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Q and A
새 질문은 위쪽에 씁니다. 질문과 답을 할 때는 질문 끝에 날자, 학번, 이름을 씁니다. 여기는 공부중에 생기는 질문을 하고 또 답을 아는 사람은 이에 대한 답을 답니다.
Q: 수업 외 질문) HistorySagong 은 무언가요? 수학 역사를 공부하는 모임인가요? 만약 그러면, 구체적으로 어떤 내용들을 다루는 모임인지 궁금합니다.
A: 이것은 개방되지 않은 수학 역사 공부 모임입니다. 혹시 수학 역사 공부에 관심이 있다면 다음 학기에 열리는 기하학 특강을 들어보세요. 실제 내용은 동양 수학사를 중심으로 한 동 서양 수학사의 비교 강의입니다. (그리고 나서 계속 수학사에 관심이 간다면 수학사 공부 모임을 만들어 보세요.) Sagong 모임에서도 동 서양 수학사의 비교 및 연구를 합니다.
Q: 두번째교재 Thm 3.2 의 b 증명과정중에서 a를 inf(a1,a2,a3,…,an) 이런식으로 잡았는데 Rudin의 해석학에서는 같은 증명과정에서 inf 대신 min을 사용했던데 이 두개의 엄밀한 차이가있는지 궁금합니다.. 이 증명과정에서는 둘다써도 크게 문제가 되진 않겠죠? (2011,06,14 2011160112 황원규)
A: 유한개의 대상에 대해서는 inf=min 입니다. 차이는 무한개에서만 나니까요. 그러니까 어떤 사람들은 굳이 두 가지 기호를 사용할 필요가 있는가라고 생각할 수도 있지요. 그런 경우에는 inf 만 사용하게 되겠지요. (어떤 경우에도 min이 있으면 이것이 inf이기도 하니까요.)
Q:강의록 53쪽을 보면 거리의 조건 4가지가 나오는데요. a조건(d(x₁,x₂)≥0) 없이 d조건에서 x₁=x₂이면 b,c조건을 이용해서 a조건을 얻을 수 있는데 그럼 a의 조건은 필요 없지 않을까요? 2012.06.11, 2011160002, 이동근
A: 어, 정말 그런 거 같네요. 갑자기 고민거리가 생겼네요^^, 학생/ [http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Definition] 여기서도 님의 말이 맞다고 하네요. 음.. 아무래도 첫번째 명제가 거리함수의 제 1성질이라 여겨질 수 있기 때문에 비록 추론될 수 있는 것에 속하지만 특별히 언급한게 아닐까요? 잊지말라는 당부의 의미에서요.
A:
Q: 3단원 Open sets and Closed sets 수업시간 중 교수님께서 다루신 내용 중 공집합은 Open in X 라는 것에 관하여 질문이 있습니다. 공집합은 리미트 포인트를 가지지 않기 때문에 Closed 라고 할 수 있을까요? 예를들어 수업 중 한 점 집합은 리미트 포인트가 없기 때문에(가정이 비어있으므로) Closed라고 배웠습니다. (5/15 교수님 수업 내용 중 Vacously true에 관한 질문입니다.) 2012.05.29, 2011160165, 장혜철
A: (어느 학생 답) 님의 말이 맞는 것 같습니다. 그래서 공집합과 전체집합은 열려있으면서 닫혀있는 신기한 집합이 된 거 같아요.
A:
Q: 1. $ [0,1) $ 과 $ [0,∞) $ 의 1대1 대응이 쉽게 떠오르지가 않습니다. 역수함수를 생각했었는데 $ 0 $ 이 문제가 되지 않나요?
- 실수집합의 completeness를 깨는 metric이 뭐가 있을 까요? 만들기가 쉽지 않을 것 같다는 생각이..
A: 2번에 대한 자답) 만들 수 없다는 생각이 듭니다. 만약 그렇다면, 이미 compete라고 안 거리공간은 metric에 상관없이 항상 complete인가요? 혹시, 이것을 증명하는데 metric-equivalence란 녀석이 사용되나요? 1번 자답) 0을 0에 대응시키면 되네요. 따라서 1대1 대응 존재! 이 사실과 아래 질문에 대한 교수님의 답에 근거해 2번자답의 추가질문이 해결된 거 같아요. 질문자체가 잘못된 질문! 아래의 교수님의 답처럼 metric에 따라 completion이 달라지네요.
