미분기하학II 2K8 가을 학기

(TableOfContents)

강의 진도

(11/26)
(11/24)
(11/19)
(11/17)
(11/12)
(11/10)
(11/5)
(11/3)
(10/29)
(10/27)
(10/22)
(10/20) 중간시험
(10/15) 휴강
(10/13) 측지곡률
(10/8) geodesic의 방정식
(10/6) 회전면의 geodesic
(10/1) geodesic의 방정식
(9/29) Codazzi-Mainardi방정식과 곡면론의 기본정리
(9/24) 가우스의 놀라운 정리
(9/22) 계량기의 계산: 구면
(9/17) 계량기의 계산: 평면과 원기둥, 원뿔 등
(9/10) 계량기의 정의
(9/8) 해석학 review: 미분형식이란?
(9/3) 선형대수 review
(9/1) 오리엔테이션

공지

학기말시험은 12월 17일 수요일 강의시간에 전산실에서 치릅니다. 1시간 30분 시험입니다.
중간시험은 10월 20일 월요일 강의시간에 전산실에서 치릅니다. 1시간 30분 시험입니다.
지난번 도우미조교를 원한다고 학생은 다음에 게시될 일정에 조교와 만나기 바래요. 거기서 조교선생님을 배정하고 조교선생님과 시간을 정할 것입니다.
- 첫 만남: 다음 주 월요일(10/6) 강의시간 직후 우리 강의실(수학과 전산실)에서
lec note: dg2k7_ln_01_rev_la.pdf dg2k7_ln_02_rev_ana.pdf
이미 공지되어 있는대로 강의는 수학과 전산실에서 이루어집니다. 강의 교재는 양성덕교수님의 강의록 2학기분을 사용하는데 조만간에 복사할 수 있을 것입니다.

질문하세요 Q&A

Q: 질문

안녕 하세요 미분기하 수강학생입니다^^ 공부하던 중 질문이 있어서 여쭈어 볼까 합니다. 가우스의 위대한 정리에서

교재 131쪽에 6.9의 식을 보면

X121의 X2계수들만 찾는 과정인데

맨마지막에 fa21이라 되어 있는데 교수님 계산 해주셨을 때도 그렇고 a12가 나오더라구요.. 왜냐하면 129쪽 맨 위에 N1 구하는 과정에서도 X2의 계수는 a12가 맞는데 왜 책엔 a21이라 되어 있고 또 이렇게 되어야 가우스 곡률로 정확히 나오나요?.. 계산과정에서 무엇이 문제 인지 잘 모르겠습니다…

답변좀 부탁 드릴게요..

감사합니다.

\[ \begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} e & f \\ f & g \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \end{equation} \]

교과서의 \[ a_{21} \] 을 \[ a_{12} \] 로 바꾸고 위 식 (1)에 넣어서 다시 계산해 보세요. 그러면 결과는 맞게 나옵니다. donsen 18OCT08

아 답변 감사드립니다. 다른 몇가지 질문 좀 드리고자 합니다.

Q1.코다지-메나디 식 유도과정을 좀 여쭤보고자 합니다.

Nu = (a11)Xu+(a12)Xv Nv = (a21)Xu+(a22)Xv 로 놓고(아직a값들은 대입 안하고) 상태에서 먼저 위의식은v에 대해, 아래 식은 u에 대해 각각 미분하고 a값들을 대입하려 하는데 a를 u나 v로 미분하는 과정에서 식이 매우 길게 늘어지는데 제대로 한 것인지 잘 모르겠습니다..본래 이렇게 복잡한 과정을 거쳐야 하는지, 아니면 제가 잘못알고 있는것인지.. 유도하는 기본 요령을 좀 알려 주시면 감사하겠습니다.

A: 연습시간에 다룬 내용입니다. 연락주세요. donsen 190CT08

Q2)교재 137쪽 위에서 두번째 식을 보면 g*ds(ui)*uj=g*ui*ds(uj)라 나와 있는데 gij=gji가 그 이유라 써 있습니다. 그런데 그렇다 해도 우선 ds(ui)와 ds(uj)는 다른 값이지 않나요? 단지 (g*ds(ui)*uj)+(g*ui*ds(uj))를 2(g*ui*ds(uj))라 쓸 수 있는 이유는 i,j값이 임의로 변할 때 (gij*ds(ui)*uj)와 (gji*ds(ui)*uj)두 항이 나오는데 그 때 gij=gji니까 둘을 같게 보아 식을 재 조합하여 137쪽 위에서 셋째 줄 처럼 쓸 수 있는것 아닌가요? (정리해서.. 137쪽 두번째 줄 식은 맞지 않지만 i,j가 변함에 따라 나오는 항들의 합에서 몇개 원소 위치를 재배채 해주면 3째 줄 처럼 쓸 수 있는게 아닌가 하는게 저의 생각입니다.)

