질문은 Q: 를 말머리에 붙이고 써 주고, 답글은 A:를 말머리에 붙이면 좋겠네요. 답글은 한줄 비우고 새 줄에 시작하며 A: 앞에는 공백을 넣어서 들여쓰기가 되게 해주세요. 또 글 마지막에는 자신의 이름을 붙여주세요.
글을 쓰는 방법은 메뉴 가운데 ”’고치기”’를 누르고 나타나는 편집창에 아래와 같이 입력합니다. 중간 중간에 미리보기를 해도 되고요, 마지막에는 꼭 저장을 눌러서 써놓은 글이 없어지지 않도록 합니다.
{{{-— Q: 질문입니다(김영욱)
A: 답입니다(김영욱) -—}}} 와 같이 쓰면 다음과 같이 보입니다.
-— Q: 질문입니다. (김영욱)
A: 답입니다. (김영욱)
-—
Q: C. 6번문제를 풀긴풀었는데 맞는지 잘 모르겠습니다. 해설 좀 부탁합니다. (양길석)
A: 이 문제는 아마 문제 해석을 잘 못하는 것 같아요. 문제의 $ Φ$ 는 $ \mathcal{L}=\mathcal{L}(U,V)$ 에서 $ \mathcal{M}=\mathcal{M}(m,n)$ 으로의 대응관계입니다만, 이것은 모든 $ U,V$ 와 모든 $ m,n$ 에 대하여 정의되는 매우 광범위한 사상입니다. 따라서 이 문제는 우선 $ Φ$ 가 $ \mathcal{L}=\mathcal{L}(U,V)$ 하나에 대하여는 해당하는 $ \mathcal{M}=\mathcal{M}(m,n)$ 으로의 isomorphism 임을 보이라는 것이고, 그 다음에는 마지막 등식의 합성 $ Sˆ T$ 가 주어지는 경우에는 그러한 등식이 성립함을 보이라는 것입니다. 증명 자체는 정의를 따라 하면 간단한 것입니다만… –김영욱
-—
Q: 기말고사가 12월 15일이 맞나요? A: 12월 15일 맞습니다.
-— Q: 질문이 두가지 있는데요, 우선 adjoint의 정의가 1학기때 배운 책하구 이번에 배우는 책하고 같은건지 다른건지 궁금해요. 다른것 같은데, 책마다 용어를 다르게 쓰기도 하나요?? (conjugate transpose인가..;;;) 그리고 또하나는 A-1(inverse)랑 A*(adjoint)랑 성질같은게 많이 비슷한데 정확히 둘의 차이점이 뭔지 알려주세요.(강경아) ”’A”’: 우선 전체를 정리하는게 좋을 것 같아요.
- 실행렬 $ A $ 에는 transpose가 있습니다. $ A^T $ 라고 씁니다. 뭔지 알지요?^^(1학기)
- 복소행렬 $ B $ 에는 conjugate transpose가 중요합니다. $ \overline{B}^T $ 라고 써야 하지요.(2학기)
- 실, 복소 모두, 선형사상 $ A:X→ U $ 에 대하여는 adjoint $ A’:U’→ X’ $ 이 있습니다.(2학기, 교과서 20쪽, 교과서에서는 transpose라고 부릅니다.)
- 실, 복소 모두, 선형사상 $ A:X→ U $ 에 대하여는 (실, 복소)내적에 대한 adjoint $ A^*:U→ X $ 가 있습니다만, 교과서에서는 선형변환 $ A:X→ X $ 에 대하여 내적에 대한 adjoint $ A^*: X→ X $ 를 정의하고 있습니다.(2학기, 교과서 69쪽)
- 내적에 대한 adjoint는 벡터공간 $ X $ 를 이 내적에 의하여 $ X’ $ 와 1대1 대응을 시켜(교과서 66쪽, corollary 4′) 서로 동일한 공간이라고 생각하기로 하면 선형변환은 $ A’=A^* $ 가 됩니다.(69쪽의 정의와 19-20쪽의 정의를 비교해 볼 것.)
- 실내적이냐 복소내적이냐에 따라 $ A^* $ 의 행렬표현은 $ A^T $ 또는 $ \overline{A}^T $ 으로 됩니다.
여기에 의문사항이 있으면 다시 질문하셈.^^
추가
한가지 빠뜨렸군요. A^{-1} 랑 A^*는 사실 정의상은 별 상관이 없는 것인데… 우리가 중요하게 생각하는 2차형식(2차함수)이론에서는 특별히 변수변환하는데 $ A^{-1}=A^* $ 인 것들을 쓰게 된다는 사실이 ”’무지무지”’ 중요하니까, 이런변환(=직교변환,unitary변환)인 경우에만 이 두 개가 일치한다는 관계가 생깁니다.
-— Q.감사합니당~~ 막 섞여있었는데 조금 정리가 되네요^^ 근데 우리가 지금 배우는 부분은 (6장~8장정도) 전부 복소행렬과 복소내적인가요? 그리구 p81에 Th4(b)정리있잖아요.. 그게 genuine임을 증명하기 위해서 genralized라고 가정한다음에 그게 결국 genuine임을 보인다는건 알겠는데요, induction을 쓸때 d=1까지만 이해가 가요;; 그니까 d=2,3 이렇게 가면서 뭐가 어찌되는건지 잘 모르겠어요. 대략적 idea만 살짝 설명해주세요^^; (강경아)
”’A”’: 우선 일반 이론은 복소공간과 복소변환, 복소행렬입니다. 하지만 일부 정리는 이러한 복소이론을 쓰면 실변환(실행렬)의 경우에는 이러이러하게 된다 라고 하고 있지요. 대표적으로 실대칭행렬의 경우와 이를 이용한 실 이차형식의 경우입니다. 정리4(b)는 우선 d=1일 때까지 됐다고 하고, … , 일반적으로 $ d-1 $ 까지 성립한다고 가정하고 $ d $ 인 경우를 보지요. (참고로 책의 $ H $ 는 실제로 $ H-aI $ 입니당.^^) 이제 generalized eigenvector 라는 사실만 알아서 $ H^dz=0 $ 를 만족시킨다고 하면
\[ 0=\langle H^{d-2}z, H^dz\rangle = \langle H^{d-2}z,H^2H^{d-2}z\rangle \] \[ = \langle HH^{d-2}z,HH^{d-2}z\rangle = \langle H^{d-1}z,H^{d-1}z\rangle = \| H^{d-1}z\|^2 \]
(다음과 같이 쓰는게 더 낫겠지요.) \[ 0=\langle H^{d-2}z, H^dz\rangle = \langle H^{d-2}z,HH^{d-1}z\rangle \] \[= \langle HH^{d-2}z,H^{d-1}z\rangle = \langle H^{d-1}z,H^{d-1}z\rangle = \| H^{d-1}z\|^2 \]
이므로 $ H^{d-1}z=0 $ 이라는 것입니다. 따라서 ( $ d-1 $ 까지 성립하니까), $ Hz=0 $ 이 되어 genuin eigenvector라는 것이지요.