- 각 조는 조 번호를 쓴 섹션에 자신의 내용을 올려주세요.
- 이곳에 쓰는 내용은 아무거나 막 적지 마시고 Wikipedia를 찬찬히 살펴보고 이곳에 적합한 내용과 같은 정도의 요약성을 가지고 써 주기 바래요. 아직 수학사에 관한 내용은 우리말 Wikipedia에는 없을거고요. 영어 Wikipedia에 있는 내용을 읽어보고 이에 해당하는 내용을 적으면 됩니다. 내가 찾아보고 적절한 샘플 페이지를 여기 링크해 둘테니 그것을 읽어보세요.
- ”’예를 들어 다윈의 종의 기원에 대한 Wikipedia의 설명입니다: http://en.wikipedia.org/wiki/Origin_of_species”’
- ”’아래 2조가 적은 익산의 일반적인 특징도 좋습니다. 그러나 이것은 모든 조에 공통되는 내용입니다. 이러한 전반적인 특징보다는 자신이 발표를 맡은 부분에서 볼 수 있는 특징을 적어주면 좋습니다. 많이 적을 필요는 없으며 자신이 발표 맡은 부분에 있는 해설을 읽어보고, 중국 고전이나 지난 300년 동안의 다른 조선시대 수학과 비교해서 그 내용에 특징이 나타나 있는지 찾아보고 이를 적어주면 됩니다. 특징이 별로 없는 부분은 그대로 없다고 적어줘도 됩니다.”’
- ”’특히 본문 전체의 번역은 여기에 쓰지 말아주세요. 본문은 꼭 필요한 부분만 언급하면 됩니다.”’
1조
산학본원
-
開方法 개방(開方)이란,‘방(方)을 풀어 헤친다’는 뜻이다. 정사각형을 풀어 헤치면 길이가 같은 4개의 변을 얻고, 이때 한 변의 길이는 정사각형 면적의 제곱근이 된다. 개평방술(開平方術)은 제곱근을 구하는 방법이다.
개방술은 다음과 같다. 주어진 넓이를 실(實)이라 두고 제곱근의 자리 수를 정하기 위하여 산대 하나를 빌려서 실의 한 자리 수 아래에 둔다. 매 단계마다 한 자리씩 뛰어서 옮긴다. 근의 첫 번째 자리수를 추정한다. 추정된 수와 빌린 산대의 놓인 수를 곱하여 이를 법(法)으로 정한다. 그리고 뺄셈을 하고 법의 두 배를 정법(定法)이라 한다. 두 번째 뺄셈을 준비한다. 정법을 한 자리 오른쪽으로 옮기고 빌린 산대는 전과 같이 정한다. 근의 두 번 째 자리 수를 추정한다. 그 수와 빌린 산대를 곱하여 정법에 더한다. 두 번째 뺄셈을 하고, 정법에 한번 더 위 의 곱한 수를 더한다. 같은 방법을 계속한다.
근호를 완전한 정수로 풀어내지 못할 경우, 정수 이하 부분을 분수로 처리하는 방법에 대해 알 수 있다. 즉 제곱 근의 정수 부분 이하를 실의 나머지/방법 X 2 +염법 로 나타낸다.
식으로 나타내면 j² = a 인데, j를 j = z + x (z는 j를 넘지 않는 최대의 정수, 0<x<1)로 만든 다음 z와 x를 구 하면 된다. 이 때 z는 초상, x는 차상이라고 한다.
j² = a를 변형 시키면 (z+x)² = a에서 a를 좌변으로 이항시키면 (z+x)²-a=0이 된다 이때 x값을 구하는 것은 y=(z+x)²-a 라는 그래프의 x절편을 구하는 것과 같다. 이 근사값을 구하기 위해 x가 0일 경우와 1일 경우의 2개의 점을 생각해보기로 한다.
A ( 0 , z² – a ) B ( 1 , 1 + 2z + z² – a ) 에서 비례식을 사용한다.
y값들의 비는
z² – a : 1 + 2z + z² – a
로 선분AC의 길이는 총 1 + 2z + z² – a에서 z² – a를 뺀 값이므로 선분 AC = 1 + 2z 가 된다. 결국 Ax : Bx 의 길이의 비는
z² – a : 1 +2z +z² -a
이며 Ax₂의 길이가 x절편의 값이되므로
(Ax₂+Bx₁) * l z² – a l / 1+2z
를 통해
실의 나머지 ( a – z² ) / 1(염법) + 2z (방법)
이 x절편임을 알 수 있다.
- 增乘開方法(증승개방법) 증승개방법이란,‘더하고 곱해 제곱근 구하기’라고 말할 수 있다. 이 방법은 오늘날 고등학교에서 숫자계수방정식을 풀 때 사용하는 조립제법과 원리가 똑같다. 원래의 방정식에서 근의 근사값(x0)을 추정한 다음, 이 추정값과 실제값의 차이(x-x0)를 근으로 하는 새로운 방 정식으로 변형시킨다. 이 방정식을 갖고 근에 좀더 가까운 해를 다시 설정해 또다시 새로운 방정식으로 변형시키 는 과정을 반복하면 각 자리에 해당하는 실제값을 차례로 구할 수 있다.
익산
- 뒤섞여 어지러운 변화가 일어나고 천 가지 시작과 만 가지 끝이 있는데 정부를 버리면 정리될 것이 하나도 없 다. 따라서 그 사용이 오묘하고 무궁하다고 한다.
27-1. 역뉵을 보면 단서는 뒤엉켜 있지만 정부가 그를 바로 잡고 주객의 자리를 구별하고, 그 작용의 이치를 알아내 어 질서가 정연하고 문란하지 않다.
- 구장산술의 방정에서 시작된다.
28-1. 구장 산술의 방정에 정부술이 시작된다.
- 진(구소)은 전에 저술된 방정식의 풀이법에 대하여 말하고 있다.
29-1. 초리당 순은 말하기를 진구소는 ‘수서구장’에서 방정식의 풀이법을 서술하고 있는데 그 세밀함과 간결함이 하나로 관통하고 있고, 그 근원은 예날 ‘구장산술’에 있고 매문정의 ‘소광습유’에서는 그 기능이 바할 바 가 아니라고 하였다. 아래를 보라.
- 이난성의 ‘측원해경’ 과 ‘익고연단’
30-1. ‘측원해경’은 이경재 야(冶)가 원도(圓圖 = 원성도식)의 내외에 15개의 직각삼각형의 여러 가지 변화를 이 용하여 170개의 문제를 설정하고 있다. ‘익고연단’은 이경재가 당시 저자를 알 수 없는 책을 구하여 조단세번도식을 보충하여 지었다. 무릇 이들 두 저서는 천원술의 시작이다.
- 곽태사는 황도와 적도를 구함에 천원술을 썼다.
31-1. 형대 사람 곽수경은‘수시력’에서 황도, 정도를 계산하는 법에서 천원일법을 쓰고 또 심괄의 탁회술을 이용 하여 호시를 구하는데 4차방정식을 풀었다.
- 주한경은 지원, 인원, 물원으로 늘렸다.
32-1. 주세걸은 ‘사원옥감’에서 천춴, 지원, 인원, 물원을 태극의 상하좌우에 늘어놓고 알지 못하는 것을 천원으 로 처리하였다. (천원술)
- 정부로 이들을 모두 처리함으로 정부의 뜻은 크다고 할 수 있다.
- 천원의 계산과정에도 정부의 개념을 도입함으로써 정리하기 쉬워진다는 것을 의미하는 듯
- 방정술은 정부상당식으로 상쇄하여 한 개의 법과 한 개의 실을 구하는 것이다.
