= 책 소개: 현대수학입문, 김명환, 김홍종 씀, 경문사 = LastModified : 020116
이 소개는 Hitel 수학 동호회의 수학서적/세미나/정보안내 난에 실은 것이다.
아마도 이 책은 저 밑의 12번 김대현님의 list에 들어가 있어야 함직한 책이다. 그럼에도 안들어가 있는 것은 그 list를 만든 사람이 저자 가운데 하나이기 때문이었으리라는 추측과 그 list가 이 책이 출간되기 이전에 만들어진 것이라는 이유를 떠올리게 한다. 물론 이 책은 기하학 서적이라고 할 수는 없다. 그러나 기하학을 공부하려면 생각해 보았으면 하는 것들이 이 책에는 많이 있다.
제목은 “힐베르트 문제를 중심으로 – 현대수학입문” (김명환, 김홍종 지음, 경문사)
이 책이 출판된지 이미 1년 가까이 되고 이미 잘 알려져 있을지도 모른다고 생각한다. 특히 서울대학교 교양 과목의 교재로 쓰여진 노트들을 모은 것이고 현재도 쓰이고 있으리라고 생각되기 때문이다. 아마도 고려대학교에서 내년에 부교재쯤으로 쓰일 것 같아서 한번 훑어보게 되었고 매우 중요한 책이라고 생각되어 여기 소개의 글을 써야겠다고 생각했다.
이 책은 말 그대로 현대 수학에 대한 입문서이다. 이 책을 쓰게 된 동기는 이미 앞에 설명되어 있지만 씌어진 형식은 매우 특이한 책이다. 보통 입문서들은 쉬운 내용으로부터 시작하여 어려운 이야기를 살짝 비치고 끝나는 식으로 쓴다. 이 책도 그렇게 쓰려고 노력한 점이 없지 않지만, 근본적으로 어려운 이야기를 하겠다는 선언을 하고 씌어져있다. 제목에서 말한 `힐베르트문제를 중심으로’ 라는 문구가 그것을 말해준다.
여기 있는 분들 가운데 많은 사람들이 힐베르트 문제에 대해서 들어보았을 것이다. 20세기가 시작하려는 시점에서 대(大) 힐베르트가 수학자들에게 던진 문제이고 많은 문제가 수년내에 풀려버렸지만, 20세기 수학의 방향을 결정해버렸고, 현재도 영향을 주고 있는 문제들이기 때문이다. 사실 이 문제들 가운데 한 두개도 제대로 이해하려면 쉽지가 않다. 그런데 이 가운데 11개나 되는 내용을 주제로 하여 쓴 책이기 때문이다. 이러한 점에서 이 책을 쓴 사람들의 오만함과 이를 공부하는 사람들에 대한 믿음과 자신감 등을 느낄 수 있기에 오히려 작은 흥분을 느끼게 된다.
이 책은 몇가지 방향에서 바라보아야 할 것 같다.
첫째는 저자가 주장하는대로 현대수학에 대한 입문서이다. 이미 말했듯이 입문서 치고는 어렵다. 그러나 당연한지도 모른다. 현재 우리가 대학에서 공부하는 대부분의 수학(수학과 전공을 빼고)은 몇가지 예외도 있지만 대부분 기껏해야 18세기 까지의 내용을 주축으로 하고 있다. 내용 뿐이 아니라 사고의 깊이가 그러한 마당에 갑자기 20세기가 시작하는 마당의 이야기, 그것도 그 때의 연구 대상을 이야기하는 것은 쉬울 수가 없기 때문이다. 그러나 이 책을 가만히 들여다보면 이 것들에 대하여 이야기 하는 것이 그리 어려운 일만은 아닐지도 모른다는 생각을 갖게 한다. 문제의 본질을 바로 꿰뚫어, 쉬운 예로 부터 설명을 시작하는 것으로 이러한 어려움의 상당부분을 바로 해소해주기 때문이다.
둘째로 이 책은 현대 또는 근대 수학의 역사를 적은 수학사의 서적으로 보아야 할 것 같다는 생각이다. 이러한 점에서 이 책은 위의 관점에서보다 더 중요한 책으로 분류 될 것 같다. 사실 수학사에 대한 서적은 고대, 중세의 수학에 대하여는 매우 많지만 근대에 들어서서는 그리 많지 않다. 수학의 내용을 제대로 설명하기 어려운 까닭이 가장 큰 이유이겠지만, 형식적인 역사이야기가 아닌 것으로 내가 알고 있는 것은 손으로 꼽는다. 그 가운데 일본의 Takagi가 쓴 작은 이야기책이 하나요, 불란서의 Dieudonn\`e가 쓴 1700-1900까지의 방대한 수학사 책이 또 하나 있지만 둘 다 그 맥락이 다른 책이다. 이 책은 입문서를 빙자해서 현대 수학의 바탕을 가늠해보려는 수학사의 책이라고 생각된다.
20세기가 시작하는 마당에 Hilbert가 던진 문제들은 당시의 모든 수학의 범위를 망라하는 것이었다고 생각된다. 그럼에도 불구하여 이 책에서 선정한 문제들은 저자의 취향(?)에 따라 주로 기하학과 대수학의 문제로 국한되고 있다. 이에는 나름대로 여러 가지 이유가 있겠지만, 학부 수준의 입문서에 소개하는 내용으로 힐베르트의 문제들 가운데 해석학에 관련된 것들은 적절하지 못했을 것이라는 생각이 든다. 실제로 20세기에 들어서면서 현대 수학은 분야를 가리지 않고 서로의 방법론을 빌려서 쓰고, 분야간의 이론의 유사점을 찾아나아가기 시작하는 단계로 들어서게 되며, 따라서 비록 이 책이 기하학과 대수학에 바탕을 두고 있지만 현대 수학의 바탕에 기하학과 대수학 이 얼마나 큰 영향을 끼치고 있는가 하는 이야기를 하고 있다고 보이기도 한다. 즉 세째 관점은 이 책이 기하학과 대수학(그러나 대수기하학까지는 아니다)의 입문서이기도 하다는 것이다.
이 책을 쓴 이들의 노력은 대단한 것이었음에 틀림없다. 많은 내용을 정리하고 엮었으며 각각을 이러한 수준에서 이해하는 것만으로도 결코 쉬운 일이 아니었을 것이다. 이러한 노력에 감사하는 마음을 가지지 않을 수 없다.
이 책을 읽는 것은 시간을 가지고 여러번에 걸쳐서 읽어야 될 것으로 보인다. 즉, 고등학교나 대학교 1-2 학년에, 고학년이 되어서, 대학원에서, 그리고 자신의 직업과 전공을 가진 후에도 다시 읽어서 도움을 얻을 수 있는 책 같다.
마지막으로 이 책은 (저자의 다른 책들이 항상 그러하듯이) 본문의 내용 보다도 더 수학적으로 함축적이며 또 재미있는 주(footnote)를 가지고 있다. 첫째 장의 43번째 `논리’에 대한 주는 다음과 같다: “”논리”라는 말은 앞뒤가 잘 맞고 이성적인 때 사용하지만, 그 앞에 “정치”라는 형용사가 붙을 때에는 다른 뜻이 되기도 한다.”