2001년도 해석학 특강 글 모음 페이지

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이 페이지는 2001년도에 구형운, 최윤서 교수님과 함께 강의한 ”’해석학특강”’에서 당시 게시판에 쓴 글들을 다시 정리하여 모은 것입니다. 그 강의에 참여한 15(?)명의 학생들은 열심히 참여하고 토론하여 많은 생각들을 게시판에 올려놓았습니다. 그대로는 다음 게시판에서 볼 수 있습니다만 조금 읽기 쉽게 여기 옮겨 둡니다.

게시판: http://gromov.com.ne.kr/board/

강의 개요

해석학 특강은 세 분의 교수님이 참여하셔서 같이 공부하는 강좌이다. 이번 학기의 주제는 부등식으로 해석학과 그 주변에서 나타나는 부등식을 알아보고 부등식을 어떻게 만들고 변형하며 그 뜻을 찾 는가를 공부한다.

교재

참고서: Hardy, Littlewood, Polya, Inequalities, Cambridge Univ. Press.

게시판 내용

”’구형운”’: (꼭 읽어 보세요) 여기 찿는 사람이 그리 많지 않은 것 같은데, 여기도 강의실과 같은 장소입니다. 이번 학기 끝나기 전까지 최소 한번씩은 글올리기로 합시다. 내가 굳이 성적에 반영된다 안된다를 이야기 하지 않아도… 물론 여기 와보지 않은 학생은 이 글 조차 읽지 못 하겠지만… 그런 학생은 할수 엄시 내가 F를 줄껴.

”’김웅용”’ (요약) 9월 10일 내용 주로 나온 내용

  1. 부등식과 산술평균, 기하평균의 역사적 개요
  2. 부등식을 이용한 거리의 생각
  3. 부등식의 변형들
  4. 홀수 개수의 산술기하에서 음수는?
  5. 산술-기하 부등식의 일반적인 변형과 증명 : 2변수에서 $ λ a+(1-λ )b ≥ a^{λ} * b^{1-λ} $

　　(산술-기하 부등식은 위의 예의 λ가 1/2 인 경우)

  1. 산술-기하 부등식의 증명 :
    1. 위 4번 식을 이용해서 수학적귀납법으로 증명
    2. 젠슨의 부등식(이 부등식은 그림으로 생각해서 추상적으로 이해)을 이용해서 증명
    3. 원과 삼각형의 닮음을 이용해서 2변수일때 그림으로 증명.
  2. 산술평균과 기하평균을 각각 n개의 변수를 가진 함수로 생각하여, 그 사이의 함수 구하기. -> 산술평균과 기하평균을 이용한 수열을 만들 때 그 수열의 극한값을 생각하여 생각할 수도 있다. (그 외의 방법도 있을지도..?)

더 생각할 수 있는 문제

  1. 내용 5)에서 2변수인 경우에만 일반적인 변형을 증명했는데, n변수에서는 어떻게 증명해야할까?
  2. 산술-기하 부등식의 또 다른 증명방법은?
  3. 내용 6)의 ㉢을 3변수에서 구와 삼각형으로는 어떻게 증명할 수 있을까?
  4. 여분으로 나온 내용이였지만, 이항계수의 일반식의 증명은?
  5. 산술평균과 기하평균 사이에 있는 함수 구하기?

여기다가 수식을 쓰기는 매우 어렵네요.. 지수 쓰기도 그렇고. 분수 쓰기도…

”’김영욱”’ (잡담) 수식쓰기 수식을 쓰는 방법은 여러가지가 있겠지만… 한가지는 수식이 많은 것은 다른 editor로 편집해서 file을 올리는 것이고, 다는 한가지 방법은 tex의 표현법을 쓰는 것이지요.

tex의 표현법은 조금은 복잡하니까 긴 수식을 쓰는데는 불편하지만 간단한 수식은 또 그 나름대로의 장점이 있어요. 혹시 이걸 모르면 C나 Basic의 표현을 빌려써도 간단한건 되지요.

이경일의 파일:

”’이강영”’ (요약) 9/17일 그 셋째시간… 엇… 우선 저번 섭과 달리 수식이 많이 나오고 복잡하여져 이곳에 직접 쓸수 없는것에대해 양해부탁드립니다… 제목만이라도 써본다면

  1. 우선 산술기하평균을 일반적으로 확장한,
  2. 다음으로 나온 이야기는 위의 식을 이용해 만든 함수
  3. 위와 같은 이야기를 하며 그렇다면 과연
  4. 위와는 별도로 양의 실수 범위에서의 산술기하평균을 복소수영역으로 확장하여 접근한 시도도 있었습니다.
  5. 그밖에…
  6. 다음주에는…
  7. 맺음말(읽을 필요없는…)

흠..역쉬 수식은 복사가 안되는군여.. 한글97로 작성하였습니다.

이강영의 파일:

”’김웅용”’ (요약) 복소수에서의 산술-기하 부등식에 관한 파일입니다. 강영에게 대충만 얘기했는데, 이렇게까지 강영이가 열심히 정리해서 올릴 줄은 몰랐슴다. 정말 대단합니다. 그 열정에 반하여 그 파일에서 생략되었던 저의 증명을 첨가합니다.

김웅용의 파일:

”’구형운”’ 우리가 이제까지 다루었던 부등식에서 보면 <* 이거나 =* 이거나 >* 중의 하가가 성립함은 분명한 사실이다.

복소수를 생각한 경우 a를 고정시키고 b를 움직이면 위 셋 중의 하나가 성립할 것인 즉, 각 영역을 계산 해보는 것도 재미 있을 듯….

”구형운”’ 수학과 교통 매년명절이되면일정량의차동차들이일정한시간안에일정한도로위를지나가야하는데이것을최적화하는건완전히수학적인문제일텔데길이막히거던이문제를정확히수학적인문제로어떻게모델링할것이며어떻게풀어야할것인지를생각해봅시다물론길이막히지않으면문제가성립하지않겠지만. ”’이경일”’ System의 문제가 먼저라고 생각합니다. *고립계, *개방 수동계, *폐쇄계, *개방 적응계라는 시스템들을 고려하는 방법으로 독립변수와 종속변수 그리고 universal set (러셀의 paradox를 axiom으로 무시한 set; 사람이 말한 하나의 예술(art of speaking)을 신(God)의 요청으로 거만 떠는 set) 안의 elements 또는 factor밖에 생각안하는 수학적 모델링은 어딘가 모르게 초라해 보입니다.

위의 4줄은 저의 세계관이므로 개인적으로 이야기하는 편이 제일 빠르겠지요? 저에게 관심 없으신 분은 제가 상황에 맞춰 멋떨어지게 말할 때까지 잡소리로 이해해주시구요.

단순히 귀성객을 독립변수로, 고속도로안의 차량의 수를 종속변수로하는 그런 간단한 System (예를 들면 y>=ax , x:귀성객수, y:고속도로안에서 소통이 월할할 수 있는 차량의 수, a: 귀성객당 차량차지율) 이라면 모델링도 쉽고, 독단적 정책결정만이 최선일 것입니다.

물론 이에 대한 멋떨어진 어떤 수학적 모델링 있을 수 있겠지만…

GPS와 같은 다른 첨단 독립변수 첨가, 다른 교통수단의 독립변수 줄임 효과 등등 참 고려할 것들이 많네요… @@a

<*의 Reference : 프랙탈과 카오스의 세계, 김용운, 김용국 저 p260>

모두들 즐똥(즐거운 통신이 되시라는 말)~~ 추석 잘 보내시구요~

”’구형운”’ 좀더 구체적인 예를 생각해보자면, “바둑판 모양의 길들이 있고 각 방향으로 교통량이 각각 적당량 정해져있는 경우에 교통 신호등의 작동을 어떻게 하여야 교통 흐름을 최대한 빠르게 할 수 있는가?” 이 문제는 신호등 연동제에 해당하는 문제로서 도로교통안전관리공단에서는 실제의 도로에서 이문제를 다루고 있음.

”’김영욱”’ 이 문제는 아마도 부등식 보다는 방정식 문제가 될 것 같지요? 하지만 이런 방정식 문제에서도 부등식이 긴요한 역할을 하는 수가 있지요.

”’김웅용”’ Cauchy Schwarz Inequality 코시-슈바르츠 부등식(이하 C-S 부등식)은 원래 일반적인 정의는 선형대수에서 나오져. 어떤 Vector Space의 원소 v,w에 대해서 내적을 v·w, 각각의 길이를 IvI,IwI라고 정의하면 v·w ≤IvIIwI 인 것이 C-S 부등식이거덩여. 우리가 알고 있는 것은 Vector Space를 R^n으로 정의할 때의 C-S 부등식인 것이죠. 그런데 모두 알다시피 Vector Space는 많잖아요? 각각의 Vector Space에서 C-S 부등식을 조사해보면 많은 식이 나올 것 같은데요.. 함 알아보는 것은 어떨까요?

”’김웅용”’ Cauchy Schwarz Inequality II 코시-슈바르츠 부등식 (이하 C-S 부등식)에 관련된 것인데요. 이것은 상범이 형이 제안한 것입니다. ( (a_1)^2 + (a_2)^2 + … + (a_n)^2 )( (b_1)^2 + (b_2)^2 + … + (b_n)^2 ) ≥ ( (a_1)(b_1) + (a_2)(b_2) + … + (a_n)(b_n) )^2 인 것은 모두덜 아시자나요.. 상범이 형이 제안한 것은 이것을 n항까지만 생각하는 것이 아니라, 무한항까지 생각하자는 것이거든요. 물론 (a_i)^2 의 합들과 (b_i)^2 의 합들이 수렴하는 범위에서 생각해야겠죠? 이 증명이 가능할까요? 또, 등호조건은 어떨까요? (상범이형 말로는 부등식의 증명은 가능하다고 하는데요. 등호조건일 때가 잘 안된다고 하네요..)

즐거운 추석 수학과 함께~ (추석때 秋數 합시다~~ ^^)

”’김영욱”’ 음, 이제 무한항으로 들어가남? 무한항을 생각한담, 지금까지 한 산평-기평도 무한개의 항을 갖는 경우를 생각할 수 있지 않을까? 어느 누가 이런거 추석동안에 생각해보구, 만나면 이야기해보면 어떨까?

”’김웅용”’ 사실 그걸 생각했었습니다. 즉 람다1 + 람다2 + … 의 무한개의 람다의 급수가 1로 수렴하고, 각각의 람다들이 0과 1 사이일 때, 산술-기하 부등식의 형태가 만족되지 않을까 하고 말이죠. 그런데, 비록 람다들이 수렴한다고 해 도, 막상 임의의 a들에 대해서 람다들과 a들의 선형결합(산술-기하 부등식의 왼쪽항)이 수렴한다는 보장이 (당연히!) 없고, a들의 람다승을 취한 오른쪽 항도 역시 (당연히!) 수렴한다는 보장이 없어서 생각하기가 힘들더군요…

그래서 생각만 하고 의견을 내지는 않았었습니다.

혹시 다른 분덜 중 이것에 대해 의견 있으신 분은 또 게시판에 올려주시기 바랍니다.

”’구형운”’ 마자. 좋은생각이네. 앞에서 vector space 뭐라고했는데, 정의를 함 생각해보고 그리고 무한항 관련도 vector space의 테두리안에서 생각할수있지 않을까요.

”’이경일”’ 게시판이 바뀌어서 파일을 업 할 수가 없네요. 파일 안올리고 그냥 쓰는 것 보는 사람 입장에서 훨 좋은데… ㅎㅎ 내용 전달에 무리가 있어서요~

이 글은 웅용이의 Re: Cauchy Schwarz Inequality II 답글입니다.

날씨가 추운데 감기 조심하세요.

”’김웅용”’ 그런가요 우변을 나누어서 1보다 크거나 같다는 식으로 놓은 것은 참으로 공감이 가는 내용입니다. 그런데 정말로 그 비가 1보다 크거나 같으면 원식이 성립한다고 말할 수 있을까요?

좌변/우변 의 비율이 좌변과 우변이 각각 발산할 때 1과 비교한다는 뜻은 아마도 극한을 생각한다는 것이겠지요. 만약 좌변의 n까지의 부분을 생각했을 때 결과가 (만약이지만요!) n+5 이고 우변의 n까지의 부분의 계산결과가 n+7 이라는 결과가 나온다고 생각해도 그 비율은 1이 되어서 아랫식은 성립하죠. 하지만 어떤 n의 경우에 대해서도 n+7이 n+5보다는 크니까 위의 식은 성립하지 않죠. 무한에서는 양변을 똑같이 나눈다고 해도 이처럼 부등식이 성립되지 않을 수 있다고 보여지는데요. 따라서 그런 식으로 생각하는 것은 어렵지 않을까요?

”’이경일”’ 만약이라는 부분을 생각했을 때는 이미 유한을 생각하는 것이죠? 유한은 벌써 우리가 수업시간에 증명한 부분입니다. 결코 만약이라는 상황이 안벌어지는데..

”’구형운”’ 좋은 토론이네요. 이런식으로 게시판이 운영되면 훌륭하다고 생각되네여.

”’김웅용”’ {br] 맞네여.. 좋은 생각임다 ^^

”’장상운”’ [잡담]안녕들하세요 제가 원래 네트워크와 친하지 않아서 이곳의 방문을 소홀히 했어요. 그러나 앞으로 이 수업에 원활히 적응하기 위해선 이곳을 자주 와서 의견을 교환하고 아이디어를 공유하는게 필요하다는 생각을 했습니다. 사실 짧은 수업시간에 번뜩이는 아이디어를 생각하기는 거의 힘들기 때문에 더욱 그렇죠…

일단 vector spaced안에서의 코쉬 부등식을 생각해봐야겠군요. 생각이 정리되면 다시 이곳을 찾죠.

”’김웅용”’ 부등식이 방정식으로.. 이 문제는 우리의 문제와는 조금 별개의 것일 지도 모르지만.. 모두들 부등식을 부등식 자체에서 생각하는 경우가 많은데요. 가끔씩은 부등식을 방정식으로 바꿔서 표현할 수도 있습니다.

예를 들어서 a>b 라는 식이 있으면 a=b+c이고 c 는 0보다 큰 실수 라고 표현할 수도 있다는 것이지요. 구게 구거 아니냐.. 라는 생각이 있을 수도 있지만 가끔 가다 보면 이런 것들이 파워를 발휘할 때가 있죠.

1차 연립 부등식의 경우 그거 자체를 행렬로 나타내기는 힘들지만 각각의 행을 위처럼 몇 개의 미지수를 늘려서 방정식으로 바꾸면 행렬로 표시 가능한 경우가 그 대표적인 예가 아닐까 생각되는데요. 그냥. 우리가 부등식에 대해서 마니 다루고 있으니까.. 부등식 문제에 부딪혔을 때 이런 생각도 해 보는 것이 어떨까라는 생각으로 글 올려 봤슴다.

”’김웅용”’ 역시 우연히 발견한 것.. 이 문제랑은 상관이 없겠지요.. 벡터 스페이스 가지고 내적 어쩌구 하다 보니까 우연히 발견한 건데요. 실수의 벡터공간이 생각해보니까 C[0,1] ([0,1] 위에서의 연속인 함수모임) 의 벡터공간의 한 부분공간이 되더군요.

a∈R 인 a를 생각해 보면 이 a를 다음과 같이 정의한다면..

\[ a(x)=a , x∈[0,1] \]

이제 a는 함수로 다루어질 수 있고요. 물론 실수가 벡터공간이니까 이런 상수함수들의 모임도 벡터공간이고요. 내적을 보통 연속함수들의 내적. 즉,

\[ \int_0^1 f(x)g(x) dx \]

로 정의하면 우리가 실수에서 생각하는 그 내적이 튀어나오게 되고요. 그래서 상수함수들의 모임은 실수 벡터공간과 1-1 대응을 이루게 되어서 실수벡터공간을 C[0,1]벡터공간의 상수함수들만 모아놓은 부분공간으로 생각할 수 있더군요..

그냥 발견한 게 넘 신기해서 적어봅니다

”’구형운”’ 그렇군여 좋은 생각이네요. 그런데 일반적인 벡터공간상에서 내적의 정의는 어케되나?

