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1학기에 공부한 행렬과 벡터에 대한 선형대수학은 어떤 의미에서 구체적인 대상(좌표를 가지고 실수로 표현된)을 다루는 방법을 익힌 것이라고 할 수 있다. 이 때 익힌 내용을 간단히 요약하면 다음과 같다.

1. 1차연립방정식의 이론
2. 1차함수(linear transformation)의 이론
3. 내적의 이론
4. 고유값, 고유벡터의 이론
5. 2차함수(quadratic form)의 이론

등이다. 이러한 내용은 선형대수학에서 typical한 내용이다. 선형대수학의 내용은 우리가 중,고등학교에서 공부한 1변수함수의 여러 이론(방정식, 부등식, 미분, 적분 등등)을 다변수함수의 이론을로 확장하여 다루려고 할 때 가장 먼저 만나는 것들에 대한 이론이다. 즉 1차방정식 \[ ax=b \] 를 풀고 1,2차함수 \[ y=ax+b,\quad y=ax^2+bx+c \] 에 대하여 공부했던 것을 변수(독립변수, 종속변수)의 개수를 여러개로 늘렸을 때는 어떻게 해야 하는가를 공부하는 것이다. 그래서 위에서 공부한 내용을 보면 간단히 1차함수와 2차함수의 이론이라고 할 수 있다. 그 밖의 것은 이를 이해하기 위한 도구라고 보면 된다.

이제 2학기에는 무슨 공부를 하는가? 마찬가지이다. 1학기에 공부했던 것과 똑같이 1차함수와 2차함수의 이론을 공부한다. 단지 달라진 것은 어디에 정의된 함수들인가가 다르다. 앞에서는 $ \mathbb{R}^n$ 에서 정의된 함수들을 공부했다면 이제부터는 일반적인 벡터공간(linear space) $ X $ 에서 정의된 함수를 공부한다는 만큼 다르다.

그럼 실제로는 얼마나 달라졌는가? 이는 다음과 같이 두 가지 관점에서 전혀 다른 대답을 할 수 있다.

1. 우선 함수의 정의역이 구체적인 $ \mathbb{R}^n$ 에서 일반적인 공간으로 바뀐 것 뿐이며 실제로 우리가 공부하는 내용에서 근본적으로 달라지는 결과는 하나도 없다.
2. 그러나 좌표함수를 구체적으로 잡지 않고 1학기때 공부한 내용을 다시 이야기하는 것은 쉽다고만 할 수는 없다. 실제로 상당히 곤란을 겪는 학생들이 있다.

이러한 상황은 1학년까지 공부하던 구체적인 계산법에서 추상적인 사고법으로 전환하는 과정에서 누구나 겪는 어려운 점이다. 선형대수 외에도 구체적인 미적분학에서 추상적인 수렴의 이론으로 upgrade된 해석학, 이를 더 upgrade하여 epsilon-delta 없이도 수렴을 다룰 수 있게 해주는 위상수학, 구체적인 방정식을 풀던 이전의 수학에서 방정식 전체의 해를 한꺼번에 이야기하는 대수학 등 대학교의 전공수학은 이 한 단계의 upgrade가 필요한 공부이다.

이제 이를 잘 해나가기 위하여 몇 가지 조언을 적어두자.

1. 예습을 하고서 수업에 들어온다.
2. 매 시간 복습을 한다.
3. 될수 있으면 많이 물어본다.
4. 기회만 되면 많이 가르쳐준다.
5. 혼자 끙끙대지만 말고 두명 이상이 서로 이야기한다.
6. 다른 사람이 알고 있는 것은 나도 항상 알아낼 수 있다는 믿음을 갖는다.

예습은 꼭 교과서를 읽는 것은 아니다. 우리가 다루는 대상과 관련하여 미리 생각해 본 경험이 있으면 도움이 된다. 그리고 많이 생각했으면 더욱 도움이 된다. (그래서 교과서를 한번도 안 본 사람도 많이 생각해 본 문제에 대하여 공부하면 빨리 알아듣는다.)

복습은 중요하다. 미처 이해하지 못하였어도 시간중에 공부한 것은 곰곰히 생각해 두었다면, 그 다음에 다시 생각하지 않는 동안에도 머리는 속으로 이것들을 정리하게 되어 언젠가는 갑자기 쉽게 이해가 되는 순간이 생기는 것을 경험하였을 것이다. 적어도 그 시간에 무엇을 하였는지 간단히라도 머리속에 정리하여 둔다.

물어보고 가르쳐줘 본 경험이 있는 사람은 얼마나 공부하는데 도움이 되는지 알 것이다. (백見이 불여일行이다.)

문제에 답이 있다는 것을 알기만 해도 문제를 푸는데 차이가 많이 난다. ”다른 사람이 알고 있는 것은 알아낼 방법이 있는 것이고 누구나 알 수 있는 것이다.” ”’자신감을 가지고 시작하면 못할 것이 없다.”’