= Basic Topology = 내용 요약: http://math.korea.ac.kr/~ywkim/courses/2k6rudin/rudin_ch2.pdf
http://math.korea.ac.kr/~ywkim/courses/2k6rudin/rudin_ch2_compactness.pdf
06/07/20에 공부한 내용
”’2장 26번”’: 이 문제는 앞의 23번, 24번을 알아야 한다고 되어 있어요. 이럴 때 몇 스텝으로 나누어서 생각해 봐야 해요. 우선 23번, 24번의 내용을 보면 거리공간에서 이러이러 하면, 이러이러한 결과를 얻는다고 했지요. 이런 결과가 성립되는 거리공간의 예를 찾아볼 필요가 있어요. 적어도 22~24번은 $ \mathbb{R}$ 이나 \(\mathbb{R}^n\) 에서는 항상 성립하지요.(확인할 것.) 따라서 우선 26번을 $ \mathbb{R}$ 이나 \(\mathbb{R}^n\) 에서는 어떻게 증명할 것인가를 생각해 보는 것이지요. 이것이 쉽고 이것만 이해하면 이 문제가 하고자 하는 이야기가 무엇인지를 알 수 있어요. 그러니까 간단하게 $ \mathbb{R}$ 에서 어떤 일을 해야 하는지 알아보지요.
먼저 $ X$ 가 $ \mathbb{R}$ 의 부분집합이라고 하지요. 그리고 $ X $ 의 임의의 무한부분집합은 $ X $ 안에서 limit point를 갖는다고 하지요. 그리고는 이러한 조건에도 불구하고 $ X $ 가 compact가 아니라고 가정합니다. 우리는 모순을 찾아야 하지요. 그래서 compact가 아니라는 조건을 구체적으로 써 보지요. 이것이 Hint의 $ G_n $ 입니다. 즉 $ X $ 의 open cover인데 finite subcover를 갖지 않는 그런 open cover입니다. 이런 것을 구체적으로 상상해 볼 필요가 있어요. 그래서 전에 해 봤던 예를 생각해 봅니다. 즉 $ (0,1] $ 을 cover하는데 $ G_n=(1/n,1] $ 로 하기로 하지요. 그러면 $ G_n$ 은 finite subcover가 없지요. 이제 hint에서 이야기하는 $ F_n $ 은 $ (0,1/n] $ 이 되지요. 즉 $ F_n⊃ F_{n+1} $ 이 되지요. 즉 $ F_n$ 은 closed 이고, 점점 작아지는(nested)인 sequence of sets 이지요. 이제 이 경우를 그림을 그려 놓고 보면 무엇이 문제인지 알 수 있어요. 수열 $ 1/n $ 같은 것을 생각해 보면 이 점들은 $ X $ 의 수열이고 limit point $ 0 $ 를 가지는데 이 limit point가 $ X $ 에 포함되어 있지 않은 거예요. 즉 $ F_n $ 밖에 놓이는 $ X $ 의 점을 무한히 많이 잡게 되면 이 점들의 limit point가 $ X $ 밖에 놓이게 할 수 있고 이는 모순을 유도한 것이 되는거지요.
여기서 조심할 것은 우선 $ F_n $ 의 밖에서 점을 잡으면서 매번 잡는 점이 아까 잡은 점과 다르게 잡아서 서로 다른 무한한 점을 잡는 것을 보여주는 것과 이것의 limit point가 왜 $ X $ 에 없는지를 보이는 것이지요. 앞의 것은 잘 해보고요… 뒷 부분은 이 sequence가 $ F_n $ 안에 놓이므로 그 limit point도 $ F_n $ 안에 놓여야 하지요.( $ F_n $ 이 closed 이니까) 따라서 limit point는 $ \bigcap F_n $ 에 놓이고 이 집합은 $ X $ 의 complement가 되니까(왜?) 실제로 공집합이 되겠지요. 그리고 그 limit point는 공집합에 포함되게 되어서 모순이 되지요.