34-1. 방정은 이미 정부상당인 식들을 사용하고 있으므로 나란히 늘어놓고 상쇄하여 한 개의 법과 한 개의 실로 바 꾸는 것이다.
- 천원술은 왼쪽에 둔 식과 다른 수를 상쇄하여 정부상당의 방정식을 얻어내는 것이다.
35-1. 여적의 수(미지수를 포함하는 넓이, 부피 등)는 왼쪽에 두는 것이다. <천원을 제곱하여 천원멱을 얻는 것은 정사각형의 변을 제곱하여 면적을 구하는 것과 같다> 또 수란 이미 알고 있는 수를 뜻한다. (기지수) – 상수의 개념인 듯 여적의 수는 (주어진 조건에서) 반드시 기지수와 같아지므로 이들을 상쇄하여 정부상당의 방정식을 얻어낼 수 있다.
- 다원술이란 정부상당식이 여러 개 있고 여러 과정을 통하여 한 개의 방정식을 얻어내는 것이다. 따라서 이를 푼 다는 것은 결국 천원에서 방정에 포함된다고 할 수 있다.
- 연립방정식을 다원술을 통해 천원에 대한 방정식으로 고치는 듯
36-1. 천지인물 네 가지는 각각 원(=미지수, 천원, 지원, 인원, 물원)으로 택하여지고 따라서 정부상당식을 얻어내 지만 이를 풀 수는 없다. 구하는 수를 얻으려면 반드시 상쇄하여 한 행에 이르러 단 한 개만의 원을 남긴 후에 천원술에서의 방정식을 얻어야 된다. 이는 방정에서 상쇄하여 한 개의 법과 한 개의 실을 얻는 것과 비슷할 뿐이다. 따라서 이를 천원술에서 방정에 포함되고 있다고 하였다.
- 하나의 식에서 미지수가 여러개인 경우에는 일반적인 경우 풀 수 없으므로 가감법 등의 상쇄를 통해 일원방정 식으로 바꾼 다음에 풀 수 있다고 얘기하고 있다.
- 최근에 서양 사람들의 차근방술에 대하여 매우 자세히 설명하고 있는 경우가 많은데, 매문목이 말하기를 이는 천원술을 충실하게 논하면 된다고 하였다.
37-1. 차근방술의 진수는 바로 태(太)이고 근은 원(元)이며, 다소와 정부는 비슷하므로 차근방술은 바로 천원술이 다.
- 서양에서의 방정식(equation)이 천원술과 동일함을 얘기하고 있다. 진수는 태(실제 크기, 상수항)와 같고, 근 (미지수)은 원과 같다 하였으며, 다소와 정부(+와 -, 그리고 정부)는 비슷하다고 하였다. 매문목공 각성은 천원일이 바로 차근방임을 서문에서 다음과 같이 말하였다. “수시력” 초를 읽어보면 현시(弦矢 – 활꼴에서의 현의 길이)를 구하는 법이 있는데, 먼저 시(현의 길이)를 천원이롤 놓고 있고, 원나라 학사 이야의 저서 “측원해경”에서도 역시 천원일을 세워 계산하고 있다. … (과거의 예들을 서술) 강희제의 명에 따라 차근방법이 받아들여졌다. 또 그는 서양 사람들이 말하는 이 책을 아이열팔달(algebra, 대수학)이라 부르라하고 이는 동쪽에서 온 법이 라는 뜻이라고 하였다. 이를 읽어보면 그 법이 신묘하고 확실히 그 산법은 지침이 되는 것을 받아들일 수 있 다. 그러나 의심할 것이 없이 이는 천원술과 매우 비슷함을 알 수 있다. … (결론적으로 차근방법은 천원술 과 비슷함을 설며. 또한 차근방법이 정부론에 근거가 된다고 주장)
- 정부의 법칙을 알지 못하고 정부 대신에 다소로 상쇄 대신에 양변을 가감하면 끝내 한 행의 상당식을 얻지 못한 다.
38-1. 다소와 정부는 비슷하나 다소란 영뉵의 실체이다. 정부란 그 정보가 묘하게 쓰여 빈틈이 없다. 그래서 “구장 산술”의 주에서 부(負)라고 말하는 것은 반드시 작다는 것이 아니고, 정(正)이라고 말하는 것은 반드시 크다 는 것이 아니다. 양변을 가감한다는 것은 명백히 그 수들이 서로 같은 자리에서 양변의 법과 실이 구분된다는 것이다.
☞ 역자는 38.의 내용에 대해 왜 그런 견해를 펴는지에 대해 알 수 없다고 하였다. 실제로 a = b에서 a +c = b +c 가 성립하고 이항을 통해 a – c = b – c 도 성립하는 것도 마찬가지이다.
☞ 영뉵을 검색해 본 결과 盈(영)을 영뉵이라고 표현한다는 사실을 알았다. 이는 ‘차다. 충만하다. 남다.’ 정도 의 의미로 여기서는 ‘남다’로 쓰이는 듯하다. 그러므로 다소란 영뉵의 실체라는 말은 다소를 행함은 동류항을 계산한 끝에 남은 수와 원들을 기록하는 것이라 생각한다.
☞ 서양에서는 법의 개념이 “식의 양변에 상수를 곱한다.” 정도인데 반해 동양에서는 법의 개념을 상당히 중요하 게 여기고 있다. 이는 38.에서처럼 다소와 정부의 차이를 가져오게 된다고 생각하며, 이 차이는 아마도 법을 통 일하면 일원방정식으로 나오지 않고, 법을 달리하면 가감한 후의 식의 법을 무엇으로 정할 것인가가 불명확해지 기 때문에 오는 혼란이라고 생각한다.
☞ 혹은 과거에 이항의 개념에 있어 정부의 개념을 사용하지 않을 경우 그것을 대체할 수 있는 서양의 +,- 개념이 완전히 자리 잡지 않았기 때문에 이항과정에서의 부호사용이 미숙해서 정부개념을 사용하는 것이 낫다고 생각했 던 것 같다.
☞ 확실히 정부의 개념을 사용하면 헷갈리지는 않는다. 이는 회계에서의 차변과 대변이 기능하는 것과 유사한 것으 로 어떤 항을 어느 쪽으로 이동시키든 차변의 총합과 대변의 총합은 일치하게 되므로 헷갈리는 일이 없게 된다.
2조
= '''산학본원 ‘ 쇠분 ’''' =
”’산학본원 중 ‘쇠분’에 대하여”’
‘쇠분’은 ‘차(差)’라는 뜻으로 차등을 두면서 비례적으로 골고루 나누는 계산법을 말한다. 현재의 비례식과 비슷한 개념이기는 하나, 단순히 현대의 비례식 (현대수학에서의 1: 2: 3 과 같은 것들 ) 과는 약간 다른 의미를 가지고 있으므로 그것에 대해 우리조는 중점적으로 알아보았다.
”’쇠분을 이용한 풀이 방법”’
우선 우리조가 푼 문제 하나를 예로 들어서 설명하겠다. 비슷한 문제는 제외시키고, 특징이 드러나는 것만을 예시로 들겠다.
4-1 지금 갑군이 주력이 되어 을, 병, 정, 무군을 거느려 5군을 점병하니 1234507명이다. 다만 을은 갑의 이고, 병은 을의 이고, 정은 병의 이고, 무는 저의 라고 한다. 5군은 각각 얼마인가?
답: 갑 540660명, 을 270330명, 병 180220명, 정 135165명, 무 108132명
갑 : 을 : 병 : 정 : 무 = 1 : : : : = 1 : 0.5 : : 0.25 : 0.2 여기서 병을 제외한 몫을 모두 더하면 1.95이므로 다른 네 명과 병의 비는 다음과 같다. 1.95 : = 5.85 : 1
: : :
따라서 갑의 군사는 1234507 × = 540660명이다. 마찬가지의 방법으로 나머지 군사의 수를 구할 수 있다.