”’김웅용”’ 일반적인 내적의 정의 V를 벡터공간이라고 하고, u,v,w를 V의 원소들, k를 스칼라의 원소라고 하면 다음의 조건을 만족하도록 하면 내적이라고 정의함다.

·: V×V —> F (F는 스칼라)로서 다음을 만족

  1. v·w=w·v
  2. v·(w+u)=(v·w)+(v·u)
  3. v·(kw)=k(v·w)
  4. v,v≥0 for all v∈V and if v·v=0 ,then v=0 only.

위의 조건만 만족하면 무조건 내적을 만들어 낼 수 있기 때문에 내적에 관한 여러가지 생각이 가능해지는 것이죠. 예를 들면 R^n (n차원 실수공간)에서도 우리가 알고있는 내적 이외에 다음과 같이 정의하면..

v·w = c_1 v_1 w_1 + c_2 v_2 w_2 + … + c_n v_n w_n where v=( v_1 , v_2 , … , v_n ) , w=( w_1 , w_2 , … , w_n )

이것도 위의 네 조건을 만족하므로 또다른 내적이 될 수 있죠.. (제가 알기로는 무게를 가진(weighted) 내적이라고 알고 있는데요..) 아뭏튼 아무 내적이나 위의 조건을 만족하도록 만들 수 있다면 그 각각에 대해 코시-슈바르츠 부등식을 만들어 낼 수 있겠죠? ^^

”’구형운”’ 음. 아주 잘 적었군여. 한가지 더 바란다면 좀더 많은 예를 적어 주었으면… R^n 과 같은 유한 차원 Vector space 말고…

”’유상범”’ 코시-슈바르츠 부등식과 H’o’lder 부등식 여기 첨 글을 올리는군요… 모두들 추석 잘 보내셨나요?? 우연히 생각하게 된 내용입니다. 코시-슈바르츠 부등식과 H’o’lder 부등식의 연관성… H’o’lder 부등식은 다음과 같습니다.

p, q가 (1/p)+(1/q)=1을 만족하는 음이 아닌 extended real number들이고 (즉, p 또는 q가 무한대인 경우도 허용한다는 뜻) f가 L^p-space의 원소이고, g가 L^q-space의 원소일 때, f*g (f와 g를 그냥 곱한 함수)는 L^1-sapce의 원소이고 다음이 성립합니다.

integral |f*g| <= (integral |f|^p)^{1/p} * (integral |g|^q)^{1/q} (여기서 integral은 Lebegue integration임, 따라서 Riemann integrable한 경우는 당연히 성립)

만약 구간 [a,b]에서 연속인 x에 관한 모든 함수들에 대하여 =integral{from 0 to 1} fg dx으로 내적 공간을 만들면, 코시-슈바르츠 부등식이 다음과 같은 모양을 갖습니다.

integral{from a to b} fg dx <=(integral{from a to b} f^2 dx)^{1/2} * (integral{from a to b} g^2 dx)^{1/2}

여기서 1/2 + 1/2 = 1이 되니까 위의 H’o’lder 부등식 모양과 유사하지 않나요?? 중간에 무언가가 빠진 듯하지만요…^^

”’구형운”’ 그렇군요 그렇네요.

”’김웅용”’ 음… 그 무언가 빠졌다고 하는 것이 아마도 제 생각입니다만

좌변의 fg의 적분식에서 코시 슈바르츠 부등식은 절대값이 바깥에 붙는 데 반해서 횔더의 부등식은 절대값이 안에 붙는다는 것이겠지요.

L^1 공간에서는 다음 식이 성립하니까..

int I fg I ≥I int fg I

(위의 식은 실수에서 생각하기는 어렵지 않을거에요. 그래프로 끄적거려보면 쉽게 생각될테니까. 하지만 증명은 만만치는 않죠. 생각하기가 힘든..)

(아.. 참고 L^p 공간이란 것은 p번 적분가능한 함수들을 모아놓은 공간이라고 저는 알고있거든요.. 맞나?..)

그니까 횔더의 부등식이 만족되면 코시슈바르츠 부등식은 자연스레 만족되는 것이지요. (일종의 함수공간에서 코시슈바르츠 부등식의 증명이 되는 셈인가요.. 음.. 코시슈바르츠 증명 자체는 그다지 어렵지는 않을텐데.. <– 좀 어설프긴 하지만 고등학교 실력으로도 증명은 가능하니까.)

하지만 횔더 부등식을 증명하는 건 그렇게 만만한 문제는 아니죠.. 또 부등식에서는 반대방향은 예기하기 힘드니까 코시슈바르츠 부등식을 가지고 횔더의 부등식을 얘기하는 건 불가능하다고 보여지고요.. 혹시 어떤 조건이 있다면 모를까..

”’이강영”’ 음… 흠…게시판 옮기고 처음이네요.. 전번 게시판이 수수하고 편했던것 같은데.. 여긴 광고도 있고..하지만..

저두 뭔가 써서올려보려구 끄적여 보지만 얻어지는건 없구. 다른 선배나친구들 얘기나 훝어보며 신기해하기만 하구.. 음.. 은근히 은근히 월욜이 걱정됩니다..흠..좀더 끄적여 봐야겠네여////쓸데없는 잡답이었습니다..그럼… 달이 쪼그라들고 있는밤에..

”’최재희”’ 저랑 비슷하네요 ^^ 저도 뭔가 여기 와서 얘기해보고싶은데… 선배들이 올려놓은거 보다가만 갑니다.. 은근히 월요일이 걱정된다는 강영이 오빠 말에 동감!!!

저~기 밑에 웅용이 오빠가 제안하신 코시슈바르츠 부등식 만들기 해봐야겠네요~~ 모두들 주말 즐겁게 보내세요~

nnn…………n최재희

”’김영욱”’ 저랑 비슷하네요 ^^ <- 할꺼 마나여.. 위의 23번글 일거보구 함 해봐여.

”’김영욱”’ [공지] 혼자 진도 나가기 우선 이 보드는 컴내꺼(읽어보면 컴네꺼 같음)의 무료 서비스를 사용하여 만든 것입니다. 무료 게시판 프로그램들이 bug가 많아서리….

아래 누군가가 말한거처럼 어떤 사람들은 어려운 정의들을 마구 갖다가 써서 초심자들을 당황하게 하는군요. 방향은 맞지만 그 내용도 잘 설명할 수 있어야 한다는 것은 두말한 필요가 없지요.

그런 글을 읽고 멍한 사람들도 걱정할 것은 없어요. 예를 들어 코시 부등식을 새로운 내적에 대하여 이야기한 글을 읽고는 …

  1. 그 내용을 구체적으로(성분으로) 쓰면 어떤 이야기가 되는가를 알아보고,
  2. 원래의 쉬운 코시 부등식과 어떤 관계인가를 알아보고,
  3. 새 부등식이 원래 부등식에서 어떤 생각을 하면 만들어질 수 있는가를 생각해보다보면 더 일반화하거나 하는 것이 가능해질 때도 있을 거예요.

그럼 수업시간에 와서 (2)도 설명해주고, (3) 같은 것이 있으면 더욱 좋으니깐…

특히, 어려운 이야기가 있을 때는 여기다 질문해도 좋고(질문도 이야기한걸루 칩니닷!!!) 또는 선생님들께 몰래 e-메일루 물어봐두 되죠.

그럼 즐감, 즐통, 즐생 …

”’구형운”’ 마자요. 근데, “그럼 즐감, 즐통, 즐생 …” 이게 뭐죠?

글구, 이 게시판은 아주 잘되네요. 그래서 뭘 황칠을 좀해보고싶은데 음…. (기억력이 워낙 나빠서 여기 들락 날락 하면서도 뭘읽었는지 뭘 썼었는지 통 기억은 안나고…)

흠… 부등식이라 그리고 코시-슈바르츠 부등식이라… 어? 코시 부등식도 아니고 슈바르츠 부등식도 아니고 왜 합쳐져있지?…

글구, 이 부등식의 의미는 어떤 것들이 있나요? (지난번 산술-기하 평균에 관한 것의 의미를 찿아 보았었듯이. 그랬었는지 아닌지는 기억이 안나지만…)

뭔지는 모르지만 “그럼 즐감, 즐통, 즐생 …”

”’김영욱”’ 즐감 = 즐겁게 감상(하세요) 즐통 = 즐겁게 통신(하세요) 즐생 = 즐겁게 생각(하세요)

”’구형운”’ [제안]중요한 건 말이죠…

내 생각에는 수학을 하면서 중요한 것은: 열심히 생각하고 노력하는것이라고 생각됩니다. 그리고 그러한 과정을 즐길 수 있으면 더욱 좋고. 내가 하는 것이 거창한 문제일 필요도 없고 하고자 하던것이 안되도 좋고, 되면 더좋고. 뭘 배우냐고? 글쎄, 물론 수학적 지식도 중요하지만 그건 책에서 찿아 볼 정도면 될테고. 가장 중요한건 생각하는 능력을(어떤 주어진 문제-수학이건 아니건-를 해결하는 능력) 배우는게 아닐까 싶네요. 그래서 안풀려도 좋고 풀리면 더욱 좋고, 중요한건 열심히 정성을 다해 생각하고 노력하는 것 같아요.

수학을 열심히 하는 사람들은 자기자신이 초라하다고 여겨 질 때가 아주 아주 매우 매우 많다고 생각됩니다. (물론 그런 생각 조차 못하는 바보들은 빼고.) 나는 겨우 요기 꺼정 밖에 못하는데, 그것도 몇날 몇달 몇년 걸려서. 근데 어떤 사람들은 그것도 몇 백년전에 머리에 소똥도 벗겨지기전에(젊다는 뜻) 어마어마한 것들을 해내고. 다른 학문들도 그런 경우가 있겠지만 특히 수학은 그런게 많은 듯. 물론 천재들 까지 가지 않더라도 눈을 들고 주위를 둘러 보기만 하여도 그런 사람들은 많을 거야요.

초라해질 때가 많겠지만, 그 반대로 그 어떤 즐거움과도 비교가 안될 많큼 큰 기쁨을 주기도 하죠. 고생 고생하던 문제를 몇날 몇일 몇년 걸려서 푸는 순간은 그동안 초라해졌던 부분을 모두 보상해주죠. 물론 내가 해결한 문제는 천재들이 해결한 그런 문제는 전혀 아니지만 나와 오랬동안 동거동락한 문제라 내게는 그것의 해결이 큰 기쁨을 가져다 준다고 볼 수 있죠.

글구, 쪽 팔린다고 생각할거 하나도 없어요. 여기 우리들 중에는 그렇게 천재도 없고 그렇게 돌도 없다고 봐요. 다 그만 그만 한(물론 나도 포함하여) 돌(?)들이라고 봐요. 내가 틀렸으면 “음… 또 틀렸네” 해버리고 또 열심히 생각하면 되지머… 중요한건 얼마나 열심히 생각하고 노력하는가 라고 여겨집니다.(물론 내 생각에 동감 안하면 말구. 단지 나는 이렇게 생각한다는 거야요.)

벌써 추석이 지났나? 음…

”’김웅용”’ 조금 이상한 생각같긴 하지만..

결국은 우리가 생각하는 코시-슈바르츠 부등식이 기본적으로는 벡터 공간의 내적을 생각하다 보니까 나왔다고 예전에 글을 올렸죠. 내적은 언제나 양수이니까 길이를 자기자신끼리의 내적으로 생각하면 정의가 되고, 하믄 코시-슈바르츠 부등식이 나오니까..

근데여 갑자기 생각을 했는데. 혹시 내적으로 생각하지 말고 bilinear 형식을 생각하면 어떨까 싶거든요. 이건 내적이 일종의 bilinear의 한 형태로 생각될 수 있기 때문이지요. 그니까 무슨 말이냐 하면

(X,Y)=(X^T)A(Y) 가 bilinear라고 하면(쌍선형(bilinear)의 정의는 알아서 찾아보시길..) 우리가 보통 생각하는 내적이란 것은 사실 위의 A가 항등행렬일 때거든요. 그러니까 그런 특별한 경우만 생각하지 말고, 일반적인 위의 쌍선형 자체를 내적 비슷하게 생각하면.. (물론 내적 비슷하게 하기 위해 A는 positive definite이여야 하고, 또 symmetric matrix여야 하겠죠?)

길이 비슷한 것은 위의 쌍선형 정의에서 root(X,X)로 생각하면 되고 그러면 과연 그러한 비스무리한 경우에서는 코시 슈바르츠 비스무리하게 부등식을 세우면 그것도 만족되겠는가? 생각해보면 잼있을 거 같지 않나요? ^^;

김경찬의 9월 24일 파일:

”’김영욱”’

일전에 김웅용이 올린 파일을 조금 고친 file입니다. link는 http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course2/complex_mean_ineq.ps 와 http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course2/complex_mean_ineq.pdf 입니다. 그럼…

”’이경일”’ [간청]정민아 산평 기평 수학적 귀납법 올려주겐니

정민이 네가 수학적 귀납법 으로 증명 멋떨어지게 한 걸 옆에서 봤다. 게시판에 공개해요~~

”’지정민”’

경일이 형^^

늦어져서 죄솔해요^^ 제가 지금 고시원이라 컴을 쓸 기회가 많지 않아서여(ㅋㅋㅋㅋ 궁색한 변명) 죄송함다 요번주 내루다가 올려 놓겠슴다.

근데 아이디어만 대략 적어보면, 제가 했던 것들은 다 틀렸구여 ㅋㅋㅋㅋ 아 부등식은 되는 구나 그 때 교시님이 풀어 주신게 딱 맞드라고여… 그냥 가정을 n=k-1일 때 까지 부등식이 성립하는 거랑 등호 조건을 a(1) 부터 a(k-1)이 다 같을 때라구 해버리 면, n=-k 일 때 부등식 증명하는 과정에 아마도 부등식 기호가 딱 두번 나온 거 같은데(?) ,그 두 군데에서 가정을 이용해서 증몀하믄 부등식이랑 등호 조건이 같이 다 증명 됩니당 암튼지간에 넘 늦어 진거 죄송하구여 스켄을 하든 멀 하든 다시 한번 올리겠슴니다

꾸벅 (–)(__)

”’김영욱”’ (제안) 간단한 BBS 수식 사용법

다음 글의 파일입니다.

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/tex.ps

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/tex.pdf

비비에서 수식 쓰기가 쉽지 않죠 간단한 방법은 컴 프로그램언어의 기호나, 아래아한글, TeX의 기호를 쓰는 것입니다. 그리고 쉬운 기호들은 모두 비슷하지요. 곱셈은 * 지수는 ^ 등을 씁니다.

xy = x*y, e^x 는 지수함수, sin x 나 sin x 는 모두 사인 함수 분수는 {a} over {b} (하안글 방법)이나, frac{a}{b} (TeX 방법)을 쓰면 되겠죠.

TeX은 조판용이기 때문에 특수기호는 모두 앞에 backslash= 를 붙여서 씁니다. 간단한 기호들은 다음과 갈습니다. 그 기호가 무슨 뜻인가는 거의 대부분 그냥 알 수 있지요.

TeX은 수식을 두 개의 $ 기호 사이에 둡니다. 따라서 $ ….. $ 와 같이 나타내어 그 사이의 것은 수식이라는 것을 나타내지만 우리는 굳이 그렇게 하지 않아도 됩니다. (단지 이 것을 제대로 해 두면 나중에 따로 손 보지 않고도 바로 예쁜 수식으로 바꿀 수가 있죠. 이건 나중에 생각할 점이죠.)

TeX의 간단한 예들

x^{2y} , x_1, x_2, .. frac{1}{x} = 1/x sqrt{ x^2 + y^2 } 1 + 2 + cdots + n = frac{ n (n+1) }{2} x>2, x geq 2, x leq 2, x<2, x neq 2, x not= 2 (program language에서는 x>=2 와 갈이 쓰지요) int_a^b f'(x) dx = f(b) – f(a) sum_{n=1}^{infty} a_n

등으로 쓰면 됩니다. 예를 들어 코시부등식은

( sum_{k=1}^{n} a_k^2 ) ( sum_{k=1}^{n} b_k^2 ) geq ( sum_{k=1}^{n} a_k b_k )^2

입니다. 이건 조금 보기 힘들지만 TeX 프로그램(예를 들면 MikTeX)을 써서 금방 보기 좋은 모양으로 바꿀 수 있죠. 익숙해지면 위의 기호만 보고도 금방 수식을 써 낼 수 있어요.