질문
Q: 교수님, 근데 예로 드신 (0,1] 은 compact가 아니지 않나요? 그리고, Gn은 open, Fn은 closed 여야 하는데, 위의 예에서는 그렇지 않아요. Fn이 closed가 아닌 경우에는 limit point가 꼭 Fn위에 있다는 보장이 없기 때문에, 모순을 이끌어낼 수 없을 것 같아요. (Delete me)
A: 맞아요. 그러니까 명제의 대우를 보인 것이 되나요? compact가 아니면 limit point가 존재하지 않는 경우도 있다는 것을 보이는 것이니까… compact가 아닌 예로 (0,1]을 잡는 것이지요. 이 예에서 특수한 $ G_n $ 에서 어떻게 (0,1] 안에 limit point가 없게 되는가를 생각해서 그대로 일반적인 $ G_n $ 의 경우에 적용하면 증명인 되는 것이지요. – 김영욱
Q: 교수님 여기 짤려서 밑부분이 안보여요..ㅡㅜ(2006.7.17.김익환)
A: 흠, 이건 Internet Explorer의 bug 이군요. Mozilla Firefox에서는 잘 보이는데… (김영욱) Q: ”’2장 21번”’이 참 간단한거같은데 머리가 나빠서그런지 안되네요. 21번에 (a)번 풀때 $ \overline{A}_0∩ B_0=\varnothing $ 라고 가정한뒤에 이 집합에 속하는 원소 $ x $ 에 대해 $ p(x) $ 가 존재하지 않음을 separated 성질을 이용해서 증명해야될거같은데 $ p(t) $ 가 연속임을 쓰는것 외에는 방법이 생각 안나네요. 다른 풀이 가지고계신분 계세요? (2006. 7. 7. 김익환)
A: 물론 $ p(t) $ 가 연속임을 쓰는 것이지만 잘 보면 $ p(t) $ 는 일차함수로 정의되어 있으니까 굳이 연속함수의 성질을 쓰지 않아도 할 수 있을거예요. limit point나 supremum, infimum과 같은 것들을 사용하면 될거예요. 두 점 a, b를 고정시키고 그림을 그려 놓고 생각해 보세요. 풀리면 여기에 답을 적어주세요. – 김영욱
저는 $ p(t)$ 가 연속임을 쓰는 풀이 밖에 모르겠네요.
(pf) Suppose that Ao and Bo are not separated.
Then ∃x s.t. x ∈ Ao ∩ (the closure of Bo) or x ∈ (the closure of Ao) ∩ Bo.
WLOG, suppose that x ∈ Ao ∩ (the closure of Bo).
Then x ∈ Ao & x ∈ (the closure of Bo).
Then x ∈ Ao & x ∈ Bo or x ∈ Ao & x ∈ Bo’.(∵(the closure of Bo) = Bo ∪ Bo’)
In the former case, p(x) ∈ A & p(x) ∈ B.
Then p(x) ∈ A ∩ (the closure of B).
Then A & B are not separated.(contradiction)
In the latter case, p(x) ∈ A & p(x) ∈ B’.
(If x ∈ Bo’ but p(x) is not in B’, there exists a deleted nbhd N’ centered at p(x) with radius r s.t. N’ ∩ B = 공집합.
Since x is a limit point of Bo, there is no y s.t. d(p(x),p(t)) < r for all points t ∈ Bo for which d(x,t) < y.
Then p is not a continuous function. And this is a contradiction since p is a continuous function.)
Thus Ao and Bo are separated. QED (2006.7.10 이병찬)
A: 문제는 $ x∈ B_0’$ 일 때 $ p(x)∈ B’ $ 임을 보이는 것이겠지요? $ x∈ B_0′ $ 이면 무한히 많은 $ x_n∈ B_0 $ 가 있어서 $ \|x-x_n\| < 1/n $ 이 될 수 있다고 해도 되겠지요? 이제
$ \|p(x_n)-p(x)\|=|x_n-x|⋅\|\mathbf{a}-\mathbf{b}\| < \|\mathbf{a}-\mathbf{b}\|/n $
(이 식이 $ p $ 가 연속이라는 조건을 대신하는 부분이지요. 구체적으로 함수식을 가지고 있기 때문에 가능한 것이예요. 1차함수니까.)
