풀이1

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첫번째 숙제 풀이입니다.

문제 1

{$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{\alpha+\beta\sqrt{2} \mid \alpha,\beta\in\mathbb{Q} \}$ 이다.}

\noindent{\bf (a)} $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$는 field인가?

field인가를 확인하려면 시간 중에 공부한 field의 조건을 모두 확인하여 보아야 한다. 조건은 모든 원소에 대하여 다음이 성립하는 것이다.

{덧셈에 관하여}

$k+h=h+k$
$k+(h+l)=(k+h)+l$
다음 조건을 만족시키는 원소 $0$이 유일하게 존재한다:

임의의 $k$에 대하여 $k+0=k$.

임의의 $k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 원소 $h$가

유일하게 존재한다: $k+h=0$ (이러한 $h$를 보통 $-k$로 나타낸다.)

{곱셈에 관하여}

$kh=hk$
$k(hl)=(kh)l$
다음 조건을 만족시키는 원소 $1$이 유일하게 존재한다:

$1≠0$이며, 임의의 $k$에 대하여 $k1=k$.

임의의 $0$이 아닌 $k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 원소 $h$가

유일하게 존재한다: $kh=1$ (이러한 $h$를 보통 $k^{-1}$ 또는 $\dfrac1k$로 나타낸다.)

덧셈과 곱셈의 관계에 대하여

$k(h+l)=kh+kl$

힌트

이제 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$에 대하여 위의 조건이 성립하는 것을 확인할 때 생각하면 좋은 점을 몇 가지 정리한다.

{덧셈에 관하여}

직접 써서 확인한다.
위와 같음
$0$으로는 우리 집합에서 $0+0\sqrt{2}$라는 모양의 원소를

잡으면 된다. 실수라고 생각해 보면 보통 때의 $0$을 잡는 것. $k+0=k$ 임을 확인하면 된다.

$k=α+β\sqrt{2}$에 대하여 $-k=(-α)+(-β)\sqrt{2}$를

잡으면 된다. $k+(-k)=0$임을 확인하면 된다.

곱셈에 관하여

위와 같음
위와 같음
$1=1+0\sqrt{2}$ 라고 잡으면 된다. 이것은 $0$과 다르다.(왜?)

$\alpha+\beta\sqrt{2}$ 꼴의 $k$에 대하여 $k1=k$이 성립함을 확인할 것.

$k=α+β\sqrt{2}$에 대하여

$$ k^{-1}=\frac{\alpha}{\alpha^2-2\beta^2}

\bigg(-\frac{\beta}{\alpha^2-2\beta^2}\bigg)\sqrt{2}

$$ 라고 잡으면 된다. 이것이 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$의 원소인가, 그리고 원하는 조건을 만족하는가 곱하여 확인하여 볼 것.

덧셈과 곱셈의 관계에 대하여

실수이므로 성립한다.

\noindent{\bf (b)} 정수를 계수로 이러한 꼴의 수 들을 만들면 field가 되지 못한다. 이유는 곱셈에 대한 역원을 찾을 수 없을 때가 있기 때문이다. 예를 들기 위하여 역원을 찾을 수 없는 원소를 하나만 들자. $k=\sqrt{2}=0+1\sqrt{2}$라고 하자. \[ \sqrt{2}(\alpha+\beta\sqrt{2})=1 \] 을 정리하면 $\alpha=0$, $2\beta=1$ 이 되어 $β=1/2$이 아니면 안 된다. 따라서 $\sqrt{2}$는 정수를 계수로 하는 모양의 곱의 역원을 가지지 않는다. 즉 field가 아니다.

(혹시 $\sqrt{2}$ 대신에 $1+\sqrt{2}$를 잡으면 이것은 역원을 가진다. $-1+\sqrt{2}$가 역원임을 확인하여 보아라.)

질문?

문제 2

1학기 교과서를 볼 것.

질문?

문제 3

$ξ$가 무리수일 때, $\mathbb{Q}$ 위에서 $1,ξ$가 일차독립임을 보이자.

유리수 $a,b$에 대하여 \[ a\cdot 1+b\cdot\xi=0\] 이라 하자. $b≠0$이라 가정하면 $\xi=-a/b$ 가 되어 $ξ$가 유리수가 되므로 모순이다. 따라서 $b=0$이다. 따라서 $a=-b\xi=0$ 이다. 즉 $a=b=0$이 되어야 한다. 따라서 $1,ξ$는 일차독립이다.

