= 6조 토론방 =
안녕하세요, 법학과 05학번 김문정이라고 합니다. 폰번호는 011-9044-0177입니다. 이메일은 al103@korea.com이고요. 위키 잘 쓸 줄 몰라서 다른 조꺼 형식 베껴서 해봤습니다. 잘 부탁드립니다 ;D
안녕하세요, 수학교육과 03학번 이은지입니다. 6조 연락처입니다. 수정사항있으면 수정해주세요.
| 이름 | 학과, 학번 | 번호 | ||
| 이은지 | 수학교육과03 | 017-279-3927 | ||
| 김문정 | 법학과05 | 011-9044-0177 | ||
| 최지수 | 식품과학06 | 019-213-0277 | ||
| 권수연 | 화공04 | 011-1793-3653 | ||
| 김정민 | 화공04 | 016-311-6909 |
주제가 정해졌습니다. 모두 열심히 조사해 보아요;; 전문적인 내용이라 도서관에서 책을 통해 조사해야 할 것 같습니다.
- 뉴턴의 유율법(fluxions method): Boyer
- Carnot의 사면체에 대한 코사인 법칙: $ a^2=b^2+c^2+c^2-2cdcos B-2bdcos C – 2bccos D $
- Boole의 대수와 논리학
수학의 역사에서
사면체에 대한 코사인 법칙 관련 <수학의 역사(하)>의 본문 내용입니다.
카르노는 1803년의 <위치기하학>에서 도형의 상관관계를 넓게 확장했고, 이 저작으로 카르노는 몽주와 함께 현대 순수기하학의 창시자가 되었다. 수학의 진보는 더욱 고도의 일반화를 계속 추구하는 것을 특징으로 삼아 왔다. 카르노의 업적은 이런 의미에서 중요했다. 카르노의 일반화에 대한 경향은 평면기하학에서 유명한 정리와 유사한 아름다운 정리를 유도했다. 잘 알려진 삼각법의 코사인정리 $ a^2=b^2+c^2-2bccos A $ 는 유클리드 시대부터 알려졌으나 카르노는 이 오래 된 정리를 사면체의 경우까지 확장하여 관계식 $ a^2=b^2+c^2+c^2-2cdcos B-2bdcos C – 2bccos D $ 를 유도했다. 여기서 a,b,c,d는 네면의 넓이, B,C,D는 각각 면 c와d, b와d, b와 c가 이루는 각이다. 카르노의 연구에서 보이는 이런 일반화에 대한 정열은 현대수학, 그 가운데서도 20세기 수학의 추진력이 되었다. 카르노가 현대에 산다면, 특히 토폴로지(위상수학), 곧 연속적 변형에서 불변인 도형의 성질에 대한 연구는 그를 아주 기쁘게 했을 것이다. 왜냐하면 토폴로지가 그의 도형의 상관관계를 더욱 발전시킨 것으로 인정했을 것이기 때문이다.
우선은 위의 코사인 법칙에 대한 증명과정을 찾을 수 없으니 우리가 직접 시도해보아야 할 것 같구요. 코사인제2법칙에서 어떻게 저런 정리를 유도할 수 있었을까에 대한 생각과 카르노의 저 정리에 대한 궁금증과 의문점을 위키에 올리기로 합시다 ^^ 자료가 없는 관계로 생각을 많이 해야할 것 같네요. 다들 화이팅입니다 ^^ 03 은지
Boole 대수
아 그리고 19세기 Boule 대수와 논리학은…..책을 우선 찾아야 겠습니다. ‘부울이론’ 이라고 한글로 검색하니까 많은 자료가 나오네요 ^^ 교수님께서 수리논리학이나 스위치이론??에서도 이용되는 이론이니 폭넓게 찾아 보도록 해요.ㅋ 그리고 교수님께서 조사하고나면 해야할 이야기는 한가지 밖에 없다고 하셨는데 그 한가지가 무엇인지 부터 찾아야 겠죠? 발표는 두분이 같이 하실테니 거기에 대해서도 의논해보시구요. ^^ 그리고 나머지 두 주제에 대해서는 위키를 많이 활용하도록해요;; 03 은지
참고서적들을 대충 찾아 보았습니다. 부울대수 관련인데요 중도에서 빌려서 읽어보세요ㅡ.
025002852000 디지털도서관론 2.1장
5021999 제2의창세기 13장
1941988a8 구조주의의 이론 1편 2장
그리고 인터넷으로 검색하시면 쉽게 나오네요^^ 03은지
어째 저만 계속 올리는 듯?;; 교수님께서 올리신 자료의 날림 해석입니다. 제 생각은 기울임체로 적었습니다.