4-4 지금 라비단 4자, 능비단 5자, 견 6자의 값은 1219문이고 라비단 5자, 능비단 6자, 견 4자의 값은 1268이고 라비단 6자, 능비단 4자, 견 5자의 값은 1263문이다. 세 가지 비단 한 자의 값은 각각 얼마인가?
답: 라비단 98문, 능비단 85문, 견 67문
”’쇠분의 수학적 의의 및 현대수학과의 비교”’
첫 째, 그들은 처음의 미지수, 가령 x 라는 개념을 세우지 않았다. 대신 그들은 1이라는 개념을 세우고 그것을 쪼 개 나가는 식의 계산을 했다.
둘 째, 위의 문제 풀이방법에서 볼 때에 옛 사람들은 분수의 곱하기 개념은 가지고 있었다.그래서 비례식 계산을 할 수 있었다.
셋 번째, 그들은 아직 소수에 대해서 거부반응을 가지고 있었다.위의 풀이과정을 보면, 그들은 ‘ 분수 → 소수 ’가 가능한 것은 웬만하면 바꾸는 양상을 보였다.
넷 째, 그들은 ‘ 분수 → 소수 ’ 가 되지 않는 경우, 가령 분모에 3이 있을 경우, 그들 나름의 방법으로 계산을 해 나갔다. 위의 풀이과정에서 보면 다음 과정이다. 1.95 : = 5.85 : 1 그들은 비례식의 각 부분에 일정한 수, 즉 여기에서는 분모의 3을 곱해서 소수나 정수로 바꾸는 방법을 이용했음을 알 수 있다.
다섯 째, 그들은 – 라는 개념을 싫어했다. 현재 같으면 -라는 개념도 수학적 개념의 하나로 인식을 했을 것이다. 하지만 그들은 -라는 개념을, 단순히 계산을 하다가 나오는 하나의 개념으로, 그것을 웬만하면 + 로 바꾸고자 하는 노력을 했다.
여섯 째, 그들은 ax +by +cz = d 와 같은 방정식의 개념이 존재하지 않았다. 그래서 그들은 위의 4-4문제를 품에 있어서 방정식을 사용하지는 않았고 그들이 알고있는 자체적인 방법을 이용하였다.
일곱 째, 그들은 ax + by +cz = d a’x + b’y + c’z = d’ 라는 식이 등장할때에 각각의 식에 적당한 수를 곱해서 a 부분과 a’ 부분을 같게 맞춰주는 현재의 방정식의 풀이법과는 약간 다른 방법을 이용하였다. 현재의 수학에서는 각각에 a 와 a’의 최소공배수가 되게끔 어떤 수를 곱해주는데, 예전에는 그런 방법과 비슷하지만 표현을 다르게 해 놓았다.
여덟 째, 우리는 보통 비례식 (쇠분에서 드러나는 비례식은 맨 처음 주어진 양에서 점점 쪼개나가는 개념이라는 것을 미리 알려둔다.)이 나오면 , 맨 처음에 주어진 것을 미지수로 잡고, 나머지 값들을 점점 쪼개나가는 순서로 계산을 한다. 하지만 산학본원의 ‘쇠분’의 별해 부분을 참고해보면, 그들은 맨 마지막에 나온 값을 기준으로 삼고, 점점 앞의 개념으로 계산을 해 나가는 식의 사고도 가능했다. 이것은 현대수학에서는 무조건 앞의 개념에서 뒤의 개념으로 계산해 가는 것과는 차이점을 보인다.
익산 ,정부론
”’정부론의 특징과 시대 상황”’
문제를 푸는 계산법 보다는 정부正負를 어떻게 생각하여 사고하고 있는가에 중점을 두어야 하는 부분이다. 그 당시에 음수의 개념을 적용하여 수학적인 사고를 한다는 것은 기하학을 통한 계산에 익숙하고, 대수적인 수학에 취약했던 상황을 생각해 볼 때, 어려움을 겪었을 것이라고 생각이 된다. 또한 음수라는 것은 눈에 보이지 않는 개념이기 때문에 받아들이기 어렵고 부정적인 의미를 가졌으리라고 예상할 수 있다. 이런 상황에서 음수에 대한 적절한 설명은 더욱 어려웠을 것인 바, 한자를 번역해 놓은 글을 읽으면서도 이해하는데 조금 난해한 부분이 있을 것이다. 그와는 대조적으로, 현대 수학에서는 양수와 음수의 개념이 혼동되지 않고 호환적으로 이해되고 있지만 이 시기 양수와 음수의 개념인 정부는 계산 과정에 있어서 어느 정도 혼란을 야기했다고 볼 수 있었다.
-
정부론의 수학적 의의
정부론은 수학적 과정에서 양수와 음수의 개념을 강조하고 있으며 모든 방정식을 p(x)=0의 형태로, 즉 정부상당식으로 비록 양수와 음수의 개념을 지나치게 강조한 면이 없지 않아 있다. 하지만 서양에서 유명한 수학자인 데카르트에 의해 p(x)=0의 형태가 정립된 반면, 동양에서는 이상혁이 정부론을 통해 그 형태를 주장하였다는데 의의가 있다. 이상혁이 주장하기 전에는 p(x)=c의 식으로, 우항에 상수항을 넣는 형태였지만 이상혁은 정부론에서 부정방정식을 주장하여 질서를 마련한다. 이는 비록 구조적 문제를 너무 중시하였다는 면도 있지만, 이론을 만들어내어 수학사적 질서를 정립하려는 목적으로 볼 수 있다. 또한 정과 부를 구분지음으로써, 방정식을 푸는 과정 또한 확실한 질서를 마련하고자 하였다.
-
정부론을 통해 본 현대와 조선시대의 관점
현대에서는 방정식을 세울 때, 꼭 p(x)=0의 정부상당식으로 해야 한다는 법칙 없이 필요할 때마다 유연하게 방정식을 세운다. 예를 들면 p(x)=0의 형태로도 쓰이고, p(x)=c의 형태로도 쓰일 수 있다는 것이다. 하지만 조선시대, 이상혁이 주장한 내용은 반드시 우항을 0으로 만드는 방정식을 사용해야 한다는 것이다. 방정식의 질서를 만들어 내고자 했던 의도가 들어있다. 하지만 이는 식을 정리할 때는 편하다는 장점이 있으나, 두항을 소거할 때나 연립 방정식을 풀게 될 경우 현대의 관점에서는 조금 불편할 수도 있다. 한편으로 양수와 음수에 대한 개념이 지금은 많이 보편화되어 있어서 받아들이기 쉬웠지만, 조선시대의 관점으로는 이해하기 어려웠던 것처럼 보인다. 왜냐하면 양수와 음수를 지나치게 구분하고 있기 때문이다. 따라서 부호를 구분 짓는 것도 방정식의 풀이 과정이라 여기며, 항상 법과 실의 부호를 확실히 여기고 있다. 또한, 부호가 굉장히 중요하기 때문에 현대 수학에서 하듯이 +와 -가 호환성을 가지고 있는 부분을 볼 수 없었다. 예를 들면, 5+(-3)=2 라는 식을 5-3=2라고 표현하지 않는 것에서 그 부분을 알 수 있었다. 하지만 수학을 정립하기 위해 법칙을 세우고, 중국 수학과는 다른 독자적인 방법을 만들어 내려고 했던 이상혁의 의도는 높이 평가할 만한 가치가 있다.
