22, March.
- Check that $ f^{-1}:B→ A$ ( $ a=f^{-1}(b)$ ⇔ $ b=f(a)$ ) is well-defined.
- ”Lemma 2.1” proof.
- ”Exercise #5” (p.21), and consider why this should be 1-1, onto.
- Check these. ① $ f:A→ B$ : 1-1 ⇔ \(\forall g,h:Z\to B\) ( $ fˆ g = fˆ h$ ⇒ $ g=h$ ) and ② $ f:A→ B$ : onto ⇔ \(\forall g,h:B\to Z\) ( $ gˆ f = hˆ f$ ⇒ $ g=h$ ).
- ”Exercise #2” (p.20), and consider counterexample to know why.
20, March.
- Prove that $ f∪(A_0× B)$ . [restriction part]
혹시, $ f∩ A_0× B = $ restriction of $ f $ w.r.t. $ A_0 $ 을 묻는 문제인가요? -이 말이 맞아요.
- Check $ (gˆ f)$ is a function. [composite fn part]
- Choose and translate one section of Naive Set Theory(after sec.4, Halmos) or Topology(textbook, Munkres). [submit at the end of march]
메일로 제출하는 건가요? 학교 메일로 보냈스ㅂ니다
15, March.
- Define distrubutive, associative, communicative law and complement of union/intersection in general sense.
- Prove that if $ a=b$ , $ (a,b)$ is singleton.
Solution
2: By the definition of oredered pairs,
$ (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$
If $ a=b$ , $ (a,a)=\{\{a\},\{a,a\}\}$ and $ \{\{a\},\{a,a\}\}=\{\{a\},\{a\}\}$ .
(∵ If two elements is same, set only express one element. Therefore $ \{a\}=\{a,b\}$ if $ a=b$ )
By the same manner, $ \{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}$ .
Therefore, if $ a=b$ , $ (a,b)$ ⇒ $ \{\{a\}\}$ . The proof is complete.
-2012. 3. 15 2006140631 이승후
- “set only express one element.” 이 명제에 대한 증명이 필요하지 않나 생각해 봤습니다.
a를 두개 가진 집합과 a를 1개 가진 집합을 같다고 받아들일 수가 없었습니다. 솔직히 ‘할모스가 이 문제 전까지 제시한 공리들만을 가지고도 a를 1개 가진 집합이 정말 존재하는 지 답할 수 있을까’라는 생각도 들었습니다. 일단 존재해야 {a, a} = {a}란 명제도 가능하잖아요. 뭐 책에서는 {a, a}를 {a}로 표기하자고 약속하지만 철수가 다른 이름을 갖는다고,예를 들면 영희, 진짜 영희가 되는 건 아닌 것 같구요^^ 고민하다가 이런 식의 논리를 펴봤습니다.
Suppose a set, A exists. Then, by the axiom of pairs, we know a set, {A, A} also exists. This time, suppose a set containing A only exists and let’s denote it as {A}. Now, I claim {A, A} = {A}. <- a proof on it can be easily given through usual ways. Therefore, the set {A} really exists and that is {A, A}
조금 찜찜한 것은 이미 존재하는 P가 가상의 Q와 같다고 해서 P = Q이고 따라서 Q는 존재한다고한 부분입니다. 계속 곱씹다보니 그런 것 같기고 하네요^^;; 그런데 줄바꿈은 어떻게 하죠, 죄송.
질문 : 할모스를 따른다면 “set only express one element.” 이 명제의 증명이 필요한가요? 근데 이 문장이 할모스 책 어디에 있는 건가요? 몇쪽, 몇째줄? 할모스 책에 나오진 않고 위에 이승후씨가 증명에서 사용한 명제입니다.