사면체에 대한 코사인 법칙
공부를 열심히 하는군요. 이 내용의 증명을 설명할 필요는 없습니다.(우리가 하고싶어하는 것이 아니라는 것을 잘 알죠?) 이 토픽에서 가장 공부하기 쉬운 방법은 어떻게 Carnot가 이런 공식을 찾아냈을까가 더 관심있는 것이지요. 그래야 나중에 이런 문제에 맞닥뜨렸을 때에 우리도 공식을 찾을 수 있을테니까. 공식을 찾는 법의 핵심은 우선 쉬운 문제에서부터 답을 찾아보면서 (고등학교때) 배운 것들을 잘(!) 활용하는 겁니다. (다항식이나 연속이나 미분 등등) 아래 보면 마지막의 예에 직각사면체의 경우가 있군요. 내가 Carnot라면 아마 이것의 부피부터 구해놓고 각을 바꾸어볼 생각을 했을거예요. – 김영욱
이정례
요약. 우리는 사면체에 대한 일반화된 코사인 법칙을 연구한다, 자연스러운 방법으로 그것은 3차원 피타고라스의 정리를 주고 임의의 사면체에 대한 부피를 계산 가능케 한다.
소개
삼각형에 대한 코사인의 법칙 : 한 변의 제곱은 다른 두변의 제곱의 합에 서 두변사이의 각에 대한 코사인과 두변의 길이의 두 배를 곱한 것을 뺀 것과 같다. () 사면체의 경우에 이 법칙을 평행사변형에 대해 연구하는 것은 흥미로운 일이다. 이 논문의 목적은 부피와 면적에 대한 다양한 종류의 공식과 그 적용들을 제공하는 사면체에 대한 코사인 법칙에 대해 연구하는 것이다. 사면체에 대한 코사인의 법칙 : 한 삼각형의 제곱은 다른 세 삼각형의 제곱의 합에서 두 배의 나머지 삼각형들 중 두 삼각형 곱하기 그들 사이각의 코사인 값을 뺀 것과 같다. 이 논문에서는, 삼각형과 사면체에 대한 피타고라스의 정리의 일반화를 주는 두개의 유사한 삼각형과 사면체에 대한 코사인의 법칙을 얻는다. 그리고 또한 삼각형의 넓이에서처럼 대략 평행사변형인 사면체의 부피를 시험한다.
코사인의 법칙
”코사인 제1법칙과 코사인 제2법칙에 대한 소개 <= 정석이나 개념원리에 잘 나와있습니다.;;;”
Proposition 2.1 ”두개의 닮은 삼각형에 대한 길이와 각에 관한 공식입니다. 위에 그 각이 90도인 경우인 피타고라스의 정리가 나와있네요. 이처럼 카르노는 기존에 존재하고 있던 피타고라스의 정리와 같은 공식을 좀더 일반적인 경우에는 어떠한가에 대한 생각을 많이 한 듯 싶습니다.” Lemma 2.2 ”사면체의 한면인 삼각형의 넓이가 다른 면의 넓이와 어떤 관계인가를 알려주는 공식이네요. 수2에서 배웠던가요??? 사영된 면적은 원래 면적 곱하기 이면각(두면사이의각)에 대한 코사인 값이라는 공식이 있었지요. 유도 과정은 쉽습니다; 문제집에도 나올거에요. 그걸 이용해서 증명하고 있습니다. 그런데 꼭지점의 사영된 점이 밑면의 내부에 있을 수도 외부에 있을 수도 있기 때문에 케이스를 나누어 증명하였습니다.”
임의의 삼각형에서, 한 변의 길이는 다른 두변의 길이의 합보다 작다. 임의의 사면체에 대한 같은 버전은 다음과 같다. 어떠한 이면각 θ는 0<θ<π를 만족하고 ⅠcosθⅠ<1 이므로 Lemma 2.2와 삼각부등식에 의해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.
Remark. 사면체의 한면의 넓이는 다른 세면의 넓이의 합보다 작다.
Theorem 2.3. ”사면체에서 한면의 넓이와 다른 세면의 관계식입니다. 작다는 것 보다 더 구체적인 사실을 알 수 있게 해주는 공식이죠. 증명과정은 앞의 것을 이용하면 쉽게 나옵니다. (C.1)은 Lemma 2.2의 명제에서 k대신에 1을 넣은 식이라는 뜻입니다. 즉 (C.1)*s_1은 그 식에 k대신에 1을 넣고 양변에 s_1을 곱하라는 거지요.”
