StudyGroup2006SummerChapter3

점화식으로 주어진 수열의 수렴이지요. 수열의 수렴에 대해서 아는 것은 ”’단조증가하는 수열이 위로 bounded이면 수렴한다”’는 사실과 compactness에서 나오는 ”’compact set 에서 무한집합은 limit point를 갖는다”’ 즉 ”’ $ \mathbb{R}^n $ 의 bounded set에서 잡은 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다”’ 라는 것 뿐입니다.

마지막 명제가 어떻게 나오는가를 잘 알 필요가 있어요. bounded set의 closure를 잡으면 compact(=closed, bounded)이니까 이 수열은 compact set에서 잡은 것이나 다름 없고 이 수열은 유한개의 점을 반복해서 움직이거나 아니면 무한한 점을 움직이니까 두 경우 다 적당한 부분수열을 잡으면 수렴하지요. 극한점은 원래의 bounded set 안에는 없을지도 모르지만 그래도 그 수열은 $ \mathbb{R}^n $ 에서 수렴하지요.

책의 점화식과 유사한 다음 점화식을 보지요.

$ s_{n+1}=\sqrt{2+s_n},\quad s_1=\sqrt{2} $

이 식을 잘 보면 $ s_n $ 이 단조증가하리라는 것을 guess할 수 있어요. 실제로 몇 개 넣어서 계산해 보아도 되고 사실은 그래프를 그려 보아도 알 수 있어요.(이것은 고등학교식 풀이예요.) 우리는 수렴하는 것을 제대로 보여야 하니까 단조증가하는 것을 보입시다.

$ s_{n+1}^2-s_n^2= (2+s_n)-(2+s_{n-1}) = s_n – s_{n-1} $

이 되지요. (처음에는 제곱하지 않고 빼 보겠지만 그러면 계산하기 힘들지요.) 이제 오른쪽과 왼쪽을 비교하면 $ s_n $ 은 한번 증가하기 시작하면 계속 증가하겠구나 하는 것을 알 수 있어요. 즉, 수학적 귀납법을 쓰면 증명되겠지요? 우선 $ s_2 > s_1 $ 인 것을 확인하고(쉽지요?), 그 다음에 위의 계산으로부터 $ n $ 번째 항이 그 전항 보다 크면, $ n+1 $ 번째 항도 그 전보다 크다는 것을 얻지요.(증명끝)

이제 위의 수열이 위로 bounded임을 보이는 것인데. 이것도 수학적 귀납법으로 $ s_n < 2 $ 이면 금방 $ s_{n+1} < 2 $ 임을 보일 수 있지요? 그러니까 이 수열은 수렴하지요.

문제에는 없지만, 극한은? 극한이 존재하는 것을 아니까 이 수열의 극한을 $ s $ 라 하면, 점화식에서 $ s $ 는 관계식 $ s = \sqrt{2+s} $ 를 만족시키지요. 이제 풀어서 $ \sqrt{2} $ 보다 큰 (단조증가하니까) $ s $ 의 값을 구하여 보면 $ s=2 $ 라는 것을 알 수 있지요.

책의 문제도 마찬가지로 하면 되죠. 하지만 $ s $ 의 값을 구하는 것은 4차방정식을 풀어야 하니까 어렵지요.