3조
산학본원
먼저 산학본원의 천원일술보유는 천원일술을 보완한 방법 정도로 이해가 되는 용어다. 천원일술이 구하고자 하는 것을 천원1(서양의 표기방법으로는 x)을 놓고서 주어진 조건에 맞는 식을 세우고 풀어가는 방법이다. 천원일술 보유는 거기에 식의 전개라는 개념을 도입하여 개념의 확장을 꽤하고 있다. 이를 위해 먼저 간단하게 자리 수 개념과 식의 전개 방식을 논한 후 이를 이용한 문제풀이를 제시하고 있다.
천원일술보유의 첫번째 특징은 곱해질 때의 자리수에 대한 지식들이다. 두 자리 수를 제곱(평방(平方))하면, 세 자리(이를 입방(立方)이라 부른다)가 되고, 두 자리 수와 세 자리 수를 곱하면 네 자리 수(이를 삼승방(三乘方)이라 부른다)가 된다. 이외에도 두 자리 수와 네 자리 수를 곱하면 다섯 자리 수(이를 사승방(四乘方)이라 부른다)가 된다.
이 지식을 이용하여 4096이 어떤 수의 제곱인지를 알아보자. 4096을 40과 96이라는 두 개의 수로 나누어 4000이 어떤 수의 제곱에 가장 가까운 수인지를 정한다. 3600<4000<4900임을 쉽게 알 수 있음으로 처음 두자리수가 60임을 알 수 있다. 그리고 마지막 자리 수인 6이 나오는 제곱수를 찾는다. 물론 한 자리수로 말이다. 그러면 4 또는 6이 거기에 해당하는 것을 알 수 있다. 따라서 64와 66을 제곱해 보면 4096이 어떤 수의 제곱인지 알 수 있다.
다음 특징은 서양의 수학에서 이야기하는 식의 전개와 비슷한 개념을 사용하고 있음을 알 수 있다. 서양의 수식으로는 x+1처럼 가로쓰기를 하고 있지만, 천원일술보유에서는 세로쓰기를 하고 있다. 예를 들어 천원일술의 방법으로는
1
1
그리고 이를 전개하는 방법들이 소개 되고 있다. 수식으로 쓰지 않고 언어로 간략히 설명하면 현대의 수학에서 x의 계수에 해당하는 수들을 세로로 쓴 다음 이들을 곱해서 계수들만 구하는 방법이다. 서양의 파스칼 삼각형과 비슷한 방법이라 할 수 있다. 예를 들어 천원일술 보유에서는 다음과 같이 나타내고 있다.
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 은
1
2
1
(x+1 ) 3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 은
1
3
3
1
이는 곱셈의 전개를 보다 편리하게 하기 위한 고안으로 보인다. 물론 현대에 와서는 확률론의 조합을 사용하여 식의 전개를 해결하고 있지만, 이러한 노력은 중국에서만 있었던 것은 아니다. 현재의 고등학교 수학 교과과정에서도 학생들에게 곱셈식의 전개를 편리하게 설명하기 위하여 여러 가지 도형을 사용하고, 유럽에서도 고대 그리스로부터 내려온 곱셈의 전개 방법을 파스칼이 정리하여 파스칼의 삼각형이라는 방법으로 빠르고 쉬운 식의 전개를 꽤하고 있는 것을 볼 수 있다.
익산
익산 정부론 = 익적, 화종, 번적의 의미
”’익적”’
만약 염에서 나머지를 뺀 것이 실과 같은 부호이면 익적을 이룬다고 한다. < 익산정부론 [21]>
익적이란, 방정식을 증승개방법으로 푸는 과정에서 볼 수 있는 것으로 상수항 전 항에서 나머지를 뺀 것이 상수항과 같은 부호인 경우를 말한다. 이를 알기 위해서는 증승개방법이 무엇인지를 알 필요가 있다.
증승개방법이란, 방정식을 풀 때 계수와 상수만을 따로 놓고, 해를 오른 쪽에 놓은 후 계수와 해를 곱하고, 그 곱한 수를 다음 계수와 더하고, 또 그 더한 수를 해와 곱하고, 또 그 수를 다음 계수와 더하는 방식으로 계산하여, 고차 방정식의 해를 구하는 방법이다. 그렇다면 맨 처음에 어떤 해를 놓을지는 어떻게 생각해내는가? 증승개방법으로 풀어냈을 때 마지막으로 한 수가 상수항과 절대값이 같고 부호가 다른 수가 나오도록 하여, 0이 되도록 하는, 즉, 처음 방정식의 상수항을 없애주는 수를 놓아야 한다. 한 번에 추측이 불가능할 때에는 백의 자리의 수부터 대입해보고 차근차근 십의 자리의 수와 한 자리 수를 순서대로 대입해준다. 예> -x²+204x +8640 =0 을 증승개방법으로 계산. -1 204 8640 (200 -200 800
-1 4 9440 (200 -200
-1 -196 9440 (40 -40 -9440
-1 -236 0 ▶ -X -236=0
= 이 경우 예상되는 백의 자리수인 200을 먼저 해로 놓은 후 다음 십의 자리수인 40을 추가로 하여 ‘240’ 이라는 해와 ‘-236’이라는 해를 구할 수 있었다.
이렇게 증승개방법을 알아보았는데, 증승개방법의 과정 안에서 어떻게 익적을 볼 수 있는지 알아보자. 위에서 예로 들었던 식을 다시 예로 들어보자.
예> -x²+204x +8640 =0 을 증승개방법으로 계산. -1 204 ”’ 8640 ”’ (200 -200 ”’800”’
-1 4 ”’9440”’ (200 -200
-1 -196 9440 (40 -40 -9440
-1 -236 0 ▶ -X -236=0
위에서 8640 과 800을 더해서 9440이 된 부분이 보이는가? 8640 + 800 = 9440 처럼 상수항과 더해지는 그 수가 상수항과 같은 부호라서 더해지는 경우 익적을 이룬다고 한다.
”’화종”’
[22] 염이 실과 다른 부호이고 우와 같은 부호이면 화종이 되는데 서로 빼는 것이 법이므로 법은 염이 된다.(익산 정부론 원문 내용)
화종이란, 익적과 달리 상수항과 상수항에 더해지는 수인 법이 부호가 다른 경우를 말한다. 그 중에서도 상수항이 (-)이고 상수항에 더해지는 수가 (+)인데 상수항의 절대값이 더해지는 수의 절대값보다 커서 둘을 계산했을 때 (-)가 나오는 경우를 ‘화종’이라고 한다. 예를 들어보자.
-x²+408 =34560 =0
-1 408 ”’-34560”’ ( 100 -100 ”’30800”’
-1 308 ”’-3760 ”’ (100 -100
-1 208 -3760 (20 -20 3760
-1 188 0
-34560 + 30800 = -3760 이 부분이 바로 화종을 이루는 부분이다.
”’번적”’
[23] 만약 법이 크고 실이 적으면 거꾸로 빼야 하므로 번적이 된다고 한다.(익산 정부론 원문내용)
번적이란, 익적과 달리 상수항과 상수항에 더해지는 수가 부호가 다른 경우를 말한다. 그 중에서도 상수항‘실’이 (-) 이고, 상수항에 더해지는 수인 (법)이 ()라서 법에서 실을 빼야하는 경우 그리고 법에서 실을 뺀 수가 ()가 되는 경우를 ‘번적’이 된다고 한다. 예를 들어보자.
x³ – 1200x² + 213600x – 10080000(=0)
1 -1200 213600 ”’-10080000 ”’ ( 100 100 -110000 ”’10360000 ”’
1 -1100 103600 ”’280000”’ 100 -100000
1 -1000 3600 280000 100
1 -900 3600 280000 (20 20 -17600 -280000
1 -880 -14000 0 20 -17200
1 -860 -31200
여기에서 -10080000 + 10360000 = 280000 이 되는 곳이 바로 번적을 이루는 부분이다.