A: 위의 답은 대부분 맞아요. 단지 2번은 그냥 모든 두 점 사이의 거리가 1인 metric을 생각하는데 단지 이 중에서 $ \{ 1/n \} $ 만 따로 원래대로의 거리를 주고 이 수열에서 다른 점들까지의 거리는 그냥 1을 주기로 하면 이것은 complete하지 않을 것 같은데. – 김영욱.
Q: 실수 집합에서 모든 코시 수열이 수렴한다는 것을 증명할 때 metric을 Spanier의 강의록 60쪽에 나온 것처럼 구체적으로 잡아서 증명을 해야하나요? completenesss는 metric을 어떻게 주냐에 따라서 변할 수 있는건가요? 2012.5.24 2011160168 김지수
A: completeness는 metric에 따라 달라집니다. 예를 들어 구간 $ [0,1) $ 은 $ [0,∞) $ 와 똑같은 집합에 거리만 바꾸었다고 생각해도 됩니다. 1대1대응을 만들 수 있지요? 그런데 앞의 유한구간은 complete가 아니고 뒤의 무한구간은 complete입니다. – 김영욱.
Q: 언카운터블 집합도 well-ordering한 심플오더를 가질 수 있다면, 이 집합 셀 수 있지 않을 까요? 이렇게요: 세는 방법 : n |——–—> the n-th smallest element
아시는 분들 답을 좀 주시겠어요.
A: 그렇게 간단하게 셀 수는 없답니다. countable 집합인데 순서는 자연수집합을 두 개 연속해서 늘어놓은 것을 생각해보지요. 즉 1, 2, 3, …, 1, 2, 3, … 같이 무한이 많이 늘어놓는 것을 두 번 한 것입니다. 이것도 Well-ordered입니다. 그런데 이것을 그냥 늘어놓은채로 셀 수 있나요? 이대로는 셀 수 없지요? 순서를 잘 바꾸어 놓아야만 자연수하고 순서대로 1대1대응이 만들어지지요? uncountable이면 well-ordering을 시켜 놓아도 훨씬 복잡할 것이고 이 경우는 어떻게 순서를 바꾸어 보아도 셀 수 없답니다. – 김영욱.
Q: 54쪽 예제 2.1에 대한 질문입니다. 공리 $ x = y ⇒ d(x – y) = 0 $ 을 보이는 데 있어서 어려움을 겪고 있습니다. 아마도, 두 수열의 같음이 확실히 정의가 되지 않아서 인 것 같습니다. 코시수열들의 상등조건을 따르고 싶지만, 만약 그렇게 한다면 다음이 문제일 것 같습니다.
{ $ x_n $ } = { $ y_n $ } does not imply $ \mbox{sup}|x_n – y_n| = 0 $ because if $ x_1 – y_1 = 1 $ and $ \mbox{lim}(x_n – y_n) = 0 $ , $ \mbox{sup} >= 1. $
어떻게 해결해야 할까요? 제가 실수하거나 놓친 부분이 무얼까요?
A: 예 2.1의 수열은 코시 수열 아닙니다. 이 예에서 두 수열의 같음(상등)은 두 수열의 모든 $ n $ 번째 항이 서로 같다는 것입니다.
Q.topology책을 공부하다 의문이 들어 질문을 올립니다. P.19아래 부분에 A0가 f-(f(A0))에 포함 and f-(f(B0))가 b0에 포함 된다. (-는 역함수를 나타낸 것입니다) 라는 부분이 있는데요. 앞의 것이 f가 injective라는 것을 뒤의 것이 f가 surjective라는 것을 말해준다고 하는데요. 책의 의도는 이해가 갑니다만 역함수가 성립된다는 것은 bijective라는 것이 가정되어 있는 것인데 이렇게 표현하는 것은 문제가 되지는 않는가요? 2012.4.13. 2010160047 이경화
A: 우선 19쪽의 맨 밑의 7줄을 번역해 줄게요…
주의가 필요한 또 하나의 상황으로서, 두 등식 $ f^{-1}(f(A_0))=A_0 $ 와 $ f(f^{-1}(B_0))=B_0 $ 은 항상 성립하지는 않는다. (다음 예를 볼 것) 이 상황에 맞는 제대로된 규칙은 아래와 같고 이의 증명은 독자가 직접 해 보기 바란다: $ f: A → B $ 이고 $ A_0⊂ A $ , $B_0 ⊂ B $ 이라면 다음이 성립한다. \[ A_0 \subset f^{-1} (f( A_0 ))\] 이고 \[ f ( f^{-1} ( B_0 )) \subset B_0 . \] 이 두 포함관계에서 $ f $ 가 injective이면 첫번째 포함관계를 등호로 바꾸어도 참이고, $ f $ 가 surjective이면 두 번째 포함관계를 동호로 바꾸어도 참이다.