그럼 나름대로 수식을 전하는 방법을 개발해 봅시다.

”’최재희”’ [잡담]수식 쓰기 넘 어려워요 ㅠ.ㅜ

흐흐흑…오늘 파일 다 만들어서 올리려는 굳은 결심이 조금씩 무너지려 합니다.. 금방 할 수 있을줄 알았는데..생각만큼 쉽지 않네요 안하던걸 하려 해서 그런가봐요..평소때 연습해둘껄 그랬나봐요… 오늘쯤 올리려 했는데..늦어질것 같습니다. 저번에 강영 오빠 다 해서 올리신거 넘 존경스러워요~

참..종혁오빠 오빠가 코시슈바르츠 귀납법으로 증명하신거 못받아적었거든요.. 그것도 올려야하는데..내일 학교에서 만나면 꼭 주세요~

허걱..자료 어떻게 올려야 할지 모르겠습니다..ㅠ.ㅜ 우선 수업시간에 나왔던 내용을 크게 요약는데요.. 이런…갈수록 태산이네요.. 자료를 올리러 왔는데…못올리고 갑니다..ㅠ.ㅜ

최재희 요약파일: http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course2/choijaehee_1001.hwp

[파일] 장상운의 코시-슈바르츠 부등식(적분형태): http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course2/cauchy_int_jangsw.hwp

”’김영욱”’

파일의 식 1에서 둘째 부등식이 산평-기평 부등식이라구 했는데, 그 식의 첫째 부등식두 산평-기평 부등식이네요.^^

”’김웅용”’

마지막에 calculus로 증명하신 것. 산평기평 부분의 부등호가 반대로 되었네요

”’구형운”’ 등호의 경우에 있어서…

등호의 경우 좀더 엄밀히 말하면 “모든 x에 대하여 f(x)=g(x)” 일 필요는 없을것 같은데…. 어떤 함수의 제곱의 적분이 영이라고 해서 함수가 영일 필요는 없지 않나요…

참 그리고 아래서 웅용이 이야기 처럼 (1)번식의 둘째 부등호가 바뀌었네… 그래서 마지막에 이야기한 것과 같은 방법을 써야지 않을까… “(사실 {f-kg}^{2}을 이용하면 정확히 똑같은 결과를 얻는다.)” 라고 마지막 줄에 씌여져있는데…

”’김영욱”’

음 그런 복병이 숨어있네여. 피해갈 방법도 있을텐데…

”’이종혁”’ [잡담]에구..좀있음 섭시간인데…

올만에 들어와서 보니까 많은 글들이 올라와있네여.. 좀 있음 수업인데 걱정도 되고 가서 무슨 얘기를 해야 되나해서 잠깐 들어왔다 흔적 남깁니다..

그럼 오늘도 즐건 수업이 되기를… 늘 한번은 발표해야된다는 부담감을 가지고…-.-;;;

”’이강영”’ 음..수업시간에 얘기못한..

음.저번주부터 생각해본거긴 한데.. 과연 이것이 어떤 의미가 있을까하는 생각이 너무 크게 들어..용기두 없구..괜히 분위기만 엄해질까 하여 꺼내지 못했던 건데… 오널 구교수님의 질책+격려에 자극을 받고 지나가는 길에 끄적여봅니다… 다시한번 말하지만..아무의미없는 내용이니까 걍 심심풀이로…..

(ax + by)^2 <= (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) 이식은 다음과 같이 써도 무방하다. (ay + bx)^2 <= (a^2 + b^2)(y^2 + x^2) … 그렇다면… (ax + by)^2 과 (ay + bx)^2의 관계는??

걍 이렇게 정리해본다면… (ax + by)^2 – (ay + bx)^2 >= 0 일조건이나 찾아보자..

정리해보고, 인수분해하면 (a+b)(a-b)(x+y)(x-y) >= 0

즉, a>b && x>y… equality : a=b | x=y

이정도 생각해보구… (A1B1+ … + A1Bn)^2 <= (A1^2 + … An^2)(B1^2 + … + Bn^2)역시 다양한 조합으로 이루어 질텐데.. 그관계는 어떨까 하는 것에 대해 생각해보다… 넘어려워서…

”’구형운”’ 흠, 그거 잼있네.

흠, 그거 잼있네. 두개 짜리 가 되었으니 세개 짜리는 어떻게 될런지… 인수분해가 잘 될라나… 어쨓던 재미있는 문제이네.

”’김웅용”’ 정말 잼있넹…

두 개짜리 코시-슈바르츠 부등식에서 (ax+by)^2을 (ax+yb)^2으로 바꾸어 생각한 건 정말 잼있당.. 결국 (a^2+y^2)(x^2+b^2)과 (a^2+b^2)(x^2+y^2)은 크기는 다르겠지만 어떤 똑같은 값보다 작다는 결론이 나오는구만 이를테면 3<=5 이고 2<=5 일때 3과 2의 관계가 어떨까.. 를 생각하는 문제처럼 되어버리는데

어쨌든 3이든 2든 계산결과는 숫자가 될테니 분명 bounded된 것은 당연하고 그 bounded 중 하나가 5가 된다는 건데 당연히 3과 2를 비교하면 같거나 둘 중 어느것이 크겠지

두 개 짜리의 코시-슈바르츠 부등식에서 우변이, 생성된 두 개의 좌변의 상계(upper bound)가 되고, 우변에 -를 붙인 것이 하계(lower bound)가 되는 가운데 생성된 두 개의 좌변의 크기마저 비교해 버린다면 우변과 생성된 두 좌변의 크기 순서가 주루룩 배열되는 셈이넹..

2개짜리 뿐만 아니라 임의의 n개짜리에서도 생성될 수 있는 모든 좌변간 관계가 이렇게 주루룩 배열되어 버린다면..

으흠.. 이건 정말 잼있는 문제가 아닐 수 없는걸…

”’구형운”’ 문제를 이렇게 볼수도…

강영이의 글에서 보면,

“”그렇다면… (ax + by)^2 과 (ay + bx)^2의 관계는??

걍 이렇게 정리해본다면… (ax + by)^2 – (ay + bx)^2 >= 0 일조건이나 찾아보자 “”

라고 되어 있고 그다음은 이를 해결한 것같은데…. 이 문제는 다음과 같이 생각할 수도 있을 것같은데…

“” (ax + by) > (ay + bx) 일조건이나 찾아보자 “”

그러면 n개 항이 있을 때 혹은 두개은 수열 {a_n} 과 {x_n}이 있을 때, 문제가 정확히 어떻게 되는지…

”’김영욱”’ 음 이런 생각도 하는군요^^

강영이가 아주 재미있는 생각을 했군요. 혹시 어떤 생각 끝에 여기에 오게 됐는지 설명해 줄 수 있으면 모두에게 큰 도움이 되리라고 생각이 되는데…

어쨌든 이 문제는

a_1 >= a_2 >= … >= a_n >= 0

b_1 >= b_2 >= … >= b_n >= 0

이고, t는 1, 2, …, n 의 순열(permutation)일 때,

a_1 b_{t(1)} + … + a_n b_{t(n)}

의 최대 최소값을 주는 t를 찾아라 하는 문제가 되는데, 사실 아주 유명한 부등식 문제랍니다.

거의 다 풀린 것 같은데 빨리 답을 찾아서 올려주면 좋겠네요. 그럼 다른 사람들은 이 결과를 어디다 쓸 수 있을까를 생각해보면 좋겠네요. 또 어떤 사람은 이 결과를 벡터로 해석해보면 어떨까도 하네요

”’최재희”’ [질문]문제를 이렇게 볼수도…

위의 식을 n개 항이 있을때로 생각하면

(a_1x_1+”’a_nx_n)>(a_nx_n+”’+a_1x_1) 으로 생각해야하는건지 아니면 여러가지의 조합의 경우로 생각해야 하는지를 모르겟는데요..

여러가지 조합의 경우로 우선 생각해봤는데요

{a_n} {x_n}이 어떤 형태로 조합이 되어있어도

a_1>a_2>”’>a_n>0

x_1>x_2>”’>x_n>0

일때만 저 위의 부등식이 성립된다고 생각하거든요

제 생각을 표현하기가 힘든데요…

힝~ 월요일까지 더 생각해보겠습니다..

”’구형운”’ 풀이는?

문제를 정확하게 본거 같은데, 증명은 어떻게 될까요…

”’최재희”’

증명은요..induction 을 써서 해보았는데요.. a_1>a_2>”’>a_n>0

x_1>x_2>”’>x_n>0이면

(a_1x_1 + ”’+ a_nx_n)^2 > (a_1x_{t1}+ ”’+a_n x_{tn})^2 이다..

우선 n=2 인 경우 (a_1x_1 + a_2x_2)^2 > (a_1x_2 + a_2x_1)^2 이 경우는 위에 강영이 오빠가 증명을 한것과 같구요..

n n=k+1 일때

(a_1x_1+”’a_kx_k+a_(k+1)x_(k+1))^2-(a_1x_1”’a_kx_(k+1)+a_(k+1)x_k)^2 에서 a_1x_1”’+a_(k-1)x_(k-1) 은 A로 생각하고 n=k-1 일때는 참이라 가정했으므로 (A+a_kx_k+a_(k+1)x_(k+1))^2-(A+a_kx_(k+1)+a_(k+1)x_k)^2 =(x_k – x_k+1)(a_k – a_k+1)(2A+(x_k+x_k+1)(a_k+a_k+1)>0 if a_k>a_(k+1),x_k>x_(k+1)

이것이 n!가지의 순열의 경우에 대해 고려해야 하니까 n!가지의 경우에 대해서 t: {1,2,”’n}->{1,2,”’n} distinct permatation 인데 이때 x_(t1)>”’>x_(tn) 이다 라고 보는것이 더욱 정확할까요?

”’최재희”’ 우아앙~ ㅠ.ㅜ

이거 해놓구선 찜찜해서 계속 생각해봤는데 저 증명 틀린것 같네요..ㅠ.ㅜ

제 증명은 저게 n개일때 2개 끼리만 바꾸는것을 증명한것 같네요..n개의 x_i 가 모두 자리를 바꾸면 더욱 복잡해지는걸 저 증명이 커버못하는듯 싶어요

3개짜리일때 된것 같은데..이상해요….

다시해봐야겠습니다.. 웅..챙피해..ㅠ.ㅜ

”’이경일”’ (Formal chat) 즐통~~

Chat이라는 말은 informal conversation이란 말로 풀이됩니다. Formal chat이란 말은 paradoxical 하지요? 또 이렇게 제가 paradoxical 하다면서 굉장히 건방떠는 것 같지요?

사실 저는 굉장히 컴퓨터상의 chatting에 많은 거부감이 있었습니다. 치밀하고도 정성이 담긴 권위(authority)를 가진 저자(author)의 formal한 글들에 반해 가벼운 이야기가 권위를 가지며, 치밀하고도 정성이 담긴 글도 언어(logos)일 뿐이기에 그러한 글도 치밀하고 정성이 담긴 글로서 비판할 수 있는 신중함이 있어야 하는데 그러한 신중함 없이 퍼져나갈 가능성 등등..

하지만 언어에 현실적인 구어주의(colloquialism)를 강조함에 있어, 이러한 chat형식의 글을 빌리지만 이렇게도 formal 할 수 있다는 현실 앞에서 무한한 희망을 갖습니다.

이 게시판에서 누릴 수 있는 이러한 희망으로 모두들 즐통~~

”’김영욱”’ (Formal Chat) 즐통~~ 에 대한 쓸데없는 이야기

사실 채팅과 게시판은 빠른 시간에 한 생각만이 반영된다는 점에서 깊이있는 생각을 쓴 글이 되기는 어렵다는데 동의합니다. 그러나 다음과 같은 점을 생각하면 어떨까 하는데요.

우선 단순히 입으로 하는 말 채팅에 비교하여 보면 대부분 사람들에게 키보드 채팅은 입보다 느립니다. 그러니까 서로 대화할 때 컴 채팅이 더 생각을 많이 하고 이야기 할 수 있다는 점에서 오히려 깊이있는 이야기가 나올 수 있지 않을까?

둘째, 비비에 쓰는 글들(채팅?)은 대부분 보통 글들보다는 퇴고를 덜 거친, 거친 글들이라는 점도 사실인거 같아요. 하지만 순간적인 생각을 글로 바꾸는 것은 개개의 글의 완성도는 떨어지지만 여러 사람이 빠르게 (말보다는 긴) 글을 교환하면서 사고의 협력이 이루어질 수 있다는 점에서 장점이 있다고 보입니다. 따라서 입채팅과 인쇄글의 중간 정도에서 장단점을 보완하는 방법이 아닐까요.

세째, 비비의 글들이 무질서해서 무질서도만 높이는 것이 아닌가 하고 생각되지만, 조금 길게 본다면 이 무질서는 당장은 보기 흉해도 아마 새로운 질서를 찾아나가는(꼭 기존 질서를 뒤엎는 것이 아닌) 과정이라고 생각돼요. 새로운 것을 발견하는 창의적 사고의 과정은 항상 무질서한 상태를 경험하고 이를 종합, 정리하는 과정을 가지는 것 같아요. 아마도 사람들이 만드는 무질서한 상태는 무언가 찾을 것이 있는데 아직 모르는 경우에 이 것을 찾기 위해서 마구 늘어놓은 것이라고 볼 수도 있지 않을까 하는 생각이네요. (사람들이 뭔가 찾을 새로운 것이 있다고 생각이 들 때, 기존의 것들(새로운 것을 설명하지 못하는)에 대해서 심리적으로 답답함을 느낀다고 보이는군요.)

쓸데없는 이야기입니다.

”’유상범”’ (파일) Infinite sum 형태의 Cauchy-Schwartz 부등식

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/Cauchy-Schwartz-inequality_cantoryoo.hwp

15일날 제가 잠깐 발표했던 내용을 정리한 것입니다.

파일이 올라와야겠지요?? 좀 기다려야 합니다.^^

”’김웅용”’ (파일) 생각한거랍니다.

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/kimungyong1017.hwp

”’구형운”’ 이렇게 생각해보면 어떨까요…

마지막에 m=3인 경우를 시도하였는데, 지난시간에 한 함수의 Holder부등식의 경우에 적용해보고 힌트를 얻을수 있지도 않을까 하는데… * 함수의 Holder 부등식을 이용한다함은 $ ∫(fgh) < [∫ f^3]^{1/3} [∫(gh)^{3/2}]^{2/3} <[∫ f^3]^{1/3}[∫ g^3]^{1/3}[∫ h^3]^{1/3} $ 각각 부등식에서 한번씩 Holder 부등식이용함.*

”’김웅용”’ (그냥) 저…

제 이름 영어는 Kim Woongyong 인데여… ^^;;

”’안창호”’ 두번째 젠슨부등식 부등호 바뀌었네요

f의 이계도함수의 부호가 음수일때가 그렇게 되는거고, f의 이계도함수의 부호가 양수일때는 반대로… 뭐 굳이 쓰자고 하면 x가 음수이면 되는데 -_-

”’김웅용”’ 하지만 구것만 잘못 썼을 뿐..

구 담부터는 또 제대로 쓰고 있지요? 저의 오타였을듯.. 내용상의 문제는 없어요.

”’유상범”’ 과연…그럴까??

음 잘 읽어 봤는뎅… 젠슨부등식에 관한 첫번째 얘기도 $ a_1,a_2 $ 가 모두 양수라는 전제조건이 필요할 것 같다. 그리고 중간에 산술기하 평균과 연결시키는 과정에서 $ a_i≤(a_i)^j $ 라는 것을 사용했는데 이것은 $ a_i≥ 1 $ 일 때만 가능한 방향이지 않은감!!!