이고 $ p(x_n)∈ B $ 이므로, $ p(x)∈ B’ $ 이라고 할 수 있지요? 물론 모두 서로 다르다는 것을 체크하고요. ( $ p(x) $ 는 1-1 이니까.) – 김영욱
Q: ”’2장 24번”’도 질문할께요. 간단하게 아이디어만 써보면 X가 임의의 $ δ $ 에 대하여 유한개의 radius가 $ δ $ 인 nbhd로 cover되므로. $ δ=1/n (n=1,2,3,…) $ 인 모든 nbhd의 center만 모아놓고 보면, 정해진 $ δ $ 에대해 center는 유한개, 그리고 $ δ $ 는 countable하므로. 결국 finite 집합의(정해진 $ δ $ 에대한 center) countable union( $ δ=1/n, n=1,2,3,… $ ) 이되므로 결국 모든 center의 집합은 countable이되고 이게 dense subset이 되므로 X는 separable하다. 이런식으로 풀면 되는건가요? 혼자하다보니깐 뭐가 잘못되는건지 잘되는건지를 잘 모르겠네요..(2006. 7. 7. 김익환)
A: 맞는 story인 것 같네요. 문제는 맨 첫 step인 유한개의 $ δ $ ball nbhd로 cover 되는가를 설명하는 것이겠지요. 물론 만일 무한개가 필요하다면 이 ball들의 center 점들로 이루어진 무한집합은 limit point를 가질 수 없다는 것을 보여야겠지요. 각 스텝을 정리해서 여기 올려주면 어떨른지? – 김영욱
06/07/06에 공부한 내용
Compactness
- 일차적으로 compactness는 $ \mathbb{R}^n $ 에서 closed + boundedness 라고 이해하면 된다. 이것으로 우리가 다루는 간단한 집합이 compact인가를 대부분 판단할 수 있다.
- 그러나 compact set과 관련된 성질을 증명하는데는 이것만으로는 충분하지 않다. 특히 연속함수(continuous function)와 연관된 성질들을 다룰 때는 closed + bounded 라는 조건은 별로 좋지 않다고 할 수 있다. 그 이유는 bounded라는 조건은 open이나 closed라는 조건에 비하여 연속함수와 잘 맞지 않는다. 따라서 연속함수와 관련될 때는 순전히 open 또는 closed 같은 개념만을 사용한 compactness의 정의가 더 좋으며, 이 점에서는 open cover를 사용한 정의를 잘 사용할 수 있도록 연습할 필요가 있다. 이러한 목적으로 거리공간의 정의 바로 다음에 예로서 나오는 집합들이 compact인가 아닌가, 또, 어째서 그런가 등을 open cover를 써서 확인해 보는 연습을 해 보았다.
- compactness는 단순한 몇 마디 말로서 그 특징을 설명하기에는 매우 delicate한 개념이다. 이를 제대로 이해하는 것은 적어도 몇 년동안 해석학과 위상수학을 공부해야 한다고 할 수 있다. 우선 거리공간에서만 이야기한다면 compactness를 몇 가지 다른 방법으로 정의할 수 있다. 이 가운데 가장 많이 사용되는 것이 Bolzano-Weierstrass의 정리이다. 즉, ”’compact집합 $ K $ 의 무한부분집합은 항상 limit point를 가진다.”’ (이 때, 이 limit point는 항상 $ K $ 안에 놓인다. 왜냐 하면 $ K $ 가 closed이기 때문이다.) 따라서 compactness를 이용하는 가장 많이 쓰이는 방법은 위의 정리 형태에서이고 이 밖에 nested property 등이 있다.
Connectedness
아직 안 했다.
06/06/29에 공부한 내용
2장 2번
Prove that the set of all algebraic numbers is countable.