4조
산학본원
- 방오사칠술
정사각형의 한 변(面)과 대각선(弦)의 비율을 5:7의 비, 즉 1:√2의 근사값으로 놓는 것을 말한다.
옛 사람들은 이것을 이용하여 정사각형에 관련된 기하 문제를 쉽게 풀었다. 이것은 정사각형의 넓이를 알고 그 한 변을 구하는 식, 산학본원의 초장에서 언급한 개방술의 원리보다는 조금 더 간단하다는 장점이 있지만, 그것의 값을 정확하다고 볼 수는 없다는 점에서 단점이 있다.
5.양휘교정변고통원개방부진지법
개방법과 방오사칠술, 변고통원의 해를 비교함으로서 근사값의 차이를 보여주며, 그것으로 해가 다르게 나타날 수 있다는 결과를 보여준다. 이 장은 앞서 언급한 방법을 모두 사용하기 때문에 특별한 정의나 새로운 개념이 등장하지 않는다.
비교
서양의 수학이 무리수를 무리수 그대로 인정하여 수식을 전개한 반면, 동양의 수학은 무리수를 근사값으로 나타내어 분수로 활용하였으며 그것으로 하여금 실제 생활에 적용하였다고 할 수 있다. 정사각형의 한 변과 면적에 관련된 문제는 건축에 주로 사용되었으며 그것은 무리수의 실제적으로 나타낼 수 없다는 단점을 근사값으로 하여 실제로 사용했다는 데 장점이 있다. 그러나 근사값의 부정확함은 오차를 만들어 내며 그것은 정밀함을 요구하는 수학 문제에서는 별 효과를 발휘하지 못하였다. 5장에서 방오사칠술이나 개방술의 근사값 등은 서로 다르다는 것을 알고 있다는 점은 충분히 주지할 수 있지만, 그것이 가져오는 오류는 실생활에 적용될 때 매우 많은 실수를 만들어 내었을 것이다.
익산
- 정부론
정부론에서는 서양 수학에서 받은 영향을 이상혁 그만의 독특한 생각으로 동양 수학에 적용시킨 방법들이 등장한다. 여기서 언급할 내용은 등식에 대한 내용인데, 그 중 방정식의 원리를 설명할 것이다.
(1) 정부론의 내용에서 가장 먼저 언급하는 것은 현대 수학에서의 음수와 양수의 개념이다. 동양의 수학은 음양수의 존재는 알고 있었지만 오직 양수만을 문제를 푸는데 이용하였다. 구고술, 원율등의 기하문제나 개방술, 천원술등의 대수문제에도 음수는 등장하지 않는다. 뒤이어 언급할 등식의 성질을 설명하기 위해서 부호를 먼저 이야기한 것이다.
(2) 정수론과 마찬가지로 등호가 들어간 방정식의 원리를 규정하는 것이다. 등식의 성질이라고 할 수 있는데, 앞서 언급한 수의 부호를 발전시켜서 등식의 성질을 설명한다. 등식에서 좌변의 상수를 우변으로 이항시킬 경우 부호는 달라지지만 그 수는 변하지 않는다. 현대수학으로 말하자면 A+C=B+C라고 할 수 있다.
(3) ax+b=0 이라는 식은 x를 구하는 방정식이다. 여기서의 착안점은 ‘법과 실’이다. 곱셈과 나눗셈에서만 등장하는 이 법과 실이라는 개념은 ax+b=0 이라는 식을 살펴보면 알 수 있다. 덧셈과 뺄셈에 한정되었던 앞서의 설명을 부연하여 곱셈과 나눗셈으로 등식의 성질을 이용하였다.
(4) 법과 실의 구분이 존재하는 나눗셈은 그 위치의 섞임이 없다. 앞서 언급하였던 곱셈과 나눗셈에 대한 등식의 성질에서 곱셈은 그 수가 바뀌어도 식이 성립가능하지만, 나눗셈은 경우가 다르다는 것을 보여준다. 자리가 바뀌는 경우에는 그 답이 달라지기 때문이다. 그래서 나눗셈으로 이루어진 등식의 경우, 수를 구분하는데 어려움이 없었으며, 부호를 사용할 필요도 없다. 그리고 여기서 문제를 풀어내는데, 그것의 풀이는 예전의 풀이법과 크게 다르지는 않으나 이상혁이 앞서 언급한 것들을 토대로 풀어내기에 훨씬 독창적이라 할 수 있다.
예제로, 구장산술을 인용한 영부족문제를 살펴보면, 각 사람마다 은 7냥씩 나누면 4냥이 남고, 은을 9냥씩 나누면 12냥이 모자란다. 사람은 몇 명이며 은은 몇 냥인가? 라는 문제에서 이상혁의 풀이는 이렇다. 7x+4 = 9x-12, 그러므로 x는 8이며 은의 양은 60이라는 것이다. 앞의 정부의 정의와 소장의 원리를 십분 활용한, 당시로서는 굉장히 새로운 풀이법이다.
비교
이것이 서양수학의 수식과는 다른 알고리즘형태의 논리 전개로 남아있었으므로 발전이 더뎠던 동양수학의 한계를 보여준다. 그러나 서양 수학의 영향을 받아 문제 풀이가 등식의 형태가 아니었던 동양의 수학에 이 개념을 처음 보여준 것은 높이 평가될 만하다. 그리고 등식의 중요성을 언급하여 그것으로 문제를 풀었고, 그것이 가져온 수학의 명료화 간략화의 경향은 매우 바람직한 영향이었다고 할 수 있다.
5조
산학본원
<산학본원>의 동문산지개평방기령법, 기령병모자법, 방률 1)천원이라는 말을 번역해보면 만물의 근원이라는 말로 내 추측에 이것은 모든 수를 대변하는 서양의 미지수 x 와 같은 의미이다. 그러니까 산학본원의 천원이라는 말에서 동양의 수학도 대수학이 정립되어 있다.
2)그들의 문제해결 방법에서 특별한 점은 넓이와 부피, 둘레에 대해서 현재 우리가 쓰는 방법과는 다른 식으로 접근하고 있다는 것이다. 우리는 한 모서리를 기준으로 넓이와 둘레 부피를 계산하는데 익숙한 반면, 옛날 사람들은 한 변 보다는 둘레를 기준으로 넓이와 모서리, 부피의 값을 계산해냈다. 이것에 대한 추측은 2가지가 있는데 첫 번째는 그들이 농업사회이기 때문에 땅이 중요시되었기 때문이다. 기하학 적으로나 실용적으로 땅의 한 모서리의 길이는 아무 쓸모가 없다. 대신 둘레, 넓이 등이 그들에게 훨씬 유용하기 때문에 그것을 위주로 문제를 해결했다고 생각한다. 두 번째는 수학적인 접근으로, 그들의 기록을 보았을 때 그들은 개방술을 편안하게 자주 사용한다. 즉 다른 계산법보다 개방술에 익숙해져 있는 것이다. 그래서 제곱근을 구하는 식으로 문제를 접근하기 때문에 한 변은 그들에게 의미가 적은 것이다.
익산
원추타
원추타 역시 지름이 1인 원부터 시작하여 지름이 1씩 늘어난 원들의 넓이를 각각 더하는 것으로 생각했던 것 같다. 그런데 삼각형과 사각형의 넓이는 변을 1씩 늘려가면서 생각해보기 싶지만 원은 그렇지 않다. 따라서 옛날 사람들은 원전적이라는 것을 이용해 그 넓이를 생각해 보았다. 원전적이라는 것은 하나의 원을 중심으로 그 둘레에 6개의 원을 더해가는 것이다. 그런데 이렇게 원전적을 이용하면 지름이 홀수인 홀수 층의 넓이만을 구할 수 있다. 따라서 홀수 층은 원전적을 이용하고, 짝수 층은 정사각형의 면적의 4분의 3을 쌓아 놓은 것이라고 생각하였다. 이렇게 홀수청과 짝수 층을 따로 구분하는 것이 흥미로운 부분이었고, 삼각타적, 사각타적과 다른 부분이었다.
