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미분가능다양체론의 강의목표는 다양체의 구조를 밝히는 몇 가지 일반적인 방법 가운데 하나인 de Rham – Hodge 의 이론이다. 전체적인 내용은 Frank Warner의 유명한 교과서인 Foundations of Differential Manifolds and Lie Groups 를 따른다. 이 교과서는 매우 잘 쓴 것이지만 한 학기에 맞추기 위하여 다른 책과 병행해서 나간다. 강의의 스타일은 내용을 따라가되 많은 복잡한 정리의 증명은 빼고 예(example)를 통하여 이해하는 방식을 쓴다. 특히 강의를 수월하게 따라갈 수 있도록 선수과목의 내용도 섞어서 이야기하며 이에 필요한 내용을 담은 참고서를 교과서로 사용한다. 구체적인 내용은 다음과 같다.

미적분학 및 행렬: 가장 기초가 되는 행렬과 벡터해석 부분의 기본이 쓰여 있다.
해석학: 미분형식의 적분이론은 이 교과서를 참조한다. 단지 개개인이 공부한 교과서가 모두 틀리므로 자신의 교과서로 공부하면 되지만 부족한 부분이 있는 경우에는 Walter Rudin의 Principles of Mathematical Analysis를 공통 참고서로 사용한다.
선형대수: 여기서 필요한 선형대수의 내용은 그 전체라고 할 수 있다. 특별히 내적공간의 이론을 많이 사용하지는 않지만 일반적인 basis change의 이론과 duality 및 multilinear algebra의 이론은 매우 중요하다. 이 가운데 multilinear algebra는 시간중에 공부할 것이며 그 밖의 것은 스스로 공부하여 채워넣기로 한다.
다양체의 위상적인 성질을 잘 설명한 책은 Boothby의 교과서이다. 그러나 이것은 참고서로서 그친다. 필요한 사람만 읽어보기로 한다.
미분방정식의 이론을 잘 설명한 것도 이 책이다. 이 부분은 시간중에 짚고 넘어갈 것이다.
다양체의 예로서 가장 중요한 것은 Lie group이다. 우리는 Warner의 교과서에서 기본적인 예 몇 개만 가지고 Lie group과 Lie algebra의 가장 기본적인 내용만 알아본다.
Sheaf의 Cohomology 이론은 간략한 노트를 만들어 보겠지만 몇 가지 중요한 예와 definition, 그리고 중요한 정리 몇 개를 소개함으로써 어떠한 이론이 전개되고 있는가만 알아본다. 자세한 내용이 필요한 사람은 대수위상기하의 singular 또는 simplicial homology와 cohomology 이론을 공부한 다음 Cech의 이론을 공부한 다음에는 곧바로 이해할 수 있다.
Hodge의 이론은 수학의 모든 분야를 총 망라하는 이론으로서 거창하게 이야기하면, 리만 다양체의 미분작용소, 타원형 편미분방정식의 해의 정칙성 등을 de Rham의 cohomology class에 적용함으로써 cohomology element를 계산할 수 있는 미분형식 가운데서도 아주 좋은 대상(harmonic form)들로 나타낼 수 있다는 이론이다. 우리는 정리의 증명들은 대략적으로 훑을 예정이며 각 이론에서 등장하는 개념의 정의를 제대로 파악하고 구체적인 예를 볼 수 있으면 충분할 것이다.