”’유상범”’ H’o’lder 부등식의 등호조건과 몇가지 의문…

p,q=>1이고 (1/p)+(1/q)=1이며 |f|^{p}와 |g|^{q}가 각각 L^p, L^q에 속할 때 (|f|^{p}와 |g|^{q}가 리만적분가능한 경우로 축소시켜 생각해도 됨) int|fg|=(int|f|^{p})^{1/p}(int|g|^{q})^{1/q}일 충분조건은 a=(int|f|^{p})^{1/p} b=(int|g|^{q})^{1/q} 라 할 때, |(f/a)|^{p}=|(g/b)|^{q}가 됩니다.

H’o’lder 부등식을 증명하는 과정을 살펴보면

int|f/a|^{p}=int|f/b|^{p}=1 이고,

산술기하평균에 의해

(f/a) * (g/b) <=(1/p) (f/a) ^{p}+(1/q) (g/b) ^{q}이므로

int|(f/a)|*|(g/b)|<=(1/p)int|(f/a)|^{p}+(1/q)int|(g/b)|^{q}=1

이렇게 증명이 끝나죠…

여기서 |(f/a)|*|(g/b)|=(1/p)|(f/a)|^{p}+(1/q)|(g/b)|^{q}일 필요충분조건은 |(f/a)|^{p}=|(g/b)|^{q} 입니다.

따라서 |(f/a)|^{p}=|(g/b)|^{q}가 int|fg|=(int|f|^{p})^{1/p}(int|g|^{q})^{1/q}의 충분조건임은 분명합니다.

그렇다면 int|fg|=(int|f|^{p})^{1/p}(int|g|^{q})^{1/q}이면 |(f/a)|^{p}=|(g/b)|^{q}가 성립할까요??

만약에 성립한다면 int(|(f/a)|*|(g/b)| – [(1/p)|(f/a)|^{p}+(1/q)|(g/b)|^{q}])=0 일 때 |(f/a)|*|(g/b)| – [(1/p)|(f/a)|^{p}+(1/q)|(g/b)|^{q}]=0이라고 주장하는 것과 같은 말이 됩니다.

그러나 일반적으로 그렇진 않죠… 즉, int f = 0 이라고 해서 f=0이라고 말할 순 없다는 말입니다.

어떤 폐구간 [-1,1]에서 함수 f가 f(x)=0 if x is not 0 1 if x is 0 로 정의된다면 f는 리만적분가능합니다.

좀더 확장해서 얘기하면 M={x|f(x) is not 0}가 measure zero가 되는 함수 f가 M이외의 점에서 0일 때, int f = 0 (여기서 int는 르벡적분)이지만 f=0이 아닙니다.

하지만, f가 연속함수라면 int f = 0 일 때 f=0이 됩니다. 왜냐하면 만약 f=0이 아니라면 f가 연속이기 때문에 f=0이 아닌 개구간이 정의역에 존재하기 때문이죠… 이렇게 되면 int f = 0이 될 수 없습니다.(귀류법)

결론적으로 H’o’lder 부등식의 등호조건이 필요충분조건이 되기 위해서는 f와 g가 모두 연속함수이어야 한다는 것입니다.

여기서 의문이 제기되는데요, 과연 f와 g가 연속함수라는 것이 H’o’lder 부등식의 등호 조건이 필요충분조건이 되기 위한 최소의 조건일까 하는 것입니다. 또한 필요충분조건이 될 수 있는 다른 등호조건은 없는가도 생각해 볼 만합니다. 다같이 생각해봤으면 좋겠습니다.^^

”’안창호”’ 형의 말에 반박

상범형님 f가 연속이라도 int f = 0이 될 수 있어요 적분구간을 잘 잡으면… int (from 0 to pi) cos x = 0 이잖아요? 여기서 적분구간이 큰 역할을 하는 듯…

”’유상범”’ 형의 말에 반박

앗 나의 실수… 이렇게 바꿔야 겠군요!!!

f가 연속함수이고 적분구간에서 0이상의 함수값만을 취하거나 0이하의 함수값만을 취할 때 int f=0이면 f=0이 되는군요.

int(|(f/a)|*|(g/b)| – [(1/p)|(f/a)|^{p}+(1/q)|(g/b)|^{q}])=0 일 때 |(f/a)|*|(g/b)| – [(1/p)|(f/a)|^{p}+(1/q)|(g/b)|^{q}]<=0 이므로 (구간에 상관없이 항상 성립하므로) f와 g가 연속일 때, |(f/a)|*|(g/b)| – [(1/p)|(f/a)|^{p}+(1/q)|(g/b)|^{q}]=0 이라고 할 수 있겠습니다. 이제 되었나요??^^

”’유상범”’ 밑의 글에 딸린 제안…

연속함수 f에 대하여 다음과 같이 정의합시다.

p=>1일 때,

f =(int f ^{p})^{1/p}

(여기서 int는 리만적분) 그러면 norm의 세가지 조건을 모두 만족하게 됩니다.

그러나 f를 L^p에 속하는 함수라 하고 위와 똑같이 정의하면 norm의 세가지 조건 중 한가지가 깨집니다. 바로 positive definite 조건입니다. positive definite 조건은 |f|=0일 필요충분조건이 f=0 이라고 말합니다. 하지만 앞의 글에서 말했듯이 그렇지 않죠… 이렇게 positive definite 조건이 깨지면서 |f|=>0이 되 는 조건을 semipositive라 하는데요… 이런 조건은 norm뿐만 아니라 내적에서도 나오고, 그외에 여러가지 operator들을 정의할 때도 쓰이게 되는데…(선형대수에서의 operator) 제안입니다. positive definite와 semipositive 성질은 어 떠한 결과의 차이를 가져올까 하는 것입니다. 즉,positive definite 성질을 만족하지 않는 operator는 어떠한 것들이 있으며 positive definite 성질을 갖는 놈들과 어떠한 결과 의 차이를 가져올 것인가 하는 것입니다.^^

”’김영욱”’ 제안 <- 그것은…

semi positive(pseudo-norm)라는 것은 마치 같은 조건을 가진(우리 경우에는 적분에 대한 조건) 대상이 여럿 있을 때와 같은 것입니다. 즉

f – g = 0 이지만 ‘f not= g’

와 같은 경우이지요. 이러한 경우에 f와 g는 공간에서 같은 위치에 있지만 서로 다른(즉, f와 g는 서로 사이의 거리는 0 이지만 서로 다른) 두 대상입니다. 이러할 때, 위치상으로만 보면 f와 g는 같은 것(위치)을 두 이름(f, g)으로 부르는 것이나 진배 없으므로 같은 것이라고 봐 줄 수 있죠. 이렇게 같은 위치에 있는 것들을 서로 같은 것으로 동일시하면 위의 pseudo-norm은 norm이 되고 맙니다.

따라서 L^p 바나하 공간에서는 두 함수가 measure 0 인 집합 위에서만 서로 다를 때, 두 함수는 같다고 합니다. 기호로는 f = g (a.e.) 라고 쓰지요. 이 말은 적분으로 구별이 안되는 함수는 구별하지 말자는 뜻입니다. 적분론을 주축으로 하는 바나하공간론을 전개할 때 이와 같은 f, g는 구별할 필요가 없으니까요.

”’유상범”’ 제안 <- 그것은 …

아! 생각을 못했습니다. L^p공간이 적분으로 구별이 안되는 함수는 구별하지 말자는 관계로 equivalence class들을 전부다 모아놓은 것이군요.. 죄송^^

”’유상범”’ 40번 글도…

> 1/p+1/q=1 & p>0 ,q>0 이면 당연히 둘다 1보다 크죠… > > 생각해 보면 1/p+1/q=1이 간단한 식이지만 아주 많은 변형 > 형태가 나옵니다. 이렇게 많은 조작을 만들어내는 간단한 식이 또 있을 까 합니다. >

그렇군요… 제가 쓴 40번 글도 p,q>0 라고만 가정해도 되겠군요^^

”’안창호”’ p,q>1일텐데요 -_-;(냉무)

”’장상운”’ 상관없습니다

1/p+1/q=1 & p>0 ,q>0 이면 당연히 둘다 1보다 크죠…

생각해 보면 1/p+1/q=1이 간단한 식이지만 아주 많은 변형 형태가 나옵니다. 이렇게 많은 조작을 만들어내는 간단한 식이 또 있을 까 합니다.

”’유상범”’

42번 글에서 제기한 문제입니다.

p,q > 0이고 (1/p)+(1/q)=1이면

Sum |(a_n)(b_n)|<=(Sum |a_n|^{p})^{1/p}(Sum |b_n|^{q})^{1/q}

가 성립하는가? (단, Sum은 infinite sum)

Sum |a_n|^{p}과 Sum |b_n|^{q}이 수렴한다면 성립합니다. H’o’lder 부등식 증명 때와 매우 유사한 방법으로 증명될 수 있습니다.

(증명) Sum |a_n|^{p}과 Sum |b_n|^{q}이 수렴한다고 가정합니다.

a=(Sum |a_n|^{p})^{1/p} b=(Sum |b_n|^{q})^{1/q} 이라 놓으면,

Sum |a_n/a|^{p}=Sum |b_n/b|^{p}=1이 됩니다.

산술-기하평균 부등식에 의하여

a_n/a b_n/b <=(1/p) a_n/a ^{p}+(1/q) b_n/b ^{q} 이므로

양변에 infinite sum을 씌우면,

Sum |a_n/a|b_n/b|<=(1/p)Sum |a_n/a|^{p}+(1/q)Sum |b_n/b|^{q}=1

이 되는 것을 알 수 있습니다. 그러면 부등식은 증명된 것이죠…

또한 비교판정법에 의해 Sum |a_n/a|b_n/b|이 수렴하게 되고, 자연스럽게 Sum |(a_n)(b_n)|도 수렴합니다. (증명 끝)

그리고 등호가 성립하기 위한 필요충분조건은 |a_n/a|^{p}=|b_n/b|^{q} 입니다. 양수 수열의 infinite sum이 0이면 모든 항이 0이 되기 때문입니다.

”’이경일”’ 파일입니다.

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/from_chaos_to_self_organization.hwp

”’김웅용”’ 음……

상당히 깔끔하네요.. 특히 여지까지 한 부등식들 (그래도 꽤 중요하게 다루게 된 4가지의 부등식)을 정리한 것이 정말 눈에 띄어요. 내용도 별 무리가 없어 보이고요.

”강지원” 파일입니다.

정리한거 잘봤어염..*^^*

오빠가 제안하셨었던거는, 산술기하부등식을 우변의 부등식으로 나누어서 극한을 취한것이 1이상이라는 것 아니었나염??? 그러면 의미가 아주 달라져서 수열이 수렴,발산하는 것을 고려해 봐야한다고 선생님께서 말씀하신거 같아서, 저번 시간에 나름대로 열심히 수열이 수렴하는 조건을 찾아보려 했는데 너무 어렵더라구요,,, 그래서 예나 찾아보자하다가…섭이 끝났거든여. 저의 짧은 식견으로는 더이상 생각하기 어려워서…-.-; 음…궁금한디… 수업시간에 여러가지 할만한 제안이 많이나와서그런지 이부분에대해서는 글들이 없네요. 혹시 누구 해보신분 있으면 알려주세염..

그럼 주말 즐겁게 보내세요~~~

”’구형운”’ 38번 글과 관련이 있을 듯(냉무)

”’이경일” (답변)

이 글을 읽으시는 분은 예전에 제가 썼던 글과 함께 읽어 보시면 편할 듯… ^^

이미 n항까지의 수학적귀납법으로 증명이 끝났다는 사실이 자연수 농도에서 가장 일반화된 산술평균, 기하평균끼리의 부등식의 무한항 문제를 증명한거라고 말했습니다.

여기까지만 말하면 되는 거였습니다…!!

문제제기가 있었습니다. $ λ_1+λ_2+…+λ_n+…=1 $ 의 조건은?

-> 수학적귀납법에서 문제없이 이미 다룬 내용입니다.

여기서 양변의 n이 착착착 똑같은 속도로 늘어나면 납득이 가겠는데 그렇지 않다면 어떻게 될까하는 의문에(제 자신의 의문) 부등식의 우변을 나눈 것입니다. 또 제가 부등식의 우변을 나누기 위해 ‘큰변수’라는 개념을 설명했던 것이구요.

아무튼 우여곡절로 부등식의 우변을 나눈다 했을 때 1 보다 큰 좌변이 수렴하는 사실이 별루 중요하지 않아 보이네요…

”’유희정”’ 잘 봤어요!!! 그런데 옥의티?????

첨 글을 올리네요. 이제까지 나온 부등식을 알기 쉽게 잘 정리 하신것 같아 인쇄를 해서 봤거든요.

근데,생소한 부등식(민코우스키의 부등식)이 있어 한번 찿아 봤는데 민코우스키의 부등식의 우변의 연산이 곱이 아니라 합인것 같은데…… 아니면 제가 잘못 이해했나요!!!

제가 찿아본 내용은 헬더의 부등식에서 민코우스키 부등식을… 그럼 그과정을 간략하게 적어 볼께요.

헬더의 부등식

\[ sum{k=1}^{n}xkyk<= [sum{k=1}^{n}(xk)^p]^1/p*[sum{k=1}^{n}(yk)^q]^1/q \]

먼저, xk=ak, yk=(ak+bk)^(p-1) 대입 (p-1)q=p \[ sum{k=1}^{n}ak(ak+bk)^(p-1)<= [sum{k=1}^{n}(ak)^p]^(1/p)*[sum{k=1}^{n}(ak+bk)^p]^1/q \] …..<ㄱ>

이번엔 xk=bk, yk=(ak+bk)^(p-1) 대입 (p-1)q=p \[ sum{k=1}^{n}bk(ak+bk)^(p-1)<= [sum{k=1}^{n}(bk)^p]^(1/p)*[sum{k=1}^{n}(ak+bk)^p]^1/q \] …..<ㄴ>

<ㄱ>+<ㄴ>하면 우리가 바라던 \[ [sum{k=1}^{n}(ak+bk)^p]^(1/p)<= [sum{k=1}^{n}(ak)^p]^(1/p)+[sum{k=1}^{n}(bk)^p]^(1/p) \] 민코우스키의 부등식을 얻는다.

특히 p=2일때 x=(a1,a2,…,an) y=(b1,b2,….,bn) ㅣㅣx+yㅣㅣ<=ㅣㅣxㅣ+ㅣyㅣㅣ….삼각부등식

결국 산술기하평균의 일반화가 젠센의 부등식 코시 슈바르츠 부등식의 일반화가 횔더의 부등식이듯 삼각부등식을 일반화한것이 민코우스키의 부등식인것 같다.

수식이 넘 복잡해서 보기 힘드셨죠. 남은 주말 잘 보내구 월요일날 뵐께요.

”’이경일”’ 쓸데 없지 않은 답답함에 대해…

수학을 하면서의 답답함으로 complex를 느끼게 되고, 심지어는 열등감까지 느낄 수 있었다고 생각합니다. ‘수학’을 하면서 말입니다. 이것은 수학적 지식은 삶으로 환원되지 못한다는 이야기가 될 수 있습니다. 그렇다고 수학을 하는 것이 정당성을 가지지 못할 만큼 아름답지 못한 일이라고 생각지는 않습니다. 꼼꼼히 치밀하게 정확한 출전을 대가면서, 문제도 해결하면서, diagram도 그려가면서 얻은 수학적 지식을 멋지게 버릴 문제입니다. 돈을 벌어서 멋지게 사회에 환원하듯이 이것(수학적 지식)으로 세상을 설명할 수 없다라고 말하면서(선언하면서) 멋지게 버리는 것입니다.

