Q and A
Q:
A:
Q: 수업의 상당히 많은 부분이 위상수학에 관련된 내용인데 혹시 교과서 외에도 다른 책을 공부해야 하는 건지 궁금합니다. 이런 걸 여쭤보는 것이 부끄러운 일인 것은 알지만, 필기를 정리하면서 보니 복소해석학 교과서만으로는 전부 소화하기가 어려워서요.
A: 복소해석학은 학부의 해석학 기반위에 공부하는 과목이예요.
- 해석학을 이미 공부했겠지만 해석학 자체가 다음과 같이 몇 가지 내용을 가지고 있어요. 우선 실수와 평면의 위상, 특히 연속함수를 제대로 다루는 법, 둘째, 미분과 적분의 개념과 기본공식, 셋째 함수의 무한급수의 수렴 발산, 예를 들면 Fourier 급수, 넷째 다변수함수를 다루는 법, 특히 inverse function theorem과 다변수 적분의 변수변환 공식, 그리고 벡터해석학. 이는 스토크스 정리와 관련된 이론들 등등입니다.
- 이중에 복소해석학에서 아주 중요하게 필요한 것은 첫번째 위상 부분과 마지막의 벡터해석학 부분의 개념인데, 우리는 벡터해석학 부분은 2차원 공간인 $ \mathbb{C}=\mathbb{R}^2 $ 만을 보게 되니까 사실 그린의 정리만 사용하는 셈이고 어렵지 않아요. 그래서 Background로 review하는 것이 위상에 치우치게 됩니다. 모든 복소함수론 책이 위상을 다시 한 번 공부해요.
- 물론 Fourier 급수의 이론은 정말정말 중요하게 되지만 학부에서 공부하는데서는 안 나오고요. 우리가 함수의 급수를 공부하는 것은 Taylor 급수와 그의 일반화만을 공부하게 되므로 초보적인 급수만을 보게 돼요. 이것은 아마도 주로 2학기에 가서 볼거 같아요.
- 어느 정도까지 공부해야 하는가? 이에 대해서는 두 가지로 답할께요. 우선 복소해석을 공부하기 위해서 위상을 얼마나 공부해야 하는가? 위상수학을 깊이있게 공부할 필요는 없지만 기본개념인 연속, compactness, 그리고 나중에는 homology의 개념도 필요해요. 그러면 시험보려면 어디까지 공부해야 하는가? 여기에 대한 답은, 우선 이 부분은 review인만큼 시험으로서는 그리 중요하게 생각하지 않아요. 잘 알면 좋고 잘 몰라도 괜찮아요. 시험은 간단한 것만 물어볼 것입니다.
우리가 위상 부분을 자세히 하는 것은 여러분이 1년동안 복소해석학을 잘 공부할 수있기를 바라기 때문이예요. 시험을 어렵게 하려는 것이 목적이 아니고요. 시험은 걱정할 필요가 없어요.