어떤 대상이 countable임을 보이기 위하여 정의를 사용하면 이 대상집합과 자연수집합 $ \mathbb{N} $ 사이에 1대1 대응이 있음을 보여야 한다. 즉, 1대1 대응을 만들어야 한다. 그러나 그러한 방법 외에도 다음 정리를 사용하는 방법이 있다.
”’정리:”’ countable set를 countable개 union 하면 다시 countable set가 된다.
이제 모든 algebraic number는 어떤 정수계수 다항식의 근이다. 한편 각각의 정수계수 다항식의 근은 유한개 뿐이다. 따라서 algebraic numbers의 집합은 모든 정수계수다항식의 근집합(the set of roots)의 합집합이다.
이제 정수계수다항식의 개수가 countable임을 보이면 된다. 책의 Hint는 이것을 설명한 것이다. 위와 똑같은 방법으로 각각의 정수계수 다항식에서
\[ N=n+|a_0|+\cdots+|a_n| \]
을 계산하면 이 다항식은 차수와 계수절대값의 총합이 $ N $ 인 다항식이다. 그런데 이러한 다항식은 유한개 밖에 없다.(”’왜 그런가?”’)
그러므로 정수계수다항식의 개수는 유한집합(차수와 계수절대값의 총합이 $ N $ 인 다항식들의 집합)을 countable개( $ N $ 을 따라서) union 하여 만든 개수인 countable개 이다.
2장 2번의 유제
이 문제는 집합론에서 중요한 문제이므로 같은 방법을 써서 해결할 수 있는 문제를 한 두개 적어둡니다.
- 실수 직선 위에 서로 만나지 않는 열린 구간의 집합 $ \{ (a_λ, b_λ) \} $ 을 잡으면 이 구간의 개수는 at most countable개이다. (또는 단조증가인 함수가 갖는 불연속점의 개수는 countable개를 넘지 않는다.)
- 우리가 말로 구체적으로 표현할(이름붙일) 수 있는 개념의 개수는 at most countable이다.
2장 7번
Let $ A_1,A_2,A_3,… $ be subsets of a metric space. (a) If $ B_n=\bigcup_{i=1}^n A_i $ , prove that $ \overline{B}_n=\bigcup_{i=1}^n \overline{A}_i $ . (b) If $ B_n=\bigcup_{i=1}^∞ A_i $ , prove that $ \overline{B}_n⊃\bigcup_{i=1}^∞ \overline{A}_i $ Show, by an example, that this inclusion can be proper.
이 문제의 핵심이 되는 부분은 $ \overline{B}_n⊂\bigcup_{k=1}^n \overline{A}_k $ 임을 보이는 것이다.
$ \overline{B}_n $ 의 임의의 한 점 $ p $ 를 잡는다. 이 점은 $ B_n $ 의 점이거나, 아니면 $ B_n $ 의 limit point이다. $ B_n $ 의 점이면 쉽다. 문제는 limit point일 때 뿐이다.
이 때는 $ p $ 로 다가가는 $ B_n $ 의 ( $ p $ 가 아닌) 점을 무한 개 잡을 수 있다. (이 사실을 limit point의 정의를 써서 엄밀하게 서술하여 본다.) 이제 $ A_k $ 가운데 하나는 이 무한개의 점 가운데 무한 히 많은 점들을 포함하고 있어야 한다.(아니라면 모든 $ A_k $ 에 유한개씩 밖에 없어서 전체도 유한개가 되고 만다.)
이 무한히 많은 점들 때문에 $ p $ 는 $ A_k $ 의 limit point이다. 그러니까 $ p∈ \overline{A}_k $ 이다.
”’이 문제 (b)의 반례를 적어보자”’
proper일때의 반례를 적어보라는 말씀이시죠? – 맞아요. 그러니까 ”’이 문제 (b)에서 inclusion이 proper인 경우가 되는 예를 적어보자.”’가 맞겠죠?
$ A_k=(1/k,2) $ 그러면 $ B=(0,2) $ 가 되겠죠. 그려면 $ \overline{B}=[0,2] $ 가 되고 $ \bigcup_{k=1}^∞ \overline{A}_k =(0,2] $ 가 되겠죠. (2006.7.8.김익환)