그런데 이 법에서 층수의 반을 더할 때 왜 홀수 층일 때는 2분의 1을 더해주는 것인지가 매우 궁금했다. 이것에 대해 많은 생각을 해보았었는데, 처음에는 층수를 반으로 나누기 위해서 층수가 홀수이면 나누어 떨어지지 않기 때문에 임의로 2분의 1을 더해 주었을 것이라고 상상했었다. 그런데 곰곰이 생각을 해보니 이것은 단지 나누어 떨어지지 않아 편의상 2분의 1을 더해준 것이 아니었다.
짝수 층의 원에서 보면 이 사람들은 원을 정사각형의 4분의 3인 것으로 보았다. 그렇다면 첫 번째 원의 넓이는 지름이 1이므로 4분의 3이 될 것이다. 그런데 첫 번째 원의 넓이를 1로 계산하였으므로 4분의 1이 남게 된다. 따라서 4분의 (층수의 반)부분에서 층수의 반인 2분의 1에 2분의 1을 더하여 4로 나누면 남은 값인 4분의 1이 되었던 것이다. 그리고 층수가 3이면 홀수 층이 두 개이므로 4분의 1이 두 번 남는다. 따라서 똑같이 층수의 반인 2분의 3에 2분의 1을 더하여 4로 나누면 두 번 남은 값인 4분의 2가 더해지게 된다. 다른 것과는 달리 원추타는 홀수 층과 짝수 층을 구별하기 때문에 굉장히 복잡해 보였었는데, 이것을 생각해낸 후 복잡하기는 해도 원추타가 굉장히 흥미롭게 느껴졌다.
6조
산학본원
익산
7조
산학본원
익산
8조
산학본원
3-22는 다른 문제들과는 달리 순개법을 이용하여 풀이하고 있다.
3-22 지금 여섯 도형의 총 부피가 9483자이다. 다만, 정사각형, 정육면체, 삼승방, 사승방의 한 모서리는 모두 같고 고원의 둘레의 반이며, 고원의 둘레는 고원의 지름보다 2자 짧다고 한다. 둘레와 지름 및 한 모서리는 각각 얼마인가?
| 번개법 | : | 일반적인 풀이 방법, 원의 지름을 천원 1로 놓고 문제를 푸는 방법 |
| 순개법 | : | 색다른 풀이 방법, 모서리의 길이를 천원 1로 놓고 문제를 푸는 방법 |
| 번개법 |
| 도형 | 지름,둘레,모서리 | 넓이,부피 | 전개*12(12단) |
| 고원1 | X(지름) | 3(0.5X)^2(넓이) | 9X^2 |
| 고원2 | X-2(둘레) | 3(1/6(X-2))^2(넓이) | X^2-4X+4 |
| 정사각형 | 0.5X-1(모서리) | (0.5X-1)^2(넓이) | 3X^2-12X+12 |
| 정육면체 | 0.5X-1(모서리) | (0.5X-1)^3(부피) | 1.5X^3-9X^2+18X-12 |
| 삼승방 | 0.5X-1(모서리) | (0.5X-1)^4(부피) | 0.75X^4-6X^3+18X^2+24X+12 |
| 사승방 | 0.5X-1(모서리) | (0.5X-1)^5(부피) | 0.375X^5-3.75X^4+15X^3-30X^2+30X-12 |
| 0.375X^5-3X^4+10.5X^3-8X^2+8X+4=9483*12=113796 |
| X=14 |
| 순개법 |
| 도형 | 지름,둘레,모서리 | 넓이,부피 | 전개*12(12단) |
| 고원1 | 2X+2(지름) | 3(X+1)^2(넓이) | 36X^2+72X+36 |
| 고원2 | 2X(둘레) | 3(1/3X)^2(넓이) | 4X^2 |
| 정사각형 | X(모서리) | X^2(넓이) | 12X^2 |
| 정육면체 | X(모서리) | X^3(부피) | 12X^3 |
| 삼승방 | X(모서리) | X^4(부피) | 12X^4 |
| 사승방 | X(모서리) | X^5(부피) | 12X^5 |
| 12X^5+12X^4+12X^3+52X^2+72X+36=9483*12=113796 |
| X=6 |
이 문제에서는 번개법보다 순개법이 훨씬 쉬운 풀이 방법이다. 고대수학에서도 본래의 풀이 방법보다 더 쉬운 풀이 방법을 찾기 위해 노력했다는 것을 알 수 있다.
익산
”’* 사각 남봉 절적법(4차법)”’
예제를 통한 사각 남봉 절적법(4차법)의 원리 설명
문제 – 관사가 병정을 모으는데 그 수를 정사각형의 면적에 따라 모으고 있다고 하자. 첫 번째 정사각형의 한 변은 5자이고 그 다음부터 차례로 1자씩 늘어난다. 각 병정의 첫날 일급은 쌀 1되이고 다음 날부터는 차례로 1되씩 더 준다. 지급된 쌀이 모두 1492석 4말 4되이다. 며칠동안 병정을 모았는가?
| 일 | 병정 | 일급 |
| 1 | 5^2 | 1 |
| 2 | 5^2+6^2 | 2 |
| 3 | 5^2+6^2+7^2 | 3 |
| 4 | 5^2+6^2+7^2+8^2 | 4 |
| 5 | 5^2+6^2+7^2+8^2+9^2 | 5 |
…..
| 1*(5^2) | + | 2*(5^2+6^2) | + | 3*(5^2+6^2+7^2) | + | 4*(5^2+6^2+7^2+8^2) | + | 5*(5^2+6^2+7^2+8^2+9^2) | + | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 25 | + | 122 | + | 330 | + | 696 | + | 1275 | + | … | |
| 72 | + | 255 | + | 596 | + | 1150 | + | … | |||
| – | 72*1 | + | 72*3 | + | 72*6 | + | 72*10 | + | … | ||
| 39 | + | 164 | + | 430 | + | … | |||||
| – | 39*1 | + | 39*4 | + | 39*10 | + | … | ||||
| 8 | + | 40 | + | … | |||||||
| – | 8*1 | + | 8*5 | + | … | ||||||
| 0 |
| 1차 | (제1층 면적)*교초적=(5^2)*교초적(1 2 3 4 …) |
| 2차 | (제2층 면적*2)*전위삼각타적=((6^2)*2)*전위삼각타적(1 3 6 10 …) |
| 3차 | ((제3층 면적-제2층 면적)*3)*전전위삼각낙일적=((7^2-6^2)*3)*전전위삼각낙일적(1 4 10 20 …) |
| 4차 | ((제4층 면적-제2층 면적-적교*2)*4)*삼전위삼각살성적=((8^2-6^2-13*2)*4)*삼전위삼각살생적(1 5 15 35 …) |
->(1차+2차+3차+4차)=(25*교초적+72*전위삼각타적+39*전전위삼각낙일적+8*삼전위삼각살생적)=149244
퇴타설은 현대수학의 급수와 일맥상통하나 접근방법에는 상당한 차이가 있다. 급수에 대하여 현대수학은 시그마라는 기호를 이용하여 접근했다면 고대수학은 도형의 넓이를 이용하여 접근했다. 다시 말해서 현대수학은 대수적이라 할 수 있다면 고대수학은 기하학적이라 할 수 있는 것이다. 고대수학의 기하학적 접근방법은 우리에게는 익숙하진 않지만 상당히 기발하며 이론 역시 상당히 체계적으로 수립되어 있다.