그러니까 하고 싶은 말은 $ f^{-1} $ 은 일반적인 경우에 (즉 $ f $ 가 bijection이 아닌 경우에) 집합의 역상을 나타낸다고 보아야 합니다. 이 경우에도 물론 그렇고요. 19쪽 정의 아래 시작부분에서 $ f $ 가 bijection인 경우에는 $ f^{-1} $ 를 역함수로 해석하나 역상으로 해석하나 똑같은 것이라고 했지요? 하지만 bijection이 아닌 경우에는 역함수는 정의되지 않고 역상만 정의되니까 모든 경우에 역상이라고 해석하면 아무 문제가 없게 되겠지요?
Q: 수업 시간에 “좌표가 선(직선)이다”라고 말씀해 주셨는데, 예를들면 이런 뜻입가요? given (1,2), a set A = {c(1,2) | c in R)
좌표가 선이다라는 말이 잘 이해가 되지 않아요. 한 좌표는 선은 물론 원이나 포물선 등 여러 곡선에 포함될 수 있잖아요. 2010160189 박정규
A: 아마도 좌표가 1차함수이고 1차함수는 직선을 나타낸다고 말했겠지요. $ x $ 라는 좌표를 생각할 때는 이렇게 해요. 점 $ P $ 가 있을 때 $ P $ 의 $ x $ 좌표 즉 $ x(P) $ 는 $ P $ 를 변수로 볼 때 (따라서 정의역은 평면), 1차함수이지요. $ x=1x + 0y $ 라는 1차함수예요. 그러니까 이런 일차함수가 있으면 당연히 이것은 $ x=c $ 라는 직선들을 정의하지요. 그러니까 일차함수가 있다는 것은 어떤 종류의 직선들을 안다는 것이고, 그러니까 좌표함수도 당연히 어떤 종류의 직선들을 생각하는 것과 같아요. 이 경우에 직선은 좌표축에 평행한 직선들이고 이 직선을 따라 가보면 정사영을 하게 되지요. 아마 이런 설명을 했었죠? 그러니까 $ x=c $ 라는 직선은 $ \{ (c,y) | y∈ \mathbb{R} \} $ 들의 모임이죠. – 김영욱.
Q: 문크레스는 교재 15쪽에서 “배정규칙(a rule of assignment)”를 서술식으로 정의했습니다. 그런데, 이 정의 전까지 정의한 것들만을 가지고도 이 규칙을 안전(formal)하게 정의할 수 있을까요? 16쪽 맨 윗줄에 간단하게 답을 준 것 같지만, d = d’라는 것은 동치관계가 먼저 소개되야 허용될 수 있을 것 같다는 생각이 듭니다. 만약, 불가능하다면, 적어도 1장 만큼은 “논리적 순서”라는 개념을 접어 넣어야 될까요? 왜 저자는 관계보다 함수를 먼저 고려했을까요?
- 질문자의 이름을 쓰세요. (없으면 no credit)
A: 물론 이 정의는 relation이 정의되지 않아도 정의할 수 있지요. relation의 특별한 형태를 정의하는데 relation을 언급하지 않고 특별한 경우가 가져야할 모든 조건을 주었으니까요. 한편 여기서 d=d’ 을 쓸 때의 = 기호는 (동호보다 일반적인 동치관계가 아니라) 집합 원소로서의 등호이니까 특별히 동치관계가 정의되지 않아도 문제 없지요. Munkres가 전개하는 관점은 직관적인 관점이고 Halmos의 Naive 하다는 관점보다 더 naive합니다. 그러니까 아주 중요한 공리를 제외하고는 공리에 의존하지 않고 직관에 더 많이 의존하지요. Halmos는 그래도 기본적인 전개를 기본적인 공리에 의존합니다. 그러니까 Munkres는 집합을 사용하는 입장에서 집합과 함수 사이의 관계와 성질만을 중시하는 것이고 기호논리적으로 정확하려고 하는 것은 아니예요. 우리도 그정도에서 만족할 것이고 이보다 더 깊은 내용은 직접 수리논리학이나 Axiomatic set theory 를 읽어봐야해요. 예를 들면 Suppes 의 Aximatic Set Theory.