주제를 좁혀 좀 넓게 생각해 보겠습니다. 수학이 인문학이 될 수 있느냐는 문제를 생각하게 됩니다. 인문학의 본질이 무엇이라고 말할 수 있을까요. 인문학의 본질은 삶으로의 환원(reduction)이라고 생각합니다. 음… 철저하게 이런 학문을 생각했던 곳이 동양(eastern)이었고, 수학과 과학으로 인한 기술적인 발전이 문명의 발전이냐 아니냐는 하나의 paradoxical한 문제를 떠안아 온 곳이 서양(western)이라고 말한다면, 늘 기술발전에 많은 부분에 해답을 주는데, 부작용에 늘 해결책을 내는데 당당한 수학은 항상 이러한 paradoxical한 문제 앞에서만큼은 늘 초라함이 있어 보입니다. 이런 초라함은 수학이 어떠한 학문이다는 걸 설명할 수 있을 듯 싶습니다. 수학은 철저히 인간의 학문이라고 생각합니다. 인간을 위한 학문이 아니라, 인간이 만든, 인간만이 가진, 인간만이 이해하는 학문이라는 말입니다. 물론 어떤 면에서는 인간을 위한 학문일 수도 있겠지요. 삶을 영위하는 데 필요한 기술적인 측면에서 과학이 톡톡히 도움이 되고 있는 현실 앞에서 말입니다. 헌데 문제는 이것이 인간을 위하는 측면이 꼭 인간을 위하는 면으로면 세상이 돌아가지 않는다는데 있습니다. 넓게 자연(自然)을 생각할 때 인간만을 위함이 어떠한 큰 재앙으로 인간에게 돌아올지 모른다는데 있다는 것입니다.

삶으로의 환원 운운했던 것은 보편화(naive universalization)를, 수학이 철저히 인간의 학문이라고 생각한다고 말했던 것은 일반화(axiomatic generalization)를 거쳤던 것입니다. 모두 답답하기만 합니다.

하지만 수학을 생각하고 계신 거의 모든 분들 신의 영역에서 수학을 가지고 멋지게 운용하고만 있는 것 같지만, 삶의 문제에는 늘 인간인 반사회적이지 않은 socialists 라는 믿음이 있습니다. (믿음은 경험과 관련이 많습니다.) 다시 말하면 수학으로 세상을 설명할 수 없다는 믿음이 있다는 말입니다…

* 주제를 아주 아주 좁혀 생각해보는 것 새삼 수학을 아름답게 하는 (심미적 aesthetic 인 감정을 불러일으키는) 어떤 힘이 느껴진다라고 말하고 싶습니다. 비단 수학뿐 아니라 과학도 마찬가지구요. 물리과 수업에서 발표주제를 정할 때 ‘열이란 무엇인가’를 정했다가 호되게 꾸중를 들었던 기억이 있습니다. 제가 요즘 주제를 아주 아주 좁혀 생각해보는 것에 대한 어떤 매력을 느끼고 있다고나 할까요? ^^

”’김영욱”’ 쓸데없지 않은 답답함에 대해… 에 대해…

음 어려운 글이군요. 무슨 말인지 통…

그냥 느낌만으로 글을 씁니다. 내 생각에 동양이나 서양이나 사람들이 원하는 것은 모두 한가지라는 생각이 듭니다. 방법론이 다르고 가치관이 다르고 해서 여러 가지로 달리 보이기는 하지만…

사람들은 근본적으로 자신이 왜 존재하는가, 무었을 왜 하여야 하는가, 와 같은 물음에 답하고 싶어합니다. 그러나 사실 이와 같은 무작정의 질문은 궁극적인 답을 갖고 있지 않습니다.(적어도 언어로 된 답은 없지요) 여기서 동서양의 방법론의 차이가 나타납니다.

동양에서는 언어를 써서 해결이 안된다는 것을 알고 언어를 쓰지 않는 방법을 모색했습니다. 매우 형이상학적으로 그리고 비유적으로 깨달음(?)에 대하여 말하는 것 같습니다. 이러한 방법은 수학, 과학과 같은 (언어적) 엄밀성(?), 정확성은 없지요.

서양에서는 엄밀성을 버릴 수 없다는 생각에서 궁극의 답에 갈 수 없어도 알 수 있는데 까지만이라도 알아보자 라는식의 태도를 견지하는 것 같아요. 그래서 전제가 없는 (철학적)질문에 답하려는 것을 포기하고 전제가 있는 물음(수학적 물음)에만 답하되 전제를 최소한으로 줄여보려는 노력을 해 왔다고 봅니다.

이 두 방법은, 하나는 위에서 시작해서 아래로 내려오고 다른 하나는 밑에서 시작해서 위로 올라가는 방법이며 이 둘은 영원히 만나지 못하는 것이라고 생각됩니다.

그럼 수학은 얼마나 paradox에 약한가? 수학이 특별히 paradox에 약하다고 생각하지는 않아요. 수학에서 잘 이야기하는 paradox들은 아마도 모두(?) 언어가 가지고 있는 paradox라고 생각해요. 우리가 쓰는 언어가 후져서 paradox가 생기는 것이기 보다는 언어를 사용한다면 항상 마주칠 수 밖에 없는 것이라고 생각돼요. 그럼 왜 수학에서만? 그건 다른 학문은 그런 부분을 별로 신경쓰지 못하기 때문인 것 같아요. 그런 delicate한 부분까지 가기도 전에도 해결할 문제가 산더미 같아서 그런 부분이 중요한지도 잘 모르고 있는 것 같고, 그래서 수학만이 paradox를 가지고 끙끙대는 것 처럼 보이는군요.

한편 인간을 위한 수학이 인간에게 해가 될 수도 있지 않겠는가 하는 점에 대해서는 물론 yes라고 생각해요. 그러나 이 것은 수학이나 과학이나 서양 학문 만이 그런 것은 아닐거예요. 학문이 인간을 위해서 연구된다고 하더라도, 사람들이 알게 된 학문 자체에는 선도 악도 없고 가치 중립적인 사실들만 있지요. 선악은 그것을 쓰는 사람들에게서 나오지 학문 자체에 있지 않다는 거지요. 그래서 좁은 시각에서 인간만을 위한다는 것은 거시적으로는 얼마든지 인간을 위하는 것이 아닐 수 있고, 정말로 인간을 위하려면 자연 안에서 인간의 위치를 이해하고 조화를 이루는 것이 아니면 안될꺼예요. 그렇지만 이 말이 구체적으로 무얼 말하는가는 아마 아무도 모르겠지요. 학문은 (수학도) 이것을 잘 알고자 해서 공부하는 것이라고 생각합니다.

그러니까 단순히 문제를 잘 풀자 하는 것은 좁은 수학만으로는 매우 훌륭한 것이지만 인문학적인 관점에서는 별로 아닐 수 밖에 없지요.

그러나 인문학으로서 수학을 생각하면 아마도 수리 철학을 보지 않을 수 없을것이고, 이럴 때는 아마 서양 학문의 거의 전부를 수학이라고 부르지 않을 수 없다고 봅니다. 수학 물리학 등은 물론 경제학, 경영학, 언어학, 사회학 등의 모든 것은 각각의 특징적인 방법론이 있지만, 구체적인 사례와 개념들을 벗기면 이들 사이의 관계 규명은 결국 논리와 수학(사고방법)으로 귀결된다고 느껴져요. 이것이 요사이 서양의 모든 학문이 수학과 통계학의 방법을 도입하는 이유라고 생각됩니다.

따라서 학문을 인간에게 해 되지 안고 유익하게 사용하는 것까지 내가 해결해야겠다면 모든 학문을 다 알거나 하지 않으면 불가능하겠지요. 이게 안돼서 답답하다면 당연한 답답함이지만 아마도 해결책은 없을지도… 신이 아닌이상 이 모든 것을 다 알고 해결할 수는 없지 않을까…

그러나 서양 사람들은 이러한 문제에 대하여 조금은 덜 절실한 것 같아요. 민주사회의 기본이념인 ‘서로 믿고 각자 맡은 역할을 충실히 해서 좋은 사회를 만들자’를 추구한다면, 어떤 사람은 사회학을 공부하고 어떤 사람은 수학을 공부해서 필요할 때 서로 도우면 된다 는 것이 서양사람들의 생각이라고 보입니다. 돈버는 방법도 잘 알고 공부도 잘 하고 등등 만능박사가 아니면 살아남을 수 없는 세상이라고는 생각하지 않는 것이지요.(예를 들어 미국 사회가 요사이 이렇게 돌아간다고 보지는 않지만 미국에 있는 동안 느낀 것은 그곳의 보통 사람들은 이런 단순한 생각만으로 잘 살고 있다는 것입니다.)

정말 두서가 없군요. 이 글은 부등식과 별반 관계가 없는 것 같아서 여기다 오래 둘지 잘 모르겠네요.

”’이경일”’ 좋은 글 감사합니다.

우선 교수님이 쓰신 글 제가 보기에도 편할 만큼 쉽고 잘 이해할 수 있게 쓰셨습니다. 제가 쓴 글에 대해서 ‘무슨 말인지 통’ 이란 말에 꼭 KO 얻어먹은 듯한 느낌입니다. ^^ 이런 글이 저의 구조조정 대상 최우선 순위입니다. 자기부정(self-denial) 대상 1호란 말이지요.

저는 늘 모르는 것이 나오면 늘 밑줄 치고 항상 머리에 담아두는 습성, 늘 언어로 된 것들은 삶을 반추(되새김질)해봤을 때 늘 하나의 방편일 수밖에 없다는 믿음으로 공부를 합니다. 또 단순하게 살고 싶기도 합니다…

한가지 제가 통 무슨 말을 썼는지 못 알아먹게 써서 그랬던 것 같은데, 수학이 paradox에 약하다는 것이 아니라 초라하다는 말이었습니다. 교수님이 수학이 paradox에 약하다고 받아드리셨기에 우문현답이 된 것 같은 느낌입니다. ^^; 제가 늘 수학에 초라함을 갖고 있듯이 수학도 언어가 느끼는 paradox에 초라함을 가지고 있다는 말이었습니다.

교수님이 말씀하셨던 ‘단순한 생각’ 서양 사람들의 심리학적 해결과 밀접한 관계가 있는 것 같습니다. 인간관계를 생각할 때 복잡하게 관념적으로 미로를 그려가며 한 인간을 바라본다면 해결하는 것도 만만치 않을 것입니다. 이러한 사실을 공감하면서 심리학적인 해결책으로, 삶의 지표로까지 삼으면서 사는 듯 보이니까요.

아직 삶의 경험이 부족한 저에게 큰 경험을 안긴 것 같은 글 감사합니다.

초심으로 돌아가서 모두들 즐통~~

”’유상범”’ (파일) Jesen 부등식으로부터 유도된 새로운 부등식들

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/sangbum1.hwp

웅용이가 39번 글에서 제안했던 문제에 대한 글입니다. 곧 up!!!

”’유상범”’ $ a^{n-k}b^{k}+a^{k}b^{n-k}≤ a^{n}+b^{n} $

어제 김웅용군과 이강영군이 정성을 들여 증명한 내용인데 요… 가만히 살펴보니 산술기하평균으로 아주 간단하게 해 결될 수 있더군요…

a와 b가 양수일 때

$ a^{(n-k)/n}b^{k/n} ≤ {(n-k)/n}a + {k/n}b = a $

$ a^{k/n}b^{(n-k)/n} ≤ {k/n}a + {(n-k)/n}b = b $

양변을 n제곱하면,

$ a^{n-k}b^{k}≤ a^{n}$ $ a^{k}b^{n-k}≤ b^{n}$

그래서 좌변과 우변끼리 더하면 됩니다.

물론 등호의 필요충분조건은 a=b가 됩니다.

여기서 좀 더 일반화하면

임의의 양의 실수 p,q에 대하여 $ a^{p}b^{q}+a^{q}b^{p}≤ a^{p+q}+b^{p+q} $

이것도 위와 똑같은 방법으로 증명할 수 있습니다.

”’김영욱”’

> 어제 김웅용군과 이강영군이 정성을 들여 증명한 내용인데 

요... 가만히 살펴보니 산술기하평균으로 아주 간단하게 해
결될 수 있더군요...

a와 b가 양수일 때

a^{(n-k)/n}b^{k/n} <= {(n-k)/n}a + {k/n}b = a

a^{k/n}b^{(n-k)/n} <= {k/n}a + {(n-k)/n}b = b

요기가 좀 이상하군요. 위 식의 오른쪽 등호가…??? 설명을 좀 더 해줘요. 어쩌면 그러지 말고 시작부터 a 대신 a^n으로 시작하면 될래나?

”’김웅용”’ 네..

넹.. 되네요..

”’유상범”’ 그렇군요… 저의 실수… 이렇게 하면…

a와 b가 양수일 때,

$ a^{(n-k)/n}b^{k/n} ≤ {(n-k)/n}a + {k/n}b $

$ a^{k/n}b^{(n-k)/n} ≤ {k/n}a + {(n-k)/n}b $

이니까

$ a^{n-k}b^{k} ≤ ({(n-k)/n}a + {k/n}b)^{n} $

$ a^{k}b^{n-k} ≤ ({k/n}a + {(n-k)/n}b)^{n} $

여기서 젠센 부등식을 사용하면 $ ({(n-k)/n}a + {k/n}b)^{n} ≤ {(n-k)/n}a^{n} + {k/n}b^{n} $

$ ({k/n}a + {(n-k)/n}b)^{n} ≤ {k/n}a^{n} + {(n-k)/n}b^{n} $

따라서

$ a^{n-k}b^{k} <= {(n-k)/n}a^{n} + {k/n}b^{n} $

$ a^{k}b^{n-k} ≤ {k/n}a^{n} + {(n-k)/n}b^{n} $

좌변과 우변끼리 더하면

$ a^{n-k}b^{k}+a^{k}b^{n-k} ≤ a^{n}+b^{n} $

입니다…

”’김웅용”’ 엥??

왜 그렇게 어렵게하죠? 김영욱 교수님께서 말씀하신것같이 그냥 산술기하를 a^n , b^n 으로 놓고 하면 되던데여?

”’유상범”’ 엥??

함 보여주게나^^ 투명하게 합시다…

”’김웅용”’ 에게게????

보여달라니요? 이상하넹..

$ (a^n)^{(n-k)/n)} (b^n)^{k/n} ≤ {(n-k)/n}(a^n) + {k/n}(b^n) $

$ (a^n)^{k/n)} (b^n)^{(n-k)/n} ≤ {k/n}(a^n) + {(n-k)/n}(b^n) $

이고, 양변을 더하면

$ (a^(n-k))(b^k) + (a^k)(b^(n-k)) ≤ (a^n) + (b^n) $

이 되자나여… 등호일 때는 a^n = b^n 일 때고..

(제가 틀렸나요?? 어리둥절..)

”’유상범”’ 난!!

젠센부등식을 쓰는 바람에

$ a^{p}b^{q}+a^{q}b^{p}≤ a^{p+q}+b^{p+q} $

의 반례가 있는 것으로 생각했다. 0<1인 경우에는 내 방식으론 증명이 되질 않으니까… 아뭏튼 simple하고 보기 좋게 증명이 되었군…^^

”’유상범”’

f(x)=x^t (t는 양의 실수)라 할 때, 이것이 x=>0에서 convex 또는 선형이 되기 위해서는 f”(x)=t(t-1)x^{t-2}=>0이어야 합니다. 그러기 위해서는 t(t-1)=>0 즉 t=>1이어야 합니다.

결국 위의 사실도 증명되기 위해서는 p+q=>1라는 조건이 추가되어야 합니다.

”’김웅용”’ 유한개의 코시-슈바르츠 부등식은 특수한 산술기하부등식에 불과하다!

먼저 산술기하부등식을 다시 생각해보자.(두개짜리만) 임의의 두 양수 x,y에 대해 x+y >= 2rt(xy) 가 되는 것이지만, 임의의 두 실수 x,y로 확장한다해도 x^2 + y^2 >= 2xy 로 표시할 수 있다. 이것은 다시 정리하면 쉽게 (x-y)^2 >= 0 이 된다. 즉, 이 꼴을 산술기하부등식의 두 개짜리로 보아도 큰 문제가 없다.

이제 n개의 코시-슈바르츠 부등식을 살펴보자.

( {a_1}^2 + … + {a_n}^2 )( {b_1}^2 + … + {b_n}^2 ) – ( {a_1}{b_1} + … + {a_n}{b_n} )^2 = SUM_{i != j} {{a_i}^2 {b_j}^2} – 2*SUM_{i != j} {a_i}{b_i}{a_j}{b_j} = SUM_{i != j} ( {a_i}{b_j} – {b_i}{a_j} )^2 = SUM_{i != j} ( {a_i}/{a_j} – {b_i}/{b_j} )^2 >= 0

(단 i != j 란 뜻은 i가 j가 아니다 라는 뜻이다. 또, SUM은 시그마를 뜻한다.)

