풀이1

(TableOfContents)

첫번째 숙제 풀이입니다.

문제 1

{ $Q (\sqrt{2}) = {α + β \sqrt{2} ∣ α, β \in Q}$ 이다.}

\noindent{\bf (a)} $Q (\sqrt{2})$ 는 field인가?

field인가를 확인하려면 시간 중에 공부한 field의 조건을 모두 확인하여 보아야 한다. 조건은 모든 원소에 대하여 다음이 성립하는 것이다.

{덧셈에 관하여}

$k + h = h + k$
$k + (h + l) = (k + h) + l$
다음 조건을 만족시키는 원소 $0$ 이 유일하게 존재한다:

임의의 $k$ 에 대하여 $k + 0 = k$ .

임의의 $k$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 원소 $h$ 가

유일하게 존재한다: $k + h = 0$ (이러한 $h$ 를 보통 $- k$ 로 나타낸다.)

{곱셈에 관하여}

$k h = h k$
$k (h l) = (k h) l$
다음 조건을 만족시키는 원소 $1$ 이 유일하게 존재한다:

$1 \neq 0$ 이며, 임의의 $k$ 에 대하여 $k 1 = k$ .

임의의 $0$ 이 아닌 $k$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 원소 $h$ 가

유일하게 존재한다: $k h = 1$ (이러한 $h$ 를 보통 $k^{- 1}$ 또는 $\frac{1}{k}$ 로 나타낸다.)

덧셈과 곱셈의 관계에 대하여

$k (h + l) = k h + k l$

힌트

이제 $Q (\sqrt{2})$ 에 대하여 위의 조건이 성립하는 것을 확인할 때 생각하면 좋은 점을 몇 가지 정리한다.

{덧셈에 관하여}

직접 써서 확인한다.
위와 같음
$0$ 으로는 우리 집합에서 $0 + 0 \sqrt{2}$ 라는 모양의 원소를

잡으면 된다. 실수라고 생각해 보면 보통 때의 $0$ 을 잡는 것. $k + 0 = k$ 임을 확인하면 된다.

$k = α + β \sqrt{2}$ 에 대하여 $- k = (- α) + (- β) \sqrt{2}$ 를

잡으면 된다. $k + (- k) = 0$ 임을 확인하면 된다.

곱셈에 관하여

위와 같음
위와 같음
$1 = 1 + 0 \sqrt{2}$ 라고 잡으면 된다. 이것은 $0$ 과 다르다.(왜?)

$α + β \sqrt{2}$ 꼴의 $k$ 에 대하여 $k 1 = k$ 이 성립함을 확인할 것.

$k = α + β \sqrt{2}$ 에 대하여

$$ k^{-1}=\frac{\alpha}{\alpha^2-2\beta^2}

\bigg(-\frac{\beta}{\alpha^2-2\beta^2}\bigg)\sqrt{2}

$$ 라고 잡으면 된다. 이것이 $Q (\sqrt{2})$ 의 원소인가, 그리고 원하는 조건을 만족하는가 곱하여 확인하여 볼 것.

덧셈과 곱셈의 관계에 대하여

실수이므로 성립한다.

\noindent{\bf (b)} 정수를 계수로 이러한 꼴의 수 들을 만들면 field가 되지 못한다. 이유는 곱셈에 대한 역원을 찾을 수 없을 때가 있기 때문이다. 예를 들기 위하여 역원을 찾을 수 없는 원소를 하나만 들자. $k = \sqrt{2} = 0 + 1 \sqrt{2}$ 라고 하자. $\sqrt{2} (α + β \sqrt{2}) = 1$ 을 정리하면 $α = 0$ , $2 β = 1$ 이 되어 $β = 1 / 2$ 이 아니면 안 된다. 따라서 $\sqrt{2}$ 는 정수를 계수로 하는 모양의 곱의 역원을 가지지 않는다. 즉 field가 아니다.

(혹시 $\sqrt{2}$ 대신에 $1 + \sqrt{2}$ 를 잡으면 이것은 역원을 가진다. $- 1 + \sqrt{2}$ 가 역원임을 확인하여 보아라.)

질문?

문제 2

1학기 교과서를 볼 것.

질문?

문제 3

$ξ$ 가 무리수일 때, $Q$ 위에서 $1, ξ$ 가 일차독립임을 보이자.

유리수 $a, b$ 에 대하여 $a \cdot 1 + b \cdot ξ = 0$ 이라 하자. $b \neq 0$ 이라 가정하면 $ξ = - a / b$ 가 되어 $ξ$ 가 유리수가 되므로 모순이다. 따라서 $b = 0$ 이다. 따라서 $a = - b ξ = 0$ 이다. 즉 $a = b = 0$ 이 되어야 한다. 따라서 $1, ξ$ 는 일차독립이다.

