해석학에서

$ E,F$ 가 Banach 공간이고 $ f$ 는 $ x_0∈ E$ 의 근방 $ V$ 위에서 $ F$ 로 정의된 연속미분가능함수이다. 다음을 만족시키는 두 실수 $ β>0$ 와 $ λ>0$ 가 존재한다고 하자:

1. $ \| f(x_0) \| < β/(2λ) $
2. 구 $ U: \|x-x_0\| < β$ 의 내부에서 $ f’$ 의 oscillation이 $ ≤1/(2λ)$ 이다.
3. 각 $ x∈ U$ 에 대하여 $ f'(x)$ 는 $ E$ 에서 $ F$ 로의 isomorphism이고 $ \|(f'(x))^{-1}\|≤ λ$ 이다.

이제 $ (z_n)$ 이 $ U$ 의 임의의 sequence라고 하자. 이 때, \[ x_{n+1} = x_n – (f'(z_n))^{-1}\cdot f(x_n)\] 으로 정의되는 $ U$ 의 sequence $ (x_n)$ 이 존재하여, 이 sequence는 $ U$ 의 점 $ y$ 로 수렴하며 $ y$ 는 $ U$ 에서 방정식 $ f(x)=0$ 의 유일한 해임을 보여라.

”’Hint”’: 식 \[ \| f(b)-f(a)-f'(x_0)\cdot(b-a) \leq \| b-a\| \cdot \sup_{x\in U} \|f'(x)-f'(x_0)\| \] 를 써서 $ \|x_n-x_{n-1}\| < 2^{-n}β$ , $ \|f(x_n)\| < β/(2^{n+1}λ)$ 임을 보여라.