9조
산학본원
익산
10조
산학본원
[1-14] 원율삼가
세 가지의 구분
원이란 도형은 지름과 둘레가 있다. 그 둘레의 반은 전호배가 되고 반지름은 전호의 시이다. 전체 지름은 전호의 현이다. 시는 마땅히 등지고 있는 호의 중점을 갖고, 마땅히 지름인 현을 갖는 호의 중점에서 세로와 가로의 직선을 만들면 직각삼각형이 생긴다. 입원이란 바로 둥근 공의 모양이다. 양휘가 말하기를 휘와 밀의 두 방법에서 원주가 3이면 지름은 1인 것은 옛날 사람들이 아는 원주가 3이면 정사각형의 둘레는 4라는 뜻과 같다고 말하므로 원주가 3이면 지름은 1인 방법을 쓴다고 하였다.
[1-14-1-1] 원의 지름을 알고 원의 넓이를 구하는 것 \[ S=d^2*pi/4\] 을 이용함.
[1-14-1-2]원의 넓이를 알고 지름을 구하는 것 \[ d^2=4S/pi\] 을 이용함.
[1-14-1-3]원의 둘레를 알고 넓이를 구하는 것 \[ S=l^2/4pi\] 을 이용함.
[1-14-1-4]원의 넓이를 알고 둘레를 구하는 것 \[ l^2=4pi*S\] 을 이용함.
[1-14-1-5]원의 지름을 알고 둘레를 구하는 것 \[ l=d*pi/2\] 을 이용함.
[1-14-1-6]원의 둘레를 알고 지름을 구하는 것 \[ d=2l/pi\] 을 이용함.
[1-14-1-7]구의 지름을 알고 부피를 구하는 것 \[ V=d^3*pi^2/16\] 을 이용함.
[1-14-1-8]구의 부피를 알고 지름을 구하는 것 \[ d^3=16V/pi^2\] 을 이용함.
[1-14-1-9]구의 둘레를 알고 부피를 구하는 것 \[ V=l^3/16pi\] 을 이용함.
[1-14-1-10]구의 부피를 알고 둘레를 구하는 것 \[ l^3=16pi*V\] 을 이용함.
*공식이 나오게 된 배경
1)원의 넓이 우리선조는 원의 넓이를 \[ S=d^2*pi/4\] 라고 생각 했다. 왜 우리선조들이 원의 넓이를 \[ S=d^2*pi/4\] 라 했을지 생각해보았다. 첫째로 원을 잘게 잘라서 붙이면 세로의 길이가 이고 가로의 길이가 인 직사각형을 만들 수 있다. 이렇게 되면 원의 넓이는 직사각형의 넓이와 같게 되고 직사각형의 넓이는 이다. 이 식을 변형하면 가 된다. 둘째로 원의 넓이는 정사각형의 넓이(d^2 )에 정사각형의 둘레(4)분에 원의 둘레(pi)를 곱한 것이라고 생각 할 수 있다.
2)구의 부피 우리선조는 구의 부피를 \[ V=d^3*pi^2/16\] 라고 생각했다. 이 식은 현재에 쓰이고 있는 식(V=4pi*r^3/3 )과 비교하면 차이가 있다. 우리선조가 왜 구의 부피를 V=d^3*pi^2/16라 했을지 생각해보았다. 우리선조들은 구의 부피는 정사각형의 넓이와 원의 넓이에 관계가 있을 것이라 생각했던 것 같다. 앞서서 원의 넓이를 구할 때 정사각형의 둘레와 원의 둘레를 이용해서 구한 것처럼 이번에는 구의 부피는 원기둥의 부피(d*pi*r^2 )에 정사각형의 넓이 (d^2 )분에 원의 넓이 (d^2*pi/4)을 하면 옛 선조가 생각했던 구의 부피가 나온다.
3)다른 8개의 공식 \[ S=d^2*pi/4\] , \[ V=d^3*pi^2/16\] , \[ l=d*pi\] 를 이용하여 변형 시키면 나온다.
익산
<상권 17-20>
이차방정식을 세가지 종류로 분류한다.
교종 : \[-x^2-ax+b, a,b>0\]
화종 : \[-x^2+ax-b, a,b>0\]
감종 : \[x^2-ax-b, a,b>0\]
이 세방정식 모두 직각 사각형의 두변의 합이나 차와 넓이를 알 때 각변의 길이를 구하는 과정에서 나올수 있는 식이다. 또한 이들 방정식을 다시 익적과 번적이 일어나는 경우로 나누고 있다.
익적 : 증승개방법에서 차상을 구할 때의 상수항(실)이 처음 상수항과 비교할때 부호가 같고 절대값이 증가한 경우
번적 : 증승개방법에서 차상을 구할 때의 상수항(실)이 처음 상수항과 비교할때 부호가 바뀐 경우
이차방정식을 이와 같이 분류하는 이유는 두가지로 생각해 볼 수 있다.
- 산대를 이용하는 증승개방법으로 방정식을 풀때 초상과 차상의 관계를 좀더 쉽게 알기 위함으로 추정된다.
- 증승개방법은 조립제법을 이용하는 풀이 식으로 마지막 상수항이 0이 되어야한다. 그러나 이를 맞추기는 쉽지 않다. 초상의 값이 근보다 컷는지 작았는지,미세한 조정값인 차상을 넣을 때 양의 값을 넣어야 할지 음의 값을 넣어야 할지 등을 좀더 쉽게 알 수 있다.
- 도형적 변화를 볼때 이다.
- 위 방정식은 모두 이차 방정식을 기하학적으로 생각할 때 나올 수 있는 식이다. 그러므로 풀이 역시 기하학적으로 생각해 볼 수 있는다. 익적의 경우 원래 도형의 넓이 보다 추가적 넓이를 생각해야하고, 번적은 원래 도형보다 더 큰 다른 도형을 생각 해야한다.
삼차방정식의 경우도 아래 두가지의 방정식으로 나눌수 있다.
교종 : \[ x^3+ax^2+bx-c, a,b,c>0 \]
감종 : \[ -x^3+ax^2+bx+c, a,b,c>0 \]
위 방정식 역시 변과 체적에 관련된 방정식을 풀 때 나타나는 식이다. 교종의 경우 초상과 차상을 예측하여 근을 구하기 쉬우나, 감종의 경우는 예측이 어려워 근을 구하기가 어렵다. 이 과정을 쉽게 하기 위해서 삼차 방정식 역시 익적, 번적을 구분한다 (이후 부분은 저희조 발표 범위를 넘어감으로 여기까지 하겠습니다.)
11조
산학본원
산학본원 개방술 가장 기본적인 개념을 언급하고 문제는 예시로 한 문제만 제시하도록 하겠다. 천원술, 중승 개방법, 개방요결초를 소개하겠습니다. 천원술은 현대 수학의 대수 개념에서 미지수를 천원 혹은 지원으로 사용하여 방정식을 푸는 방법을 말한다. 이 방식을 이용하여 연립방정식을 세워 여러 문제를 푸는 것을 보았다. 또한 중승개방술은 앞 조에서 설명한 것을 기초로 보면 현대의 제곱근을 구하는 방식이다. 그래서 나와 있는 문제 모두 천원술로 방정식을 세웠고 이들의 해를 예시로 3-27을 들겠다.
3-27 지금 여섯 도형의 총 부피가 272433자 75이다. 다만 네 가지의 한 모서리는 같고 고원의 둘레의 2/5이며, 둘레는 지름보다 5자가 짧다고 한다.[둘레는 지름의 6/7이다.] 각각은 얼마인가?