이제 우리는 두 닮은 직사면체에 대한 일반화된 피타고라스의 정리를 주는 두개의 닮은 사면체에 대한 코사인의 법칙의 일반화된 공식인 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
Corollary 2.4. ”앞에서 두개의 닮은 삼각형간의 관계식이 있었듯이 사면체에 대해서도 유사한 관계식이 있음을 보여주는 보조정리입니다.”
코사인 법칙의 적용
임의의 사면체에 대한 부피를 계산하고 특별한 사면체의 부피와 면적에 대한 여러 가지 방정식을 얻을 것이다. ”그리고 삼각형의 넓이 공식이 나오네요 넓이는 1/2 * 두변의 길이 * 사이각의 사인값 이지요.” 이미 우리가 알고 있는 삼각형의 넓이 공식과 유사하게, 임의의 사면체의 부피는 다음과 같이 주어진다.
Proposition 3.1. ”위에서 얘기한것 처럼 삼각형의 넓이 공식처럼 사면체의 부피공식을 만들었습니다. 증명과정은 간단하네요 꼭지점에서 밑면에 수선을 내리고 옆면에 수선을 내리고 그렇게 생긴 직각삼각형의 성질에서 자연스럽게 유도됩니다.”
다음의 명제는 사면체의 부피가 그저 삼각형의 면적과 각과 길이로 구할 수 있음을 알려준다.
Example 3.2 ”사면체의 특별한 케이스인 직사면체(?)의 부피공식이네요. 쉽습니다;”
우리는 마지막 예제를 통해 특별한 사면체의 각과 길이와 면적과 부피 사이의 관계를 알 수 있다.
Example 3.4 ”밑면이 정삼각형이고 옆면이 모두 합동인 이등변 삼각형으로 이루어진 사면체의 여러가지 공식들입니다. 제일 마지막에는 정사면체의 경우에 성립하는 공식까지 추가되어있네요. 쉽게 유도가능한 공식들이네요”
이상으로 번역을 마치고;;;; 도움이 되셨기를 바랍니다^^ 화이팅;; 03 은지
Boole 대수
진리 값의 연산을 생각해 봤는데요 직접 명제를 가지고 생각해 보면 쉬울 것 같습니다. 예를 들어서 ①T ∧ T = T , ②T ∧ F = F , ③F ∧ T = F , ④F ∧ F = F 를 생각 해보면요… ①은 3은 홀수이다 그리고 5는 홀수이다 : 참 ②은 3은 홀수이다 그리고 4는 홀수이다 : 거짓 ③은 4은 홀수이다 그리고 5는 홀수이다 : 거짓 ④은 4는 홀수이다 그리고 5는 짝수이다 : 거짓
∨연산도 비슷하게 생각하시면 쉽게 할 수 있습니다. 그결과를 표로 만들어 보시고 부울 대수 테이블과 비교해서 접근하시면 좀 쉽지 않을까나요????
힘내세요 >ㅂ<ノ
03 은지
교수님께서 보내주신 메일 내용입니다.
(시작) 조사할 내용은 그것이면 충분해요. 그리고 하나 더 이야기할 것은 집합의 합집합 곱집합 연산과 부울대수의 연산 이 어떤 의미에서 똑같은 모양이라는 것. 그래서 부울대수를 사용하는 것과 논리계산과 집합 계산이 어떤식으로 서로를 설명해 주는지를 설명하는 것이예 요. 그렇게해서 복잡한 집합과 논리가 간단하게 셈법으로 바뀜으로써 생각없 이 계산만으로 가능하게 되었다는 것.(컴퓨터를 사용할 수 있게 되었다는 것.) 이런 것들을 이해할 수 있게 설명해 주면 될 것 같아요.
이를 위해서 예를 한 두가지 들면 좋겠지요. (논리의 명제를 집합으로 바꾸 고, 집합의 포함관계를 논리명제로 바꾸고, 부울대수의 셈으로 바뀌는 것, 회 로로 바꾸어 설명하는 것 등등)
김영욱
김문정 쓴 글: > > 안녕하세요 교수님 > > 이번에 부울 대수와 논리학을 발표할 6조 김문정 학생입니다. > > 부울이 왜 이것을 만들었지(논리학을 계산을 통해 해결하려는 의도)와 그 > 활용(컴퓨터의 2진법 등에서의) 정도에 대해서는 어느 정도 조사가 되었는데 > > 이 외에 어떠한 것에 포인트를 두고 발표를 해야할지 확실히 감이 안잡혀서 > 이렇게 메일 보냅니다. > > 조장 누나 말로는 선생님께서 부울 대수에 대해선 발표할 것이 하나밖에 없 > 다고 했는데 논리 문제가 어떻게 수학(대수?)을 통해 해결되는지 보여주는 > 것이 그건가요? > > 읽어주셔서 감사합니다. (끝)
05 문정