풀이2

직접 계산하여 보일 것.

$y$는 $V$ 위에 정의된non-zero linear function 이므로 $p\in V$ 가 존재하여 $y(p)=q\ne 0$ 가 된다. 이제 임의의 스칼라 $\alpha$에 대하여 $\alpha p/q$ 에서 $y$의 값을 계산하여 보면 $$y\left(\frac{\alpha p}{q}\right)=\frac{\alpha }{q}y(p)=\alpha$$ 이므로 $y(x)=\alpha$ 인 $x={\displaystyle \frac{\alpha p}{q}}\in V$가 존재한다. (박배준의 답)

만일 $z=0$ 이라면 모든 $x$에 대하여 $z(x)=0$이므로 문제의 조건에 의하여 모든 $x$에 대하여 $y(x)=0$이 되어 $y=0$이 되고 따라서 항상 $y=x$가 된다. 즉 $\alpha =1$이면 된다.

이제 $z\ne 0$이라면 $z(x_0)\ne 0$인 $x_0$가 있다. 이 때, 힌트와 같이 $\alpha =y(x_0)/z(x_0)$ 라 놓자. 이제 모든 $x$에 대하여 $y(x)=\alpha z(x)$임을 보이자. \[3mm] $x$를 임의로 잡자. $$x=\frac{z(x)}{z(x_0)}{x}_0+x–\frac{z(x)}{z(x_0)}{x}_0$$ 이므로 $$y(x)=\frac{z(x)}{z(x_0)}y(x_0)+y(x–\frac{z(x)}{z(x_0)}{x}_0)=\alpha z(x)–y(x–\frac{z(x)}{z(x_0)}{x}_0)$$ 이다.

한편 $z(x–\frac{z(x)}{z(x_0)}{x}_0)=0$ 이므로 $y(x–\frac{z(x)}{z(x_0)}{x}_0)=0$ 이다. 따라서 $y(x)=\alpha z(x)$ 이다.

(증명 끝)

$y_i$는 $V$에서 $\mathbb{R}$로의 1차함수이다. 따라서 $(y_1,\dots ,y_m)$라고 쓰면 이것은 $V$에서 ${\mathbb{R}}^m$으로의 선형사상을 정의한다. 이 선형사상을 $S$라고 하자.

이제 모든 $i=1,\dots ,m$ 에 대하여 $y_i(x)={\alpha }_i$라 함은 $S(x)=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$ 라는 뜻이다. 그러므로 문제에서와 같은 $x$가 존재한다는 말은 $v=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$라는 ${\mathbb{R}}^m$의 벡터가 $S$의 range $R_S$에 속한다는 말과 같다. 이제 교과서 21쪽 정리 $2^{\prime }$을 사용하면 이 말은 벡터 $v=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$가 $N_{S^{\prime }}^{\perp }$에 속한다는 말과 동치이다. 이 말을 풀어 써보자.

~

$v\in N_{S^{\prime }}^{\perp }$ $\iff$

$\forall l\in N_{S^{\prime }}$에 대하여 $l(v)=0$ $\iff$

[ $S^{\prime }l=0$ $\Rightarrow$ $l(v)=0$ ] $\iff$

[ [ $\forall z$에 대하여 $S^{\prime }l(z)=l(Sz)=0$ ] $\Rightarrow$ $l(v)=0$ ] $\iff$

~ ~ ~ ~ ~ 이 말을 풀어쓰면

[ $S^{\prime }l=l\circ S$ 라는 1차함수가 상수함수 $0$이면 $l(v)=0$ 이다. ]

~

~ ~ ~ ~ ~ $({\mathbb{R}}^m{)}^{\prime }$의 원소인 ${\mathbb{R}}^m$의 1차함수 $l$은

~ ~ ~ ~ ~ ${\lambda }_1{k}_1+\cdots +{\lambda }_m{k}_m$ 꼴로 나타낼 수 있으므로

~ ~ ~ ~ ~ $S^{\prime }l=l\circ S={\lambda }_1{y}_1+\cdots +{\lambda }_m{y}_m$ 이다.

~ ~ ~ ~ ~ 따라서 위의 말은 다음과 동치이다.

~

$\iff$ [ ${\lambda }_1{y}_1+\cdots +{\lambda }_m{y}_m=0$ $\Rightarrow$ ${\lambda }_1{\alpha }_1+\cdots +{\lambda }_m{\alpha }_m=0$ ]

~

이제 이것을 방정식에 적용하여 보자. $y_i(x)={\alpha }_i$라는 것은 1차방정식이다. 따라서 문제는 $m$개의 비제차인 $n$원 1차 연립방정식에서 상수항 ${\alpha }_i$들에 대하여 방정식의 해가 적어도 하나 존재하기 위한 ${\alpha }_i$들의 필충조건을 구하라는 것이다. 그 답으로 얻은 조건은 다음과 같다. 즉, $y_i$들이 1차종속일 경우에만 문제가 되며, 이 경우에는 $y_i$의 1차결합으로 0함수를 만들 수 있을 때 이 1차결합과 똑 같은 모양으로 ${\alpha }_i$의 1차결합을 만들면 이것도 항상 0이 된다는 조건을 ${\alpha }_i$들이 만족하여야만 이러한 해 $x$가 있다는 뜻이다.