여섯 도형은 고원1, 고원2, 정사각형, 정육면체, 삼승방, 사승방을 말하며 모든 문제에서 고원의 지름을 천원으로 놓고 계산을 하였다. 넓이와 부피는 모두 현재와 같은 방식으로 계산을 하였고 원의 넓이나 둘레를 구할 때는 파이대신 3을 사용하여 계산하였다. 이는 정사각형의 넓이의 라는 생각에서 유래한 것 같다. 각각의 넓이나 부피 공식에 맞게 제곱, 세제곱, 네제곱 등을 해가면서 계산을 하였고 이 과정에서 각 항에 곱해지는 계수는 현재와 일치한 것으로 보아 파스칼의 삼각형이나 이항급수를 알고 있었던 것으로 생각했다. 항에 맞추어 계수들은 세로쓰기를 사용하였다.
개방요결초는 현대의 부호계산법을 말한다. 이것에 관한 설명은 3-32에서만 하고 있는 것이 아니라 3-30, 31에서도 연립방정식을 풀면서 언급하고 있다. 이를 간략히 정리하면 같은 부호끼리는 더하고 다른 부호끼리는 뺀다. 같은 부호의 곱은 정, 다른 부호의 곱은 부 라 정의를 내렸다. 이를 현대식으로 표현하면 다음과 같다.
현대식 표현
양수 X 양수 = 양수
음수 X 음수 = 양수
양수 X 음수 = 음수 X 양수 = 음수
양수 + 양수 = 양수
음수 + 음수 = 음수
익산
익산의 퇴타설 부분은 현대 수학의 급수부분으로 과거에도 이 부분에 대한 깊은 논의가 있었던 것으로 생각된다. 여기 사용되는 공식들 모두 파스칼의 삼각형에서 유래되었고 이로써 과거 시대에도 이항급수나 파스탈의 삼각형에 대한 개념이 확실히 정립되었다는 것을 알 수 있었다. 현대 수학과 달리 과거에는 급수에 대해서 많은 지식이 있었다. 단순히 정육면체를 층을 세워 판단하는 것 이외에도 누적하여 개수를 판단하거나 하나씩을 더하여 셈하는 급수 법도 제시가 되어있었다. 여기서는 각각의 문제와 그에 맞는 접근 방법을 제시하겠다.
- 관사가 병정을 모으는데 그 수가 정육면체의 부피에 따라 모으고 있다고 하자. 첫 번째 정육면체의 한 변은 3자이고 그 다음부터 차례로 1자씩 늘어난다. 각 병정의 일급은 250분이고 지급된 돈은 모두 23462관이다. 며칠 동안 병정을 모았는가?
답 : 15일
관사의 수를 천원으로 놓고 이를 순차적으로 더해나가면 아래와 같은 식이 나온다.
27 (1+2+3+4+….+n) +37 ((1)+(1+2)+(1+2+3)+…….+(1+2+…..+n)) +24 ((1)+(1+1+2)+(1+1+2+1+2+3)+…+(1+…..+1+2+….+n)) +6 ((1)+(1+1+1+2)+(1+1+1+2+1+1+2+1+2+3)………..)
= 250Ｘ (27Ｘ교초적+ 37Ｘ삼각타적+24Ｘ삼각낙일적+ 6Ｘ삼각살성적)
- 원추타 형태로 쌓아놓은 과자 두 무더기가 있다고 하자. 그 둘은 1층의 차이가 있고 적은 쪽이 홀수 층이고 큰 쪽이 짝수 층이다. 과자의 값은 저면의 것은 1문이고, 차례로 1문씩 비싸져서 위에 놓인 것들은 비싼 것이고 아래쪽의 것들은 싼 것이다. 두 무더기의 과자 값의 합은 5관 565문이다. 크고 작은 두 무더기의 층은 각각 얼마인가?
답 : 큰 무더기 14층, 작은 무더기 13층
큰 무더기를 천원으로 한 풀이와 작은 무더기를 천원으로 한 풀이법 두 가지를 제시해 주었다.
| 층 | 가격 | 과자 수 | 가격 |
| N | 1 | 3N^2/4 | 0 |
| N-1 | 2 | 3(N-1)^2/4 +1/4 | 1 |
| N-2 | 3 | 3(N-2)^2/4 | 2 |
| . | . | . | . |
| . | . | . | . |
| 2 | n-1 | 3(2)^2/4 | n-2 |
| 1 | n | 3(1)^2/4 +1/4 | n-1 |
과거에도 위의 그림처럼 표를 그려서 생각하지 않았나 싶다. 해설을 보면 단지 식만 나와있어서 어떻게 문제를 접근하였는지 유추하기가 힘들었다.
- 집을 짓기 위하여 일꾼들을 모으고 있다고 하자. 일급은 은 1전인데 일을 끝내었을 때 지급된 총 급여는 은 146냥 6전이었다. 목공은 매일 그 전 날보다 1명 적게 더 모으고 토공은 매일 1명 많게 더 모았다. 처음 시작한 날의 토공과 일이 끝난 마지막 날에 모은 목공은 각각 1명이었다. 또 일을 한 토공의 전체 수는 목공이 일한 일수의 제곱보다 8명이 모자랐다. 목공과 토공은 각각 며칠 동안 일하였는가?
답 : 목공 12일 , 토공 16일
천원과 지원을 사용하여 각각의 미지수를 해결하였고 아래 그림처럼 표를 만들어 문제를 생각했을 것이라 유추하였다.
| 토공 | 일수 | 목공 | 일수 | |
| 첫날: | 1 | n | m | m |
| 둘째 날: | 2 | n-1 | m-1 | m-1 |
| 셋째 날: | 3 | n-2 | m-2 | m-2 |
| 중략 | ||||
| n번째 날: | n | 1 | 1 | 1 |
| 총 급여 = 146냥6전 |
알게된 점
옛날 계산에서 분수식은 존재하지 않았다. -> 계산 전 이미 얼마를 곱해야 정수가 되는지 알고 있었던 것으로 추측된다.
대수적인 미지수, 연립방정식, 수열에 대한 개념이 풍부
음수와 양수에 대한 개념이 존재 -> 현재와 기호의 차이
12조
산학본원
익산
13조
산학본원
우리가 산학본원에서 발표한 내용은 여러 가지 도형의 부피가 주어질때, 각 도형의 지름을 구하는 문제에 대한 것이다. 우선 문제를 푸는 방법을 이해하기 쉽게 현대 수학의 입장에서 정리 해 보면 다음과 같다.
- 문제에서 도형이 몇 개가 있는지, 각각의 도형은 어떤 도형인지 파악 한다.
- 밑의 공식을 보고 분모를 없애주기 위해 각각의 도형의 넓이에 몇단을 해주어야 하는지 계산 한다.(보통은 분모의 최소 공배수를 곱해주면 된다.)
① 고원의 지름을 이용한 원의 넓이 고원의 지름이 d 일 경우, 이때의 원의 넓이 S = 3d^2/4 이다. ② 고원의 둘레를 이용한 원의 넓이 고원의 둘레가 l 일 경우, 이때의 원의 넓이 S = l^2/12이다. ③ 구의 부피(고법에서) 구의 지름이 d 일 경우, 구의 부피 V = 9d^3/16이다. ④ 밀원의 지름을 이용한 원의 넓이. 밀원의 지름이 d 일 경우, 이때의 원의 넓이 S = 22d^2/28 이다. ex) 문제에 고원의 지름을 이용한 원과 둘레를 이용한 원이 나올 경우 최소공배수 12를 곱해주면 공식에 있는 분모를 없앨 수 있다.
- 몇 개의 도형중 제일 쉬운 도형의 변(고원의 경우, 고원의 지름이나 둘레)을 천원1로 잡고 식을 세운다.(보통은 고원의 지름이 천원1이 된다.)
- 세운 식을 개방한다.