R}^m$의 1차함수 $l$은

~ ~ ~ ~ ~ \(\lambda_1k_1+\cdots+\lambda_mk_m\) 꼴로 나타낼 수 있으므로

~ ~ ~ ~ ~ \(S’l=l\circ S=\lambda_1y_1+\cdots+\lambda_my_m\) 이다.

~ ~ ~ ~ ~ 따라서 위의 말은 다음과 동치이다.

~

\(\Leftrightarrow\) [ \(\lambda_1y_1+\cdots+\lambda_my_m=0\) \(\Rightarrow\) \(\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_m\alpha_m=0\) ]

~

이제 이것을 방정식에 적용하여 보자. $y_i(x)=α_i$라는 것은 1차방정식이다. 따라서 문제는 $m$개의 비제차인 $n$원 1차 연립방정식에서 상수항 $α_i$들에 대하여 방정식의 해가 적어도 하나 존재하기 위한 $α_i$들의 필충조건을 구하라는 것이다. 그 답으로 얻은 조건은 다음과 같다. 즉, $y_i$들이 1차종속일 경우에만 문제가 되며, 이 경우에는 $y_i$의 1차결합으로 0함수를 만들 수 있을 때 이 1차결합과 똑 같은 모양으로 $α_i$의 1차결합을 만들면 이것도 항상 0이 된다는 조건을 $α_i$들이 만족하여야만 이러한 해 $x$가 있다는 뜻이다.