위에서 당연히 a_i들과 b_i들이 모두 0이 아니라는 조건이 필요하다. 먼저 이 조건을 달고 산술기하부등식의 x항 대신 {a_i}/{a_j}를, y항 대신에 {b_i}/{b_j}를 넣어서 코시-슈바르츠 부등식을 만들어 냈다고 볼 수 있다. 그런 후 나중에 0을 따로 생각해봤더니 그것도 만족이 되어서 범위를 확장했다고 볼 수 있다. 즉, 기본적으로 코시-슈바르츠 부등식은 산술기하 부등식의 두개짜리를 특수하게 적용한 것에 불과하다…

”’지정민”’ (궁금해서여)

음 우선 제가 수업시간에 틀렸던 A(n)=1/n{a(1)+…+a(n)}이 A루 수렴 할때, B(n)={b(1)*…b(n)}^1/n 이 수렴 하느냐 하는 문제 에서여… prove하는 게 아니라 counter example 을 찾을 때는 A(n)의 n 개 항을 (사실은 무한개의 항)을 fix 시켜 놓고 생각해두 되는 거 아닌 가여?? 그러면 우리가 일반 적으루 사용하는 급수에 관한 theorem들을 사용할 수 있을 거 같은 데여….

흠 그러니깐, 무한개의 a(i)들 중에서 유한개 만큼은 [1,…]인 구간에서 뽑고 나머지는 (0,1)인 구간에서 뽑으면, 또 그렇게 뽑은 a(i)의 급수가 수렴 하는 한 개만 찾아내면, B(n)에 대해서는 ln{B(n)}을 다시 급수로 생각해서, 일반 적으로 사용되는 급수의 수렴 조건(입실론 델티)를 따져보면 (0,1) 사이에 뽑은 a(i)들은 ln{a(i)}가 bounded 하지 않으니깐 ln{B(n)}이 수렴 하지 않음을 보일 수 있을 것 같은 데여 또 그럼 B(n)은 수렴하지 않구…. 그러니깐 앞에서 말한 조건을 만족하는 수열 A(n)만 찾으면 그게 counter example이 되는 거 아닌가여??

흠 다른과목 공부하다가 잠시 생각해 본거라 두서가 없습니다. 죄송합니다(–)(__) 그래두 잊어버리기 전에 써놓는 게 정리두 되구 좋을 거 같아서 이렇게 올립니다 근데 수식 쓰기 정말 어렵네여 흑흑 그럼 다들 시험 잘 보시구여 그럼 이만^^

”’김영욱”’

우선 몇 가지 정리를 해 둘께요.

그 명제에서 a(n)들은 물론 fix 되는 겁니다.

그러나 문제는, 급수로 볼 때의 각 항은 a(n)이 아니라 a(n)/n이고 이 것은 변한다는 거지요.

그리고 또 하나 ln B(n) 이 수렴하지 않고 – infty 로 발산하는 것은 B(n)이 0으로 수렴하는 때 이니까 조심해야겠지요. 어쩜 ln B(n) 이 진동 발산하거나 하는 경우를 찾아야겠지요.

”’유희정”’ 파일입니당. (강의요약)

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/yooheejeong_1022.pdf

”’김웅용”’ 우와!!!

게시판에 쓴 것은 물론이고 한글로 친 파일보다도 훠얼씬 보기 좋군요.

앞으로 이렇게 계속 올렸으면 좋겠다 ^^;;

(그런데 이렇게 올리려면.. 스캐너가 있어야 되는건가요?)

”’구형운”’ 그랬군여.

섭을 빼먹어서 뭔 일이 일어 났나 했었는데 잘 봤슴다.

”’이강영”’ 흠.. 오늘

구형운 교수님 정말 잘먹었습니다.. 감사의 인사도 제대로 못드려 지송하구여^^ 그럼…

”’김영욱”’ 흠..오늘 < 뭘?

나 없는 틈에 뭘 먹었나요?

”’김웅용”’ 해석학시간에 먹은 것을 말하는듯..

저두 잘먹었습니다. 인사가 늦어서 지성 ^^

”’최재희”’ 저두…

제가 제일 신나게 늦게까지 먹었던 것 같습니다 ^^

앗..김영욱 교수님..저희 피자 먹었어요!!

저는 저번 학기때 일문과 수업을 들었었는데요 그 때 학회 행사가 끝나고 일문과 교수님과 학생들과 뒤풀이겸 술자리가 있었거든요… 어린애 같은 생각일지 모르겟는데 그때 일문과 애들이 교수님과의 거리가 아주 가까워 보여 정말 부러웠었는데요..

이번학기 해석학 특강을 들으면서..으음~ ^^ 일문과가 하나도 안부럽다는 생각이 들었어요..후후~

”’강지원”’ 저두…

그때 저두 옆에서 먹고 있었어염…-.-; 최윤서 교수님 오셨을때까정… 헉스~ 어찌나 민망하던지요 ^^

구형운 교수님… 정말 잘먹었어염… 어제는 정말 제대로 인사도 못드렸네염~~~ (–)(__) 꾸벅,,,

”’구형운”’ (문제) -첫째-

다음항은 지난번등의 수업시간 내용중에서 등장한 것임.

A_n = (a_1 + a_2 + … + a_n)/n

B_n = (a_1 a_2 … a_n)^{1/n}

우리는 A_n 이 수렴하면 B_n 이 수렴할까 하는 질문에 대한 토론을 하였는데….

이번의 문제는 다음에 대하여 생각 해보고자함:

Sn = (A_1)^p + (A_2)^p + … + (A_n)^p

Tn = (a_1)^p + (a_2)^p + … + (a_n)^p

(문제) Sn 과 Tn 은 비교 가능한가?

”’구형운”’ (힌트)

p>1 이고 C= p/(p-1) 이라고 하자. 그러면

” Sn < C^p Tn ”

이것은 Hardy 부등식. 이에 대응하는 적분 부등식은 무었일까요?

-위부등식의 한가지 증명에서 다음이 중요합니다.

” (A_n)^p -C (A_n)^{p-1} (a_n) < [ (n-1)(A_{n-1})^p – n (A_n)^p ]/(p-1) ”

-그다음은 이를 응용하고 Holder 부등식을 써보세여.

”’유상범”’ 무한 산술-기하 부등식의 수렴에 관하여

파일 첨부합니다.

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/yoosb_inf_alg_geo.hwp

”’구형운”’ (문제)-두번째-

이번에는 Holder부등식에 관한 것입니다.

[ (A11 + A12 + …+ A1n)^p

  • (A21 + A22 + …+ A2n)^p
  • … +(An1 + An2 + … + Ann)^p ]^{1/p}

< [ A11^p + A21^p + … + An1^p ]^{1/p}

  • [A12^p + A22^p + … + An2^p ]^{1/p}
  • … + [A1n^p + A2n^p + … + Ann^p]^{1/p}

임을 보이고 이에 대응하는 적분모양의 부등식을 유추하여라.

”’유상범”’ 무한 산술-기하 부등식의 수렴에 관하여 II

증명의 iii), iv)가 완성되었습니다. 잘못된 점이 있으면 지적해주세여^^… (파일첨부)

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/yoosb_inf_alg_geo2.hwp

”’구형운”’ 이런경우는?

다음을 만족하는 양의 수열 {a_n} 을 생각해봅시다: 임의의 주어진 양수 x 에 대응하는 a_n의 부분수열이 존재한다.(이런수열이 있기는 한가요?)

이 경우도 증명에 포함되어 있나요?

”’유상범”’ 이런경우는?

제 생각에는 그런 수열이 존재하지 않을 것 같아요… 그런 수열이 존재한다면 모든 양의 실수의 집합이 countable set이 될테니까요…^^

”’구형운”’ 수열

유리수={ q_1, q_2, q_3,…..} 수열 {a_n}이 다음과 같으면, a_1=q_1 a_2=q_2 a_3=q_1 a_4=q_2 a_5=q_3 a_6=q_1 a_7=q_2 a_8=q_3 a_9=q_4 …….. 이수열은 임의의 유리수를 무한번 지나가는 수열이다. 무리수는 유리수의 극한으로 표시되므로 {a_n}의 부분수열의 극한으로 표시가능하다.(물론 a_n이 무리수 r에 충분히 가깝게는 할수 있지만 a_n자체는 유리수임)

또한 countable에 관한 이야기를 보면, 위 수열의 부분수열 집합은 uncountable 이다.

”’구형운”’ 참고

주어진 명제가 항상 참인 것은 아님.

0< a_n <1 라고 하면

  1. 급수 “lambda_n a_n” 은 수렴.
  2. 급수 “lambda_n log(a_n)” 이 -1과 -2로 진동하게 a_n 을 조정한다.

그러면 기하평균 쪽은 1/e 와 1/e^2 로 진동한다.

따라서 명제가 성립하는 적당한 조건을 찿는 것이 옳을듯.

”’지정민”’ (질문)교수님 제 메일 못 받으셨나요?? (파일) 덛붙임

김영욱 교수님 제가 금요일에 강의 요약 한 화일을 메일로 보냈는 데 못 받으셨나요?? 어제 새벽에두 다시 두번 더 보냈는데요 흠 못받으신 거 같아서 걱정이 되네요 다시 한번 더 보내겠습니다. 뭐가 잘 못 된 건지 잘 모르겠네여T.T

1.jpg 2.jpg 3.jpg 4.jpg 5.jpg 6.jpg 7.jpg 8.jpg view_submsg.jpg

”’김영욱”’ (질문) 교수님 제 메일 못 받으셨나요??

금요일 파일은 안왔지만요… 그 다음 것들은 잘 왔어요. 아직 올리지는 않았는데…

근데 지난번에 scan한 파일들을 pdf로 묶은 것 어떻게 한거예요? 이번에 지정민이 파일은 여러개의 jpg 파일인데 그냥 올리기는 좀 난삽해서리…

그럼 좋은 조언 부탁해여~~~

”’지정민”’

전부 9개의 page입니다. 음 Q라구 써서 문제 시작하는 부분이 page의 시작이구여, 또 동그라미 1,2 하는 부분두 TO PAGE의 시작입니다. 하나의 화일로 묶지는 않았는데요

”’이강영”’ 저어…

안녕하세요..글이계속없군여..음.. 선대2섭듣는분들많던데.. 다들잘보셨는지모르겠네요… 셤때문인지글이없긴했지만.. 음.. 암턴이제와서궁금한건..낼은머에대해서 얘기하는건지..음혹아시는분있음알려주세요.. 그냥저번처럼하게되는건지….

ps전셤끝나고무리한운동으로인한휴유증으로하루종일집에서 빌빌거리고있답니다다덜몸조심!!

”’김영욱”’ (문제) 새로 UPDATED -> 이런거 해보죠 뭐^^

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/ineq01.pdf

version 2K1.1112 입니다.

”’안창호”’ 강의요약 파일

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/Let_anchangho.pdf

”’장상운”’ 수학경시대회 부등식문지

수열{a_k}이 서로 다른 양의 정수일 때, a_1/1 + … +a_n/n^2 >= 1/1 + … +1/n 이 성립한다.

증명) min{a_1/1 + … a_n/n^2}=b_1/1 …+b_n/n^2 이다. 여기서 수열 {b_k}는 {a_k}를 b_1< b_2 .. < b_n 이 되도록 재배열한 것이다. -—(1) 수열 {a_k}는 서로 다른 양의 정수이므로 1<= b_1<…< b_n 이다. 따라서 b_k >= k 이다

a_1/1 + … +a_n/n^2 >= b_1/1 + … + b_n/n^2 >= 1/1^2 + … + n/n^2 = 1/1 + … + 1/n (1)부분을 전 직관적으로 전개했는데 구형운 교수님께서 정확히 증명하라고 하셨습니다. 그래서 induction을 이용해 봤습니다.단,수열{a_k}이 서로 다른 양의 정수라는 조건에서 합니다. n=2인 경우는 자명합니다. n=k-1 일 때에도 참이라고 가정합니다. 수열 {b_k}는 {a_k}를 b_1< b_2 .. < b_k 이 되도록 재배열한 것이라고 가정합시다. min{a_1/1 + … a_k/k^2} = min{a_1/1…+a_(k-1)/(k-1)^2} + min{a_k/k^2} —(2) = min{a_1/1+…+a_(k-1)/(k-1)^2} + b_k/k^2 = b_1/1+…+b_(k-1)/(k-1)^2 + b_k/k^2 —(3)

(2)부분은 모든 term들이 양수이기 때문이고 (3)부분은 induction의 가정때문입니다.

”’구형운”’ 이부분이…

—(2) 부분의 등식이 좀 이해가 안가는데… 우선 거기에서

  1. min{….}의 의미가 무엇인지.
  2. 일반적으로 min{A+B+C+D}> min{A+B} + min{C+D} 등으로

되는데(물론 무엇의 min{…}이냐에 따라 다르지만)… 여기에 관한 보충설명을 해주던지 아니면 증명을 수정해주던지 해야는 게 아닌가 싶네요.

”’안다니엘”’ 안녕하세요.

92학번 안다니엘입니다. 우연히 김영욱교수님 홈페이지에 들렀다가 알게되었습니다. 좋은 게시판이군요.

전 여기 스토니브룩에서 잘 지내고 있습니다. 가끔 들러서 문제 내봐도 될까요?

”’유상범”’ 안녕하세요

잘 지내구 계시는군요…^^ 안그래두 한동안 새로운 문제가 없어서 목이 말랐거든요… 그래 주신다면 고마울 따름입니다…

”’김웅용”’ 그간 바쁜 관계로.. ㅜㅜ

컴터 틀 시간이 없었습니다. 지성 어쨌든 오랫만에 들어와보니까 다니엘 형이 오셨었군요. 스토니부룩? 인가 구거 뭐죠? ㅡㅡ; 설명해주세요 ^^

아 글구 문제 (정말 이상하게도) 의외로 안풀리더군요.. 삼각형에 관계된 문제만 건드리고 있는데 (다른 문제도 좀 풀어볼까나..)

아.. 글구 상범이형 문제가 없다니요.. 프린트에 철철철 넘쳐나는구만 ^^

”’김영욱”’ 안녕하세요.

게시판이 잠시 조용한 틈에 다니엘이 왔다 갔군요. 심심치 않게 문제두 내 주면 좋고, 또 스토니.. 에서 생활도 이야기해주면 후배들에게 활력소가 되겠네요.

그럼 공부 잘하고…(!) 뉴욕이니 몸조심하고…(비행기 타구 돌아다니지 말고^^) 이 게시판 닫아두 다른 게시판 열테니까 자주 놀러 와요. — ”’김영욱”’ (문제) 생각할 점 하나

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/nb03.pdf

”’이경일”’ 파일 올려줌니다.

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/AnQ_leekyungil.hwp

”’배윤한”’ 파일 강의요약입니다.

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/lecture_1112.pdf

”’이종혁”’ 파일 강의요약입니당

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/lecture(11_19).hwp

”’이경일”’ 64, 65 번 파일 다운이 안되는데요~

왜 안될까~?? ^^

”’이강영”’ 잘됩니다…음..내용에 있는거 말구 download에 있는걸 클릭해보시면 될것 같은디..

”’이종혁”’ 그것도 잘 안되는디…64, 65

내용에 있는 거나 다운로드 하는데 있는거나 다 안되네여…

”’지정밀”’ 음 저두 안되는 걸요-_-;;

볼수가 없어용

”’김웅용”’ (파일) 다시한번

지난 시간 최윤서교수님께서 말씀하신 문제를 나름대로 일반화해본 것입니다. 아직 완벽하게 일반화하지는 못했지만, 다음시간에는 구형운교수님께서 제시해주신 문제를 생각해 볼 것이니, 최윤서교수님 문제를 생각하지 못할 거 같아 여기까지만 올립니다.