역으로 $1,ξ$가 일차독립이라 하면 $ξ$가 무리수임을 보이자.(조교선생님 답이 옳음) $ξ$가 유리수라 가정하면, \[(-\xi)\cdot 1+1\cdot\xi=0\]이므로 $1,ξ$가 일차종속이 되어 모순이다. 따라서 $ξ$는 무리수이다.

질문?

문제4

스칼라체가 $\mathbb{R}$, 또는 $ \mathbb{C}$ 라고 가정하면 조교선생님의 풀이가 옳다.

이러한 comment를 다는 이유는 이 문제의 풀이 과정에서 [$2a=0$이므로 $a=0$이다] 라는 논법을 사용하기 때문이다. 스칼라체에 따라서는 이러한 논법을 쓸 수 없는 경우가 있다. 즉 어떤 체에서 는 $2=1+1=0$이 될 때도 있으며 이 때는 $2=0$이므로 $2a=0$이면서도 $a≠0$일 수도 있기 때문이다.

질문

문제5

(a) ($ ⇒$)

일차종속이라 가정하면, $a(\xi_1,\xi_2)+b(\eta_1,\eta_2)=(0,0)$ 인 $(a,b)≠(0,0)$이 있다.

$a≠0$이라 가정하자 ($b≠0$인 경우도 마찬가지로 증명하면 된다.)

$\xi_1=-(b/a)\eta_1$ 이고 $\xi_2=-(b/a)\eta_2$ 이므로 \[\xi_1\eta_2+\xi_2\eta_1=0\] 이다.

($ ⇐$) $\xi_1\eta_2-\xi_2\eta_1=0$ 이라 가정하자. $(η_1,η_2)≠(0,0)$일 때는 ( $ (ξ_1,ξ_2)≠(0,0)$일 때도 마찬가지 방법으로 증명하면 된다.) \[ \eta_2(\xi_1,\xi_2) +(-\eta_1)(\xi_2,\eta_2)=0 \] 이 된다. 따라서 두 벡터는 1차 종속이다.

(b) 위의 문제와 같은 방법으로 조교선생님의 풀이를 따르면 된다. 단지 풀이에서 나누는 각 항이 0인 경우를 따로 따져 줄 필요가 있다.

질문

문제 6

조교선생님 풀이가 옳음. 이 문제는 시험에 안 나옴

질문

문제 7

문제의 가정으로부터 $ V⊂ M∪ N $ 이므로 $ V=M∪ N $ 이 되고 따라서 조교선생님의 case (i) 은 필요 없다. 마지막에서 두 번째 줄, 마지막 식은 $ v_1+v_2 \not\in N $ 이라고 써야 옳다. 이 줄이 왜 성립하는지를 확인할 것.

질문

문제 8

(a) 이 문제를 푸는데 차원정리를 쓰는 것은 옳지 않다. 왜인가는 차원정리를 잘 살펴보면 알 수 있지만, 이 정리는 전체공간이 유한차원일 때 유한개의 basis를 구하는 방법으로 증명하고 있다. 우리가 증명한 차원정리는 차원이 무한인 공간 $ P $ 에는 적용할 수 없는 형태이다. 우리가 이 문제를 푸는 방법은 직접 $ P/M $ 에서 얼마든지 많은 일차독립인 벡터들을 찾아내서 보여줌으로써 이다. 즉 $ t^{n+1},…,t^{n+k} $ 은 $ P $ 의 벡터들이다. 이 각각의 벡터들을 포함하는 $ P/M $ 의 원소들은 각각 $ \{t^{n+1}\} $ , … , $ \{t^{n+k}\} $ 라고 쓸 수 있다. 이것들이 일차독립임을 보이면 일차독립인 벡터의 개수가 임의의 자연수 $ k $ 만큼 있다는 것이 되어 유한한 개수의 basis를 가질 수 없다. 즉 차원이 무한이 되는 것이다. 이제 이들이 일차독립임은 다음과 같다. \[ \{ a_1 t^{n+1} + \cdots + a_k t^{n+k} \} = \{0\} \] 라고 하면, $ a_1 t^{n+1} + \cdots + a_k t^{n+k} $ 는 $ M $ 의 원소라는 뜻이고 따라서 적당한 $ b_i $ 들에 대하여 \[ a_1 t^{n+1} + \cdots + a_k t^{n+k} = b_0 + b_1 t + \cdots + b_n t^n \] 이 된다. 이로부터 $ a_1 = \cdots = a_k = b_0 = \cdots = b_n = 0 $ 임을 알 수 있다. 즉 이들은 일차독립이다.