역으로 $1, ξ$ 가 일차독립이라 하면 $ξ$ 가 무리수임을 보이자.(조교선생님 답이 옳음) $ξ$ 가 유리수라 가정하면, $(- ξ) \cdot 1 + 1 \cdot ξ = 0$ 이므로 $1, ξ$ 가 일차종속이 되어 모순이다. 따라서 $ξ$ 는 무리수이다.

질문?

문제4

스칼라체가 $R$ , 또는 $C$ 라고 가정하면 조교선생님의 풀이가 옳다.

이러한 comment를 다는 이유는 이 문제의 풀이 과정에서 [ $2 a = 0$ 이므로 $a = 0$ 이다] 라는 논법을 사용하기 때문이다. 스칼라체에 따라서는 이러한 논법을 쓸 수 없는 경우가 있다. 즉 어떤 체에서 는 $2 = 1 + 1 = 0$ 이 될 때도 있으며 이 때는 $2 = 0$ 이므로 $2 a = 0$ 이면서도 $a \neq 0$ 일 수도 있기 때문이다.

질문

문제5

(a) ( $\Rightarrow$ )

일차종속이라 가정하면, $a (ξ_{1}, ξ_{2}) + b (η_{1}, η_{2}) = (0, 0)$ 인 $(a, b) \neq (0, 0)$ 이 있다.

$a \neq 0$ 이라 가정하자 ( $b \neq 0$ 인 경우도 마찬가지로 증명하면 된다.)

$ξ_{1} = - (b / a) η_{1}$ 이고 $ξ_{2} = - (b / a) η_{2}$ 이므로 $ξ_{1} η_{2} + ξ_{2} η_{1} = 0$ 이다.

( $\Leftarrow$ ) $ξ_{1} η_{2} - ξ_{2} η_{1} = 0$ 이라 가정하자. $(η_{1}, η_{2}) \neq (0, 0)$ 일 때는 ( $(ξ_{1}, ξ_{2}) \neq (0, 0)$ 일 때도 마찬가지 방법으로 증명하면 된다.) $η_{2} (ξ_{1}, ξ_{2}) + (- η_{1}) (ξ_{2}, η_{2}) = 0$ 이 된다. 따라서 두 벡터는 1차 종속이다.

(b) 위의 문제와 같은 방법으로 조교선생님의 풀이를 따르면 된다. 단지 풀이에서 나누는 각 항이 0인 경우를 따로 따져 줄 필요가 있다.

질문

문제 6

조교선생님 풀이가 옳음. 이 문제는 시험에 안 나옴

질문

문제 7

문제의 가정으로부터 $V \subset M \cup N$ 이므로 $V = M \cup N$ 이 되고 따라서 조교선생님의 case (i) 은 필요 없다. 마지막에서 두 번째 줄, 마지막 식은 $v_{1} + v_{2} \notin N$ 이라고 써야 옳다. 이 줄이 왜 성립하는지를 확인할 것.

질문

문제 8

(a) 이 문제를 푸는데 차원정리를 쓰는 것은 옳지 않다. 왜인가는 차원정리를 잘 살펴보면 알 수 있지만, 이 정리는 전체공간이 유한차원일 때 유한개의 basis를 구하는 방법으로 증명하고 있다. 우리가 증명한 차원정리는 차원이 무한인 공간 $P$ 에는 적용할 수 없는 형태이다. 우리가 이 문제를 푸는 방법은 직접 $P / M$ 에서 얼마든지 많은 일차독립인 벡터들을 찾아내서 보여줌으로써 이다. 즉 $t^{n + 1}, \dots, t^{n + k}$ 은 $P$ 의 벡터들이다. 이 각각의 벡터들을 포함하는 $P / M$ 의 원소들은 각각 ${t^{n + 1}}$ , … , ${t^{n + k}}$ 라고 쓸 수 있다. 이것들이 일차독립임을 보이면 일차독립인 벡터의 개수가 임의의 자연수 $k$ 만큼 있다는 것이 되어 유한한 개수의 basis를 가질 수 없다. 즉 차원이 무한이 되는 것이다. 이제 이들이 일차독립임은 다음과 같다. ${a_{1} t^{n + 1} + \dots + a_{k} t^{n + k}} = {0}$ 라고 하면, $a_{1} t^{n + 1} + \dots + a_{k} t^{n + k}$ 는 $M$ 의 원소라는 뜻이고 따라서 적당한 $b_{i}$ 들에 대하여 $a_{1} t^{n + 1} + \dots + a_{k} t^{n + k} = b_{0} + b_{1} t + \dots + b_{n} t^{n}$ 이 된다. 이로부터 $a_{1} = \dots = a_{k} = b_{0} = \dots = b_{n} = 0$ 임을 알 수 있다. 즉 이들은 일차독립이다.