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/note_kimuy_02.hwp

”’임진종”’ [파일] 1126 수업 요약입니다.

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/lecture_1129.zip

”’김웅용”’ 사각형의 Steiner Symm에 대하여

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/phantasia03.hwp

”’구형운”’ Mathematica로 한번 그렸으면…

f(t)를 Mathematica나 MathLab등으로 한번 그려봤으면 좋겠네요. Mathematica나 MathLab 사용할줄 아는 사람 없나여? 수학과 실습실에 Mathematica가 깔려있는것으로 알고 있는데…

”’김영욱”’ 여기여

http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/symm_rectangle.hwp

> f(t)를 Mathematica나 MathLab등으로 한번 그려봤으면 >: 좋겠네요. Mathematica나 MathLab 사용할줄 아는 사람 >: 없나여? 수학과 실습실에 Mathematica가 깔려있는것으로 >: 알고 있는데…

”’김웅용”’ 그림을 보고 나니..

각도는 맞았는데, 최대값은 다르군요. 아마 제가 2배를 안했나보네요..

(정확히 계산했다고 생각했는데)

”’김웅용”’ 잉~ 이런…

채팅에서나 사용하는 아이디인 “판타지아”로 김영욱교수님께 메일을 보냈었나봐요.. 죄송합니다. 이메일 보낼 때 본인 이름을 확인하고 보냈어야했는데 잘못했나봐요…^^

”’김영욱”’ [파일] 강의록 파일들입니다.

올라오는대로 여기 올려놓을테니 없으면 아직 안온것입니다.

김영욱

유상범: http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/sangbum.hwp 김웅용: http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/kimungyong_0910.zip http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/kimungyong_self.hwp 이경일: http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/kilee.zip 최재희: http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/choijaehee.hwp 안창호: http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/anchangho.hwp 곽세연: http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/kwackseyeon.hwp 배윤한(?): http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/chsay.hwp 유희정,한수정: http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/yuheejeong_hansujeong.hwp http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/course1/fin/hansujeong.hwp

”’이경일”’ (파일) 강의록 파일들입니다.

오늘 오후에 메일로 올렸는데 못받으셨나요… 다시 올리겠습니다…

”’최재희”’ (파일) 강의록 파일들입니다.

저도 저번주 목요일에 여기로 보냈거덩요… 못받으신것 같아요 ㅠ.ㅜ 다시 보내드릴께요~

”’안창호”’ [파일] 뜨헉 제 파일 잘못 올라갔네요 ㅡㅡ;;.

어제 세시간동안 작업해서 3장 작성해서 보내 드렸는데 오늘 확인해보니 한장밖에 안떠서 무슨일인가하고 확인해봤더니 작업중 오류가 나서 파일이 다른 폴더에 저장되어있네요 ㅡㅡ;

그래서 방금전 교수님께 다시 보내드렸습니다. 물의를 일으켜서 죄송합니다(_ _)

”’김웅용”’ 올라온 글을 봤더니

재희가 정리한 것 중에 잘못된 부분이 몇 군데 있군요. (제가 발표한 것 중에)

(1) 일반 삼각형과 그것과 높이가 같은 이등변삼각형 간의 관계를 claim하고 증명한 부분에서 증명과정에 (?)를 찍어놨는데, 아마 제가 발표할 때 물을표를 써서 그대로 적은 것 같은데 내용정리에 그렇게 해 놓으면 마치 증명되지 않은 것 같습니다. 완전히 증명된 것이므로 (?)을 생략해 주시기 바랍니다.

(2) 정사각형을 Steiner Symm.하는 내용에서 그 때 당시는 제가 착각해서 잘못되었다고 생각했으나 김영욱교수님의 말씀을 듣고 잘못된 식이 아니였다는 것을 알았습니다. 그러니 정리본에는 잘못되었다고 하지 않는 것이 좋겠네요. (뭐 물의까지는 아닌거 같지만…. )

”’김웅용”’ 제가 알기로는..

그 (누구)라는 사람이 아마 윤한이형이 아닌가싶네여.. (윤한이형의 pdf파일이 정리된건데…)

”’이경일”’ (문제) ^^a

① [실존적 문제] 수학으로 세상을 얼마만큼 설명할 수 없나…

② [인식론적 문제] 수학으로 가능한(; fancy) 상상력은 어디까지인가…

③ [역사적 문제] 수학적 담론(logos; 랑그; 역사와 관련이 깊습니다.) 은 철학적 담론(discourse; 파롤)을 거쳐 삶에 환원(reduction)될 성질의 것인가… (수학해서 밥 벌어먹는 직장 잡는데 힘들만큼 사회 제도가 수학하는 사람의 수가 많을 것을 달갑게 생각 안하고, 수학으로 complex 느낄 만큼 수학적 성과로 경쟁이 치열한 것이 현실인데도 내가 수학을 끝까지 물고 늘어지는 것이 이상하지 않아야 하는가…)

④ [사회적 문제] 수학이 paradoxical한 문제를 극복하는 과정에 유일하게 발전(development)이라는 단어와 어울린다는 생각이다. 이것이야말로 문명(文明)의 발전이다. 이를 이용한 과학기술의 첨단화가 발전이라는 단어 어울리는가… 물질문명(material civilization)의 발전이라는 말 또한 아이러니한 말이 아닐 수 있는가…

⑤ [윤리적 문제] 수학자들의 잘난체는 누구도 막을 수 없을 만큼 못 말리는 것이다. 자기 스스로 자기가 가진 지식에 겸손하지 않는 한 그 갈등구조는 해결할 수 없다. 이러한 수학적 지식으로 잘난체하도록 놔둬야 할 문제인가…

⑥ [다시 돌아온 실존적 문제] 이러한 문제에 서로 공감할 수 있는 치밀한 답변과 관계없이 수학을 사랑한다는 이유가 수학적 담론을 펼치는 정당성을 충분히 제공하는가… (수학적 담론만일 수 있는가…)

Written by K.I.LEE

*

전 수학을 사랑하고있으며, 사람을 사랑하려하며, 총체적으로 자연(自然)을 사랑하려합니다. 그 만큼 자연은 무섭고, 사람은 존경할만하며, 수학(;학문)은 정직(integrity)합니다…

”’김영욱”’ 하나도 제대로 답할 수 없군요.

> ① [실존적 문제] 수학으로 세상을 얼마만큼 설명할 수 없나…

이 문제는 어쩜 Goedel, Escher, Bach를 읽어보는 것이 좋을 듯. 하지만 수학이 세상을 설명한다는 것이 어느 정도 설명하면 됐다고 할런지 모르겠군요. 


② [인식론적 문제] 수학으로 가능한(; fancy) 상상력은 어디까지인가...

이문제 역시 … 사람의 일반적 상상력의 한계를 묻는 것이라면 … ? 마치 AI가 사람의 생각을 완전히 모방할 수 있는가? 를 묻는 것과 같아보이는군요. 하지만 혹시 수학으로만 가능한 상상력의 한계를 묻는 것이라면…(말이 그런 뜻 같아보여서) 수학으로 가능하다는 것이 어떤 말인지 매우 애매하네요.(예를 들어 수학과 다른 학문을 떼어놓을 수 있는 것 같이 들리는데, 가능한가요?) 

③ [역사적 문제] 수학적 담론(logos; 랑그; 역사와 관련이 깊습니다.) 은
철학적 담론(discourse; 파롤)을 거쳐
삶에 환원(reduction)될 성질의 것인가...
(수학해서 밥 벌어먹는 직장 잡는데 힘들만큼
사회 제도가 수학하는 사람의 수가 많을 것을 달갑게 생각 안하고,
수학으로 complex 느낄 만큼
수학적 성과로 경쟁이 치열한 것이 현실인데도
내가 수학을 끝까지 물고 늘어지는 것이 이상하지 않아야 하는가...)

이 문제도 문제와 괄호 안의 설명이 어떤 관계인지 내게는 모호하지만… langue는 아마도 수학의 내용을 말하는 듯 싶은데(공식이라던가 정리라던가) 하지만 수학은 단순한 langue가 아니라 그 것이 갖는 의미(meaning)이라고 생각해요. 물론 의미라는 것이 무엇인지는 잘 모르겠지만… 그러나 그 의미가 langue자체에 있는 것이 아니고 오히려 그것을 이해하려는 시도에서 생긴다고 보이네요. 그런 뜻에서 수학은 자연히 사람들 사이에서 또는 자기 자신과의 discourse(토론, 담론)을 거쳐서만 그 의미를 얻게 되는거 아닌가 하는데…(이게 parole과 어떤 상관이죠? 다 잊어버려서리…) 수학은 당연히 사회에 이용될 터인데 이용되는 과정이 어떤건지는 아무도 모르지만(어떤 과정과 사고를 통해서 이루어졌는지, 또는 우연히 의미도 모르면서 쓰였는지 등등), 그 과정을 이해하려면 당연히 discourse가 필요하다고 생각해요.

수학을 대하는 제도가 나쁜 것은 우리나라에서 조금 심한 것이고, 수학에서 complex느낄만큼 발전이 빠른 것은 세계적인 문제이지 우리나라 안에서는 아니니까… 그 사회가 수학을 어떻게 대하느냐에 따라 그 사회의 수학이 발전하는가 아닌가가 결정나지요. 그리스의 수학이 그렇게 발전했다가도, 1000년을 넘는 동안 중세에서는 수학을 몰랐지요. 


④ [사회적 문제] 수학이 paradoxical한 문제를 극복하는 과정에
유일하게 발전(development)이라는 단어와 어울린다는 생각이다.
이것이야말로 문명(文明)의 발전이다.
이를 이용한 과학기술의 첨단화가 발전이라는 단어 어울리는가...
물질문명(material civilization)의 발전이라는 말 또한 아이러니한 말이 아닐 수 있는가...

과학기술의 첨단화가 발전이 아니라고 한다면, 지금 사용하고 있는 발전이란 단어의 뜻이 무엇인지 정의 내지는 예를 통한 단어의 의미를 분명히 해야 하지 않을까…? (혹 물질문명의 발전이 물질 문명은 허물어지면 없었던거와 같으니까 발전이 아니라고 생각한다면, 수학과 같은 것도 모든 사람이 잊어버리면 없었던거와 같은데…)

등등…

”’이경일”’ [(1)에 대한 엉뚱한 답변] ^^a ->다시 질문으로 돌아가네요..

단순히 수학적 언어가 가지는 어떤 것의 support도 아니고, 단순히 수학적 언어의 practical 하고 specific한 부분의 application이 아니라, 교수님이 말씀하신 수학적 언어의 의미(meaning)를 생각했을 때, 저의 질문은 그러한 수학적 의미를 세상의 의미라고 말할 수 있느냐 다시말해 그러한 수학적 의미는 세상을 설명하고 있다고 말할 수 있느냐는 것이지요. 좀 구체적으로 말하면, 서양철학에서 사유의 시작이라고 유명한 철학자라면 한마디씩 던진 존재론의 입장에서 realism(실재론-철학; 사실주의-문예; 현실주의-일상)의 주인공인 reality(실재)를 수학적 언어의 의미가 열심히 설명은 하고 있다고 생각이 되는데, 설명 안 되는 부분을 생각이나 하면서 열심히 설명하느냐는 것이지요. (To know the truth partially is to distort the Universe. A.N.WHITEHEAD)

하지만 이상하게도 이런 의미를 찾는 것, 제겐 절실합니다. 그래서 여기에 푹 빠졌는지.. 아마 사랑하고 있는지 모릅니다.

그래도 제게 있어 예를 들어 빛의 속도가 일정하다라는 사실(contingent fact, 우발적 사실)을 믿고 죽어야 할 운명과 부모님에게 몹쓸 잘못을 하고는 해결도 못한 채 영원한 이별을 맞는 운명(necessity, 필연)을 생각했을 때, 그런 사실적인 수학적 의미를 찾는 일이 절실한 이유가 될 수 없을 지도 모르겠습니다.. 헌데 냉정하게도 서양사상에서는 (저도 누구나 공감하듯 서양, 동양이라는 배타적 이분법에서 말하고 싶진 않지만 이해하기 편하게, 욕 얻어먹기 편하게..) 우발적 사실과 필연적 가치의 나눔이 있습니다. 예를 들면 자유라는 말도 절대적 자유는 누구와도 관계되지 않는 죽음일 수밖에 없는 못된 필연적 가치임에 의의를 달지 못할 것 같으면서도, 자유는 실존의 무근거성, 즉 우발적 사실에 근거를 둔다면서 절대자유란 언어에 피를 흘려가며 외쳐도 아무렇지 않는 것이 서양사상이라는 것이지요.

구체적으로 질문에 대한 교수님의 역 질문에 엉뚱할 수 있는 답변 드립니다.

② AI 인공지능 말씀하시는 거지요? 맞나요? 이런 인공지능은 기계에 언어를 입혀 virtual할 수 있는 기능을 말하는 것 같은데, 언어(logos)밖에 못 입힌다는 것에 그 초점을 맞춰 생각하면, 그러한 생각은 인간의 natural(spontaneous)한 intelligence를 넘볼 수 없는 이유가 되지 않을까 합니다. 근데 전 수학과 다른 학문을 떼어놓을 마음이 없어 보입니다. 만나게 하려고 했으면 했지 떼어놓고 싶지는 않네요. ^^ 그래서 여기서 말하는 수학으로 가능한 상상력 다른 학문(특히, 물리)과 관련된 상상력입니다. 수학으로 가능한 상상력이 어디까지인가도 무척 궁금하지만, (교수님이 이해하신) 이러한 수학으로만 가능한 상상력의 한계를 생각하기 전에, 지금까지 나온 fancy한 이론이 어떤 세상을 설명하는지도 궁금합니다. 예를 들면 미분기하에서 M^n은 적당히(?) 해석적인 곡면과 같은 것들의 일반화된 n 차원 곡면 비슷한 것 같은데 이건 다른 학문(특히, 물리)에서 무얼 의미하는지…

③ langue라는 표현도 위와 같은 세상에 의미를 담고 있어 보이지 않는 것(M^n)들 때문에 부득이 쓰게 된 것으로 변명하고 싶구요. 교수님이 말씀하신 랑그를 이해하려는 시도 너무도 저를 설래게 합니다. ^^

이 문제는 삶의 환원에 초점을 맞추었는데 좀 엉뚱한 방향으로 흐른 것 같습니다. ^^ 한가지 예를 들어 보이겠습니다. 상황인즉 엄마와 꼬마사내아이가 있는데 그 아이가 막 울고 있습니다. 그래서 엄마는 꼬마에게 강한 어조로 이렇게 말했습니다. \”사내아이가 울긴!\” 그랬더니 그 꼬마사내아이가 울음을 멈추었습니다. 이 상황을 어떻게 해석해야할까요. 그 꼬마는 사내아이라는 어떤 사명감(?)에 울음을 멈추었을까요. 아니면 \”~울긴!!\”이란 강한 명령조에 쫄아서 울음을 멈추었을까요. 둘다 일 수도 있고 둘중에 하나일 수도 있지만, 여기서 중요하게 생각해볼 것은 둘다 아닐 수도 있다는 것입니다. 말(logos)은 늘 엉뚱함만을 갖는다고 생각합니다. (No verbal statement is the adequate expression of a proposition . A.N.WHITEHEAD) 여기서 둘다 일 수 있고, 둘중에 하나일 수 있는 것이 바로 철학적 담론을 거치는 것이라고 생각합니다. 이런 철학적 담론을 거칠 때 개개인이 가진 언어적 행위인 parole이 필요하다라고 말할 수 있어 보입니다.

