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1대1 대응관계 OneToOneCorrespondence
1대1대응관계(=전단사함수=bijective fucntion=bijection)란 두 집합 사이의 함수로서 단사(1대1;one-to-one;injective)인 동시에 전사(onto;surjective)인 것이다.
함수 \(f:X\to Y\)
에 대하여 위와 동치인 조건으로 다음을 들 수 있다.
There exists a function \(g:Y\to X\) such that \(g\circ f=\text{id}_X\) and \(f\circ g=\text{id}_Y\).
즉 함수 \(f\)
의 역함수가 존재하는 것이다.
단사함수
함수
\(f:X\to Y\)
가 단사함수(one-to-one)라 함은 임의의
\(x, y\in X\)
에 대하여
\(f(x)=f(y)\)
이면
\(x=y\)
라는 뜻이다.
전사함수
함수
\(f:X\to Y\)
가 전사함수(onto)라 함은 임의의
\(y\in Y\)
에 대하여 적당한 원소
\(x\in X\)
가 존재하여
\(y=f(x)\)
로 된다는 뜻이다.
연습
- 함수가 전단사이면 그의 역함수를 쉽게 정의하여 찾을 수 있다. 이를 설명하여 보아라.
- 한편 어떤 함수가 역함수를 가질 때 이것이 1대1 대응관계임을 보여라.
참고
이러한 자리매김은 주어진 함수가 집합의 원소들과 갖는 조건(단사,전사,전단사)을 원소를 언급하지 않고 함수만으로 기술할 수 있다는 점에서 매우 특별하다. 이러한 점은 벡터의 성질을 선형함수만 가지고 이야기하는 것과 유사하다. 이러한 관점에서 수학을 기술하는 법은 20세기 구조주의 수학의 중심을 이룬다. (이러한 내용은 간단히는 집합론 강의에서 더욱 전문적으로는 호몰로지이론과 Category이론에서 공부할 수 있다.)
20세기 수학은 이러한 관점에서 통합되어 수학의 추상화를 통한 획기적 발전을 이루었으나 이러한 이론 자체는 이미 수학의 언어가 되어버렸으며 그 구조를 기술하는 법 자체에 대한 연구는 이제는 더이상 많이 하고 있지 않다.
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