복소해석학2

수학과 2009160192 허정호

Complex Analysis (Lipman Bers)

One of the first purely mathematical problems ever considered was the solution of quadratic equations. 이차방정식의 해를 구하는 것은 순수 수학 역사에 있어서 가장 오래된 문제 중 하나였다. The technique of solving such equations was discovered in ancient times in Babylonia; it is essentially the same technique as is taught today in high schools. 그러한 방정식의 해를 구하는 기법은 고대 바빌로니아에서 발견되었다. 그리고 그것은 오늘날 고등학교에서 우리가 배우는 것과 본질적으로 같다. To find a number \[ x \] such that \[ x^2 – 2x – 15 = 0 \] ,we write the equation in the form \[ x^2 – 2x + 1 – 16 = 0 \] and conclude that \[ (x – 1)^2 = 16 \] which is the same as \[ (x – 1)^2 = 16 \] so that either \[ x – 1 = 4 \] or \[ x – 1 = -4 \] . Hence either \[ x = 5 \] or \[ x = -3 \] . \[ x^2 – 2x – 15 = 0 \] 를 만족하는 수 \[ x \] 를 찾기 위하여 우리는 주어진 방정식을 \[ x^2 – 2x + 1 – 16 = 0 \] 로 고쳐쓸 수 있고 이것은 다시 \[ (x – 1)^2 = 16 \] 과 같다. 따라서 \[ x – 1 = 4 \] 이거나 \[ x – 1 = -4 \] 이게 된다. 그러므로 \[ x = 5 \] 또는 \[ x = -3 \] 이다. But there are quadratic equations for which this method of “completing the square” fails. 그러나 이러한 “완전제곱” 방식을 쓸수 없는 이차방정식이 존재한다. For instance, if we want to solve the equation \[ x^2 – 2x + 17 = 0 \] , we are led to finding a number \[ x \] such that \[ (x – 1)^2 = -16 \] , and this seems impossible. 예를 들어, 우리가 만약 \[ x^2 – 2x + 17 = 0 \] 과 같은 방정식을 풀고자 한다면 그것은 \[ (x – 1)^2 = -16 \] 를 만족시키는 \[ x \] 를 찾는 것과 같고 이것은 불가능 해 보인다. The square of a number is never negative. 어떤 실수의 제곱은 절대 음수가 될 수 없다. As a matter of fact, there was no need to consider a somewhat elaborate example. 사실 위와 같이 복잡한 방정식을 예로 들 필요는 없다. The simple quadratic equation \[ x^2 = -1 \] clearly has no solutions. 간단한 이차방정식 \[ x^2 = -1 \] 은 분명히 해를 갖지 않는다.

During the Renaissance an Italian mathematician had the brilliant and somewhat crazy idea of imagining what whould have happend if there were a number whose square is -1. 르네상스 시대에 이탈리아의 한 수학자는 제곱해서 \[ -1 \] 이 되는 수가 존재한다면 어떤 일이 벌어질 것인 가와 같이 천재적이면서도 말도 안되는 생각을 하게 되었다. This number is denoted today by \[ i \] and is called the “imaginary” unit. 이 숫자는 오늘날 \[ i \] 로 쓰여지며 “imaginary” unit 이라고 불리운다. The agreement, originate during the Renaissance and still used today, is that we compute with \[ i \] as if it were an ordinary number, but whenever the term \[ i^2 = i X i \] appears, it is replaced by \[ -1 \] . 이 \[ i \] 를 마치 실수처럼 계산을 하는 방식은 르네상스 시대부터 시작해 왔으며 아직도 쓰여진다. 한편 \[ i^2 = i X i \] 은 \[ -1 \] 로 대신 쓸 수 있다.

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