2006년도 여름학기 AP수학 Wiki 페이지입니다.

(여기부터 쓰세요.)

Q : 안녕하세요 AP 수강 학생 중 목동고에 재학중인 임 아람 입니다.*^^* 수강 도중에는 정말 힘들때도 많았지만, 지금은 끝났다는게 믿기지 않을 정도로 너무너무 아쉽습니다. 일주일에 네번, 4시간씩. 적지않은 시간을 투자했지만 조금도 아깝지 않아요. 오히려 기대했던 것보다 많은것을 얻어 뿌듯합니다^^ 평소 수학을 공부하면서 제가 너무 많은 공식들을 의심없이 받아들여 왔음을 깨달았고, 더불어 고등학교 과정에서는 느낄 수 없었던 수학의 매력을 잠시나마 느낄 수 있어 즐거웠습니다.

지난 한달동안 수고해 주신 점 감사드립니다. 특히 김영욱 교수님, O.T날 늦게 도착했을 때 시간 내 주셔서 다시한번 감사드려요. 세 분 교수님 모두 나중에 꼭 다시 뵙고 싶습니다. 고려대에 입학할 수 있도록 최선을 다 해야겠어요^^ 같이 AP과정을 수료한 친구들, 대학생도 아닌 고등학생들 에게도 멋진 수업을 해 주신 세분의 교수님, 그리고 아침마다 수고해 주신 조규동 조교님, 모두 다시한번 감사드립니다. 부디 건강하세요^^*

p.s /수료식을 하는 오늘같은 날 몸이 불편하게 되어서 정말 아쉬웠어요. 가끔 신경성으로 위경화가 일어나긴 했지만 오늘이 특히 심했던 것 같네요. 제가 집에 가는 길까지 신경 써 주신 점 진심으로 감사드립니다*^^* 교수님이 베풀어 주신 친절을 두 배, 세 배로 보답할 수 있는 날이 올 것을 믿습니다.

목동 고등학교 2 학년 임 아람 올림

---

Q : 여름방학동안 세 분의 교수님들과 친구들과 함께한 이번 AP수업에서 참 많은 것들을 배웠습니다. 고등학교의 제한된 범위의 학습이 때로는 따분하기도 했는데, 대학과정은 정말 말로 형용할 수 없이 큰 깨달음을 주었습니다. 그 깨달음이란 단지 얕게만 보고있던 수학의 숲의 여러곳을 다녀보았다고 해야할까요? 비록 대학진학에 직결되는 수업은 아니었지만, 저는 그래도 이번 수업으로 인해서 앞으로 저에게 대학진학 전까지 주어진 시간에, 더 깊이 사고하는 법을 적용하면 분명 시너지효과 이상의 것이 발휘되리라 생각합니다. 저는 어려서부터 고대캠퍼스에 자주 들리면서(집이 청량리라 가깝습니다.) ‘이 다음에 꼭 와야지’하는 생각을 많이 했었습니다. 지금은 그 생각이 구체화되었구요.(목표:고대-사회환경시스템공학과<토목>) 이번 방학 AP수업이 저에겐 알찼지만 때론 힘들기도 했습니다. 그 이유는 미리 선행을 해 놓지 못했던 것 때문인데요. 기말고사가 끝나고 AP 개강하기까지 한 20일 정도가 있었습니다. 기말고사가 끝나고나서 저의 수학선행상태는 수2도 전혀 손을 대지 못한 상태였습니다. 그 동안 선행의 중요성을 깨닫지 못하고 심화학습에 주력한 탓일지도 모르겠습니다. 어쨌든 공백기였던 근 20일 동안은 저에게 황금기였습니다. 수2에 이은 심화 미적분까지 20일동안 기초를 2~3번 반복해서 다졌습니다. (제게 그런 집중력이 있다는 것이 놀라울 따름이였습니다.) 아참 마지막으로 한가지 부탁의 말씀을 드리려고 합니다. ”’시험 결과가 나오면 메일로 보내주세요~ 제 메일은 shjgood1001@naver.com 입니다. (등수도 알 수 있다면 좋겠습니다.)”’ 그럼 교수님으로부터 올 메일 기다리고 있겠습니다. 항상 건강하세요! 자랑스럽게 고려대학교에 입학하여 교수님을 뵐 날을 그려보며. 중앙고등학교 2학년 신 형 준 올림.