A: 연습시간에 다룬 내용입니다. 연락주세요. donsen 190CT08

Q3)평균곡률H가 내재적 양이 아니라는 것을 어떻게 증명할 수 있나요? K는 표현방식이 E,F,G와 이것들의 미분들로 표현할 수 있으므로 내재적량인게 증명이 되었지만 H가 그렇게 될 수 없다는 것은 어떻게 보일 수 있는지 궁금합니다.

감사합니다.

A:그 문제의 힌트대로 계산해보면 알 수 있어요. 원주면과 평면의 계량기는 등장적(isometric )이지만 평균 곡률을 계산해보면 평면은 0이 나오고 원주면은 0이 나오지 않습니다. 다음부터는 연습시간에 질문해 주세요- donsen 19OCT08

교수님 안녕하세요. 미분기하 수강하고 있는 04학번 이상규 입니다.

쌍곡평면에서의 계량기가 잘 이해가지 않아 질문을 드리고자 합니다.

Q1) 쌍곡평면 계량기 정의에서 E 1/y^2, F 0, G=1/y^2 으로 보는게 맞나요? ”’A”’: Upper Half Plane이면 이것이 맞아요.

Q2) 만일 그게 맞다면 이것은 첫째 기본 형식에 의해 정의 된게 아니라 임의로 정의된 것이라 하는데 167쪽 예제53 중간 식에 (Ex^2 + Fxy + Gy^2)^1/2처럼 쓴 이유는 무엇인가요?(x=x미분값, y=y미분값) ”’A”’: 우선 이렇게 정의한 것이 우리 마음대로 정의했다고 하더라도 우리가 벡터의 길이를 이것을 사용하는 것으로만도 이것을 (일반화된) 제일기본형식이라고 할 수 있지요. 이런 모양으로 쓰는 이유는 무엇인가요?..121쪽 아래쪽에 3차원일 때 1형식과 비교한 것과 보았을 때 왜 그런지 이해가 잘 가지 않습니다. xy 항이 있는것이.. ”’A”’: xy항은 그냥 공식이라서 있는 것이지 F=0이니까 안 쓴 것이나 마찬가지이지요. r(t)의 도메인은 t인데, 레인지 영역의 x,y로 표현 한 것은 어찌 된것인지 이해가 잘 가지 않습니다. ”’A”’: r(t)의 영역과 상관 없이 우리는 속도벡터인 $ r'(t)$ 의 크기를 계산해야 하므로, $ (\dot{x}(t), \dot{y}(t))$ 를 제1기본형식을 사용해서 크기를 구한 겁니다.

Q3)그리고 크리스토펄 심볼 계산 과정에서 그것은 3차원일때 X1,X2, N의 계수들로 X11, X22, X12등을 표현한 것인데 여기선 2차원인데 이것을 어떻게 적용시킨것인지 궁금합니다. 그냥 3차원에 있는 평면 개념으로 쌍곡평면을 이해하게 되는 건가요? ”’A”’: 우리가 앞에서 $ Γ$ 를 계산할 때는 $ N$ 을 사용해서 계산했지만 나중에 이것은 $ N$ 을 사용하지 않고 intrinsic하게 계산할 수 있다는 것을 알았지요? $ g_{ij}$ 를 써서 하는 거지요. 그러니까 이제는 3차원 안에 놓인 곡면이 아니라도 $ g_{ij}$ 만 있으면 $ Γ$ 들을 계산하고 사용할 수 있게 된거지요. 이게 intrinsic geometry이고요.

뒤늦게 질문드려 죄송합니다.. 기본개념이 많이 부족한듯해서 잘 이해하지 못한 듯 합니다.ㅠ 모쪼록 답변 부탁드리겠습니다. 감사합니다.

답변 감사드립니다^^ 1년동안 감사합니다. 좋은 방학 되시길 바랄게요.

[wiki:DiffGeometry2k8FallWithTutors 도우미 선생님이랑 페이지]

{{|도우미 연습 12월 6일 월요일 오전 9시-12시 이과대학 107호. email- donsen2@hotmail.com

도우미 신청하신 분은 학번이랑 이름을 저에게 보내주셔야 제가 최종 참여 인원 명단을 작성할 수 있습니다.|}}

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