이왕 파롤이야기가 나와서 파롤에 대한 이야기 좀 하자면, 개개인이 가진 언어적 행위인 파롤은 지구촌 전체를 생각할 만큼 보편적이지 않아 보입니다. 그래서 저는 authority(권위)를 가진 author를 찾는데 혈안이 되어있지요. 이는 남과의 대화를 위함이라고 생각합니다. 그래서 거칠게 말해 권위를 찾는 그런 통시적 방대함을 가질 공부와 공시적 방대한 어휘를 흡수할 sense가 필요하다고 생각합니다. 우선적으로 해설서나 풀이서가 아닌 원전 그대로의 해석(interpretation)이 필요하고, 또 그것 없이는 안 된다고 생각합니다. (원전 즉 고전classics 으로 보는 것이 지름길이고, 그것이 쉽다는 이야기를 들은 기억이 있습니다.) 하지만 특히 서양고전은 서양사상의 유기적 긴밀성 때문에 서양언어끼리 번역된 번역서는 원전을 읽는 느낌이 날 수 있을 뿐 아니라 새로운 기분까지 접할 수 있다는 말을 들은 기억도 있지만.. 아무튼, 이런 어휘적 준비, 바탕 위에 parole로 혼자는 물론 다른 사람과도 discourse 할 수 있는 분위기 정말 기대하고 싶습니다.

3번에 대한 질문을 좀 넓게 다르게 하자면, 동양(estern)에서는 진리이지 않은 것 같으면서 진리인 paradox로서 진리를 말하고, 언어(文)는 삶을 설명하는 한 방편에 지나지 않는다는 믿음을 가지고 생활에 충실한 반면, 서양(western)은 언어(logos)에 어디까지 의미 있나 찾아보며 철학적 담론으로 이끌고 있다고 생각이 되는데(특히, 수학에서), 어디로 이끌고 가는 건지 방향을 잡질 못하겠습니다. 물리적 의미의 paradox (여지것 줄곳 저는 물리적 의미의 paradox를 말해왔었습니다. 제논의 역설, 러셀의 역설, 슈뢰딩거 고양이의 역설을 위에서 말한 realism에 대한 역사적 이야기를 이끌 때 중요한 단초로 삼고 있습니다. 나중에 상황에 맞춰 이야기도 나누고 싶은 부분입니다. 어떠한 자기생각의 이야기든 글이든 남의 생각이 되는데 맛깔스럽게 조각내서 먹히는 것이 중요하고, 맛깔스럽게 버림받는 것이 중요하다고 생각합니다. 그런 의미에서 동양, 서양 이야기도, 나중에 이야기가 될 수 있을 것 같은 realism에서의 중요한 단초들도 맛깔스러웠으면 좋겠습니다.) 가 중요한 이정표가 될 것 같은 막연한 바람뿐… 궁금합니다. 이런 것이 밥 빌어먹는 일인지, 역사적으로 얼마나 가치있는 일인지… 이 문제는 사실과 가치(필연)에 대한 질문으로 구체화시킬 수도 있습니다. 그리고 제가 말한 직장은 이런 고민하는 순수 수학하는 교수급을 이야기한 것이고, 이런 고민과 관계없는 수학적 성과물을 요구하는 stress를 상상해본 것입니다.

④ 그런데 이상하게도 동양에서의 삶에 필요한 기술보다 서양의 과학기술이 삶에 미치는 영향이 강력합니다. 엄청난 국가적 power(권력)를 가질 만큼의 대단한 것으로 보입니다.

제가 저를 볼 때 과학기술의 첨단화의 발전이라는 말에 조심스러워하며, 발전(divelopment)이라는 단어 대신 향상(enhancement)을 쓰고 싶어하는 듯 보입니다. 이유인즉 technology(기술)이란 말은 수학과 과학이 없어도 영위할 수 있는 (예를 들면 의식주해결은 수학과 과학없는 기술로 가능) 인간의 삶의 문제인데 civil을 위한답시고 civil engineering (산업공학)을 위시로 scientific technology에 \’무한의\’ 발전을 서슴없이 말하는데, 그런 반성없는 선형적 발전 두렵기도해서… 이는 환경, 에너지 등의 문제에 적극적인 형태로 지혜로와야 할 뿐 같습니다. 국가(nation)적 power와 같은 좀 넓은 인문학적 이야기는 논외로 두더라도…

저는 사람이라는 동물이 멸망하면 피타고라스의 삼각형이든 정리든 뭐든 수학과 같은 것 인간이 다시 부활하지 않는 이상 다시 부활 못시킬 것으로 생각합니다…

⑤ 수학자 거의 대부분 겸손하다 믿습니다.(경험과 관련된 믿음입니다.) 잘난체해도 순수해보이구요. 그런 순수한 잘난체를 역이용해서 많이 배워 보려고 했던 사람이 바로 저이기도 하구요.^^

정말 두서도 없고, 누군가 알아먹게끔 썼는지도 의문입니다. ^^ 아무튼 날씨가 춥습니다. 다들 잘 지내시죠? 모두들 건강하세요~ ^^

(부연된 처음 저의 질문에 대한 요약) ← 위에 글 중에 포함된 부분입니다.

①reality(실재)를 수학적 언어의 의미가 열심히 설명은 하고 있다고 생각이 되는데, 설명 안 되는 부분을 생각이나 하면서 열심히 설명하느냐는 것이지요.

②수학으로 가능한 상상력이 어디까지인가도 무척 궁금하지만, (교수님이 이해하신) 이러한 수학으로만 가능한 상상력의 한계를 생각하기 전에, 지금까지 나온 fancy한 이론이 어떤 세상을 설명하는지도 궁금합니다.

③이런 것이 밥 빌어먹는 일인지, 역사적으로 얼마나 가치있는 일인지… 이 문제는 사실과 가치(필연)에 대한 질문으로 구체화시킬 수도 있습니다.

”’김웅용”’ 전 그렇게 복잡하게 생각하지 않습니다.

수학으로 모든 것을 설명할 수 없을 지도 모릅니다. 익히 알고 있는 괴델의 불완전성 논리에서도 증명할 수 없는 명제가 존재함을 증명하고 있습니다. 그렇다 하더라도 수학의 시작은 조금이라도 이 세상을 설명하고 싶어서였다고 생각합니다. 그래서 많은 부분 설명할 수 있었고, 실제로 많은 곳에 도움이 된 것도 사실입니다.

밥빌어먹기 위해서라면 수학보다는 정말로 도움이 되는 기술직을 택하시는 것이 어떨지..(형 얘기하는 것이 아닙니다. 수학을 밥빌어먹는 학문으로 생각하는 사람에게 하는 얘기임.) 저는 적어도 밥이나 빌어먹을려고 수학을 하지는 않습니다. 그냥 수학 자체에 매력이있습니다. 놀랍기도 하고요. 그 증명이라는 것을 보면 구구절절이 다 논리적(모순이 없이)으로 쓰여지고 있거든요. 그러니까 우리가 가정한 공리만 틀림이 없다면 정리로 쓰여진 그 사실은 정말 \”사실\”인 것이 되어지고 말지요. (내가 모르는 모순이 있다면 아닐테고요) 그런데 신기하게도 공리만 좀 바꿔버리면 그 정리는 이제 사실이 아닌 정리가 되어버리거든요. 그리고 많이 공부하다보면 또 궁금증도 차츰 생기겠지요. 증명될 수 없을 정리일지는 몰라도 그것을 증명해보려고 매달릴테고요.

어쩌면 그러다보니 수학이 처음의 시도와는 다르게 의미를 모르겠는 단순한 식과 문자의 나열이 되어버릴 수도 있습니다. 분명 오류가 없는 정리지만 그게 왜 쓸모가 있는지는 모르겠는.. 하지만 맨 처음 전자기유도를 발견한 패러데이도 그것을 발견하고 어린아이처럼 좋아하는 그를 보고 가정부가 \”어디에 쓸 지도 모르는 것을 발견하고는 그렇게 좋아하느냐?\”라고 물은 대답에 이렇게 얘기했답니다. \”누구라도 애기를 낳을 때 그 아기가 무엇을 하리라고 예상하고 아기를 낳지는 않습니다.\”라고. 결국 그 전자기유도 때문에 세상으로부터 전기를 끌어내고 우리가 이렇게 문명생활을 하게 될 줄은 그도 몰랐겠죠.. 수학도 그런 것 아닐까요?

단순히 앞에 있는 문제만을 풀기 위한다면 이렇게 공리에 정리에 이런 식의 수학이 발전하지는 않았겠죠.. 예를 들면 이 세상의 기하를 알기 위해 유클리드 공리를 세우지 않고 그냥 현상을 관찰한다 해도 기하를 아는 데는 무리는 없었을 것입니다. 그러나 그것을 공리를 세우고 하니까, 그 공리를 만족하는 다른 곳까지 적용이 가능해졌다. 즉, 수학의 발전으로 하나밖에 모를 뻔했던 사실을 다른 곳까지 적용해서 알 수 있었다-라는 말이죠. (저는 복잡하게 생각하면 머리아프니 \”발전\”을 그대로 쓰겠습니다) 유클리드 공리의 점을 동전으로, 선을 지갑으로 생각하면 \”두 점은 한 직선을 만든다\”는 공리는 \”두 동전이 한 지갑 안에 있다.\” 이런 식으로 하게끔 정해놓으면 그 동전-지갑체계에 그대로 유클리드 기하학의 정리를 적용해도 모순이 없다는 것이겠지요.

수학은 궁금하니까 생각해본거고, 생각이 정리되면 기술하고, 그것을 쌓아서 더 높은 생각을 하고. 이러한 행위의 반복이라고 생각합니다. 물론 필요해서 하는 수학도 있겠지만 필요없이, 궁금하니까 하는 수학도 괜찮을 것 같은데요. 비록 그것이 사원수처럼 필요없어서 쓰이지 않게 된다 하더라도 언젠가는 또 필요할지도 모르니까요..

”’이경일”’ 글 잘 읽었습니다…

글 잘 읽었습니다. 제가 요구하는데 있는(질문하는데 있는) 제 글의 내용에 공감하는 글로 이해됩니다. 글을 어떤 순수한(!!) 의도에서 썼는지는 몰라도.. ^^;;

한가지 집고 넘어가고 싶은 것이 있습니다. 제가 질문하는 것을 ‘어떤 의미를 갖느냐’는 것이지 ‘어떤 쓸모가 있느냐’는 것이 아니라는 것이고, ‘세상을 설명하는냐’는 것이지 ‘기술에 적용하는데 어떤 혜택이 주어지냐’는 것이 아니라는 것입니다.

여기에 결과적으로 어떤 쓸모가 생겼고, 어떤 혜택이 주어졌다고들 하는데, 그것이 과연 혜택이라고 말할 수 있느냐는 것이 또 다른 질문이었구요.

다시말해서 예를 들면 수학적 line integral이 (거리)*(힘) 이라고 생각했던 에너지 이야기에 힘을 실어주고 세상을 설명하고 있는 것은 같은데, 다른 수학적 개념은 세상을 설명하는 듯 보이지 않아 보이고, 세상을 다 설명하는 것 같지도 않아 보여서 질문 드린 것이지요. 웅용이가 말한 패러데이의 전자기유도법칙을 써먹는 것도, 한 지갑 안에 두 동전이 들어가게 하는 것도 모두 기술의 적용의 이야기가 아닐까 합니다.

좀 넓게 생각해보겠습니다.

수학(그리스 수학)→ 물리(뉴튼)→ 화학(라부아지에)→ 현대물리(상대론, 양자론)→수학

이러한 흐름 속에 수학은 자기 학문이 아니더래도 늘 적극적인 후원자였다고 생각합니다. 수학은 이를 꿰차고 있다고 생각합니다. 꼭 포장마차에서 먹는 꼬치의 막대기 역할처럼, 혹은 조직세포에 수혈해주는 혈관을 관통하는 붉은피처럼…

여기서 문제될 것은 공업기술, 의학기술에 물리(고전적 physical language), 화학(substantial language), 현대물리(quantum language)적인 지식의 개입입니다.

물론 앞에서의 질문을 “이런 과학이 적용된 기술 즉 physical experiment(물리적 실험), chemical experiment(화학적 실험)를 통해, 세상을 설명하는데 바라보고, 수학의 의미를 찾는데, 도움이 되는 것은 사실이고, civil을 위하는데 도움이 되는 것은 같고, 인간의 생명을 위하는데 도움이 되는 것은 같은데, 이런 것이 혜택을 주는 것 같으면서도 병주고 약주는 식이 아니냐”는 식의 질문으로, 직접적으로 실험물리학자나, 실험화학학자에게 해야하지 않았나 하는 생각이 들긴하지만…

하지만 최근 기술에 직접적으로 개입하는 수학을 생각해볼 수 있습니다. 디지털 기술에 수학적인 언어가 지식이 개입하고 있습니다. 물론 디지털 기술은 물리, 화학, 현대물리적인 축적(accumulation)된 지식을 쓰며, 이에 최근의 수학적 언어를 가져다 쓰고 있습니다. 예를 들면 암호학(access하는데 방해(?)하는 기술)도 이런 기술이 될 수 있을 것입니다. 이는 직접적으로 실험물리학자나, 실험화학학자에게나 해야하는 질문이 아닐 수 있다는 것이지요.

웅용이의 필요없어 보여도 하는, 순수한 호기심의 수학적인 활동 공감되어지고, 열심히 하는 모습에 고개숙여지고, 존경하게 됩니다. 어떻게 보면 수학적 logical한 proof 라든가 logical한 calculation 같은 것을 누군가가 해결하면 할수록 우리의 꿈은 그만큼 줄어든다고 할 수도 있고, 우리의 궁금증에 무시라도 하고 있는 듯 보일 수 있습니다. 수학적 지식(언어인 것은 모두 그렇다고 생각되지만)은 축적되어집니다. 아는 것이 많을수록 모르는 것도 많아지는데, 또한 이러한 축적 때문에 모르는 것을 알아가는 것 또한 너무도 fancy해서 어려울 수도 있다는 말입니다… 그래서 요즘 젊은 사람들은 이러한 지식보다 예를 들면 춤에 삶이 더 밀착돼있는 것으로 보여지기도 하구요. 여기에 상대적인 학점, 성적 일조 하지요? 이것만의 문제도 아니고, 이건 너무 이 게시판에서는 민감할 수 있는 이야기라 여기까지. 물론 춤이 저급한 그런 것이라는 것은 아닙니다. 노래의 생명은 ‘노래만큼 말을 잘 못하는 능력’이고, 춤의 생명은 ‘춤을 잘 추는 만큼 노래를 잘 못하는 능력’이라고 생각합니다. 말못할 수밖에 없는 청각장애인의 춤이라는 것은 대단합니다… 이야기가 딴데로 흘렀네요 ^^

또 한가지 요즘의 기술직은 고전적인 물리나, 고전적인 화학이나, 현대물리학이나, 현대수학이 바탕이 안된 것을 찾아보기 힘듭니다. 농약 없이, 소만가지고 농사짓고, 비닐하우스 없이 야채 기르는 일, 또 냉장고 없는 고기잡이는 상상하기 힘듭니다. 농약과 온갖 기계, 최첨단 비닐하우스에 영양가 높은 화학비료를 쓰지 않는 농사나 냉장고 없는 고기잡이는 현대 사회의 삶의 의미를 충족시키지 못한다는데 있지요. 자식을 위한 너무도 비싼 등록금, 그런 대량생산을 안 한다면 사회에서 주는 박탈감(우선적으로 세금으로 인한 금전적인 문제를 생각할 수 있지요.)등등.. 그렇다면 할 수 없이 과학과 수학의 바탕 위에 있는 기술직은? 얼마 전에 지하철역에 지하철 근로자들(아마도 노조가 붙였겠지요.)이 붙인 글을 볼 수 있었습니다. 잘 생각은 안 나지만 어두컴컴한 그리 쾌적하지 않은 지하에서 식사하며 과로한 노동을 하고 있다는 내용이었습니다. 공감되는 내용이었지요. 그분들은 과학과 수학을 아마 잘 모를 겁니다. 밥 빌어먹기 딱 좋은 직업이 기술직이라고는 생각은 안 드네요…

밥 빌어먹기 딱 좋은 직업이 없다고 주장하면, 할말은 없지만…

”’최재희”’의 미적분 귀신 이야기 총정리편

”’김웅용”’ 저 근데..

저 근데.. 해석학 특강 책은 언제 주실건가요??? (빨리 보고시포라 ^^)

”’ 구형운”’ 해석학특강책은 월요일 오후에 최윤서교수님께

해석학특강책은 월요일 오후가 되면 볼수 있을거야요. 월요일 오후 최윤서 교수님 찿아가봐여.

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