---

Q : 교수님. 한 가지 궁금한 점이 있어 질문을 올립니다. 최근 수업시간에 어려운 수학문제들에 대해 이야기 하다, 오래전에 읽었던 “사람들이 미쳤다고 말한 외로운 수학천재 이야기”라는 책을 다시 읽었습니다. 제가 궁금한 점은 정수론 ‘골드바흐의 추측’에 대한 문제입니다. 250년이 넘도록 증명을 하지 못했다고 하는 이 문제는, 과연 직관적으로는 참이지만 증명하지 못할 수 있다는’괴델의 불완전성정리’와 관련이 있느냐 하는 대목입니다. 또한, 현재 ‘골드바흐의 추측’을 바라보는 시각이 어떠한지 궁금합니다. 한가지 더 덧붙여 현재, 이 문제에 대해 공식적으로 연구를 진행하고 있는지도 궁금합니다. – 중앙고 신형준

A: 이것은 나는 잘 모르는 분야예요.(내 전공은 기하학) 이 문제는 직관적으로 참이라고 말할 수는 없겠지만 얼핏 보기에 쉽게 이해되는 문제이고 많은 수에 대하여 따져 보아도 반례를 찾을 수 없어서 그럴 것 같다고 생각하는 것이지요. 괴델의 정리와 관련해서는 충분히 그렇게 생각할 수 있다고 보입니다. 즉 모든 이론에는 현재의 system(이론체계)에서 증명할 수 없는 문제가 많이 있는데 특히 정수론에 이런 문제가 많다고 합니다. 하지만 골르바하의 예상이 그 문제 가운데 하나인지는 모르는 것이지요. 골드바하의 문제는 모든 대수학자가 연구하는 궁극적 목표가운데 하나겠지만 또 이것만을 향해서 연구하는 사람은 많지 않을거예요. 마치 몇년 전에 Fermat의 정리도 모든 대수학자의 꿈이었지만 이것만 풀겠다고 하는 사람은 그리 많지 않았던 것처럼… 이것 말고도 문제는 많으니까요. 간단히 말하면 현재 공식적인 연구는 활발히 진행되고 있다고 해야겠지요. 더 자세한 것을 원하면 수학과 다른 교수님 가운데 한 분께 여쭤보면 좋겠네요. 직접 여쭤봐도 되고 내게 말해도 돼요. – 김영욱 Re) A: 참 재미있는 사실들이군요. 이번 AP로 인해서 참 생각지도 않았던 놀라운 수학에 대해서 생각해보게 되어 참 기쁩니다. 감사합니다. 아참, 고려대학교 수학과 홈페이지를 보니 양찬우 교수님께서 해석학을 전공하셨던데, 해석학과 관련이 깊지 않은지요? 만약 그렇다면 한번 여쭈어봐 주신다면 감사하겠습니다.^-^–중앙고 신형준 A: 수학은 모든 분야에서 필요한 문제해결 방식을 다루고 있으므로 다양한 내용이 있지요. 위와 관련해서 간단히 소개해 준다면, 우선 골드바하의 문제는 대수학의 정수론 분야이고 수학에서는 가장 어려운 분야로 알려져 있지요. 우리 학과에서는 김동균교수님이 잘 알고 계실 거예요. 직접 가서 여쭈어보기 어려우면 소개해 줄 수 있다는 말이지요. 많은 정수론문제는 복소해석학과 관련이 많아요.(소수 분포 정리와 같이) 양찬우교수님도 복소해석학 분야를 연구하고 계시지요. 그리고 양찬우교수님은 직접 배웠으니까 찾아가서 여쭤봐도 (아님 메일로도) 돼요. 복소해석학 분야는 우리학교에서 잘하는 분야의 하나예요. 연구하는 분이 3분이 계시고 모두 조화해석학(harmonic analysis)를 공부하시지요. 조화해석학은 근래 해석학에서 가장 활발하게 연구하는 분야랍니다. A: 좋은 답변 진심으로 감사드립니다.~–중앙고 신형준

---

Q : 극한을 공부할 때 스퀴즈 정리라는 것이 있었고, 수열에서 센드위치 정리라는 것을 배웠습니다. 그런데 이때 두 가지 정리는 다른 것인가요?–양정고 임찬순

A: 수열의 샌드위치 정리란 p.139의 정리 5.1.4를 말하는 것인가요? 그렇다면 두 정리는 거의 같은 정리입니다. 차이라면 첫시간에 배운 스퀴즈 정리는 함수의 극한에 대한 것이라면 이것은 수열의 극한에 대한 것이라는 것만 다르지요. 보통은 둘 다 스퀴즈 정리라고 부르지만 샌드위치 정리라고도 부를 때도 있어요. – 김영욱

---

Q1: p.18 예제 2번 풀이중에 $ 0 < x < 2$ 인 이유가 잘 납득이 가지 않습니다.(갑자기 톡 튀어나왔다는 느낌이 듭니다.)–중앙고 신형준

A: 누군가 물어봤었던 것과 같은데, x가 1로 다가갈 때의 극한이므로, 우리가 $ δ $ 를 1보다 작게 잡기로 하면( $ δ > 0 $ 는 내 마음대로 잡을 수 있는 것이므로), $ 0 < |x-1| < δ $ 인 $ x $ 는 $ 0 < x < 2 $ 를 만족시키게 되지요. 그런 $ x $ 라면? 하고 말하는 것입니다. – 김영욱

---

Q2: 극한이 성립한다는 것을 입실론 델타로 증명하는 것에서, ”’만약 결과적으로 극한이 성립하지 않게 되는 것을 증명한다면”’ 결론이 어떤 식으로 나와야 하는 것인가요? 아예 입실론과 델타의 관계를 알 수 없는 결과가 나오는 것인지요?–중앙고 신형준

A: 이것은 수업중에 잠깐 이야기한 ”’~가 아니다”’라는 명제를 증명해야 하는 것이지요. 짧게 결론만 쓰면 ”’적당한 $ ε >0 $ 이 존재하여서 임의의 $ δ > 0 $ 에 대하여 $ 0 < |x-c| < δ $ 인 $ x $ 가운데 $ |f(x)-L| ≥ ε $ 이 되는 $ x $ 가 존재한다”’라는 명제를 증명한 것이 되어야 합니다. 따라서 epsilon-delta와 관계 있는 결론이랍니다. 원래 극한이 $ L $ 이다 라는 말의 부정을 증명한 것이 되어야 한다는 것이지요. 또 어떠한 극한값도 갖지 않는다면 모든 실수 $ L $ 에 대하여 위의 말을 할 수 있어야 합니다. – 김영욱

---

Q3: p.68 예제 4번 풀이에서 중에”’ ①에서 ②가 어떻게 되었는지”’ 이해가 되지 않습니다. 아래 미분, 위 미분 한 값이 제시되어 있지 않아서 의문이 생기는군요또, ”’③에서④로 가는 과정”’이 어떻게 되는 것인지. 특히 괄호”( )” 안에 있는 것들이 어디서 왔는지 이해되지 않습니다. (①=②=③=④=⑤=⑥=⑦ 편의상 식을 숫자로 표현하겠습니다.) 또, 그 아래 다시 로피탈의 법칙을 두번 적용하면이라 된 아래도 이해되지 않네요.–중앙고 신형준

A: ①에서 ②는 그대로 로피탈의 법칙을 사용한 것이예요. 분모의 미분은 1이니까 분자의 미분만 계산하면 되지요. 그리고 ②는 바로 분자의 미분인데… ③에서 ④로 가는 과정은 합성함수의 미분법을 $ e ^ { f(x) } $ 꼴에 적용한 다음 f'(x) 를 계산하는데 곱의 미분법을 쓴 것이지요. 즉, $ 1/x $ 곱하기 $ log(1+x) $ 라고 본 것이지요. 그러면 계산이 맞아요? 마지막으로 로피탈은 한번 적용한 것이 마지막과 같이 ⑦번 식으로 써지지요. 이 극한값이 있는지를 알아보기 위해서 이것에 로피탈을 다시 한번 적용해 보는 것이지요. 따라서 두번 적용한 것이 되지요. 즉, ⑦번에 로피탈을 적용한 것이 다음 식의 ②가 되는 것이지요. 계산이 안되면 다시 질문하세요. – 김영욱

---

CategoryKUMath