Q: ruri의 질문: 
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A: Q1: 물론 돼요. 그것은 V’을 소실점 약간 앞에서 소실점으로 움직이면서 극한을 생각해 보면 좌변, 우변이 각각 앞의 식으로 수렴하니까요. 뒤식은 정의니까 물어볼 것도 없고요.
Q2: 캔버스 말고 땅에서 두 직선이 평행이라는 것은 서로 만나지 않는다는 것이고요. 사영평면에서는 모든 직선이 서로 만나니깐, 땅에서 안만나는 것은 당연히 땅에 없는 점에서 만난다는 말이지요. 이곳이 무한원점들이니까… 즉 땅에서 평행하다는 말은 무한원점에서 만난다는 말과 같아요.
Q3: 맞아요. 그렇게하면 부호가 깨끗해지는데 책에서는 땅을 위(원점)에서 내려다보는 모양으로 모든 것을 썼기때문에…
Q4: 다 됐는데… 평행한 직선 3개 씩이지요. 그 만나는점들은 각각 평행사변형의 꼭지점들이쟎아요? 그러니까 비례식만 쓰면 될텐데… 기울기만 구해보면 되지요?
Q5: 교과서 읽어보면 알 수 있을거예요.
Q6: 아마 안 나올 것 같아요. 보장은 못함.
Q7: line at infinity는 단지 어느 평면(캔버스)에 그리는가에 따라 달라지는 것이지요. 그리고 복비는 캔버스를 바꿔도 변하지 않고요… line at infinity 에서는 거리가 없으니까 복비를 정의할 수 없지만, 다른 캔버스로 옮기면 line at infinity가 아니니까 문제 없지요.
Q8: 맞아요. V4는 V4로 가고요.
Q: ms의 질문:
- 먼저 서로다른 세실수 주어질때 1차분수함수가 있고 a->1 b->0 c->∞ 로 보내는 1차분수함수가 유일함을 보이는것을 일일이 x에 a넣고 b를넣고 c를 넣을때 함수가 가질값에 대한 식을 만들고 (예를들어 Aa+B/Ca+D = 1 이런식들..) 거기에서 다른 함수가 있다고 가정하고 A’a+B’ / C’a+D’ = 1 이런식을 식을 만들고, 결국 이런 논리고 식을 변형시켜보면 A=A’ B=B’ C=C’ D=D’ 가 된다. 이런식으로 증명하는 건가요? 이렇게 해보니 너무 복잡하던데요. 제가 깔끔한 증명이 있는데 헛도는 기분이 들어서 다른 방법으로의 접근방법이 있는지 궁금해서 이렇게 여쭈어 봅니다.
- 1차분수가 복비를 보존함을 보이라는 문제에서요 1차분수함수가 ax+b /cx+d ( ad-bd ≠ 0) 라고 주어질때 이 함수는 일종의 사영변환이라고 생각할수 있고 ( -d/c 인점을 ∞ 보내는 사영변환..) 사영변환은 복비를 보존한다는 정의에 의해 복비가 보존된다. 이렇게 하는것이 올바는 해답이 될수있을까요?
- 마지막으로 사영변환이 합성에 닫혀있음을 보이는것이 어떤 A라는 형상을 사영변환시켜서 만든 형상이 A’라고 할때 이 형상 A’는 또다른 A”라는 사영변환시킨 형상으로 나타낼수 있다는것을 의미하는 것인지 궁금합니다..
A:
- 우선 문제 1은 원칙적으로 그것이 맞아요. 그런데 그 세 조건들을 가지고 이 함수를 정하려고 보면 두 번째 b->0 이라는 조건에서 함수의 분자 부분은 x-b라는 인수를 가져야 하고, 세번째 조건에서 분모부분은 x-c라는 인수를 가져야 하니까. 이제 나머지 조건을 가지고 해 보면 함수가 하나 뿐임을 금방 보일 수 있는데…
- 문제 2에서는 아래 말한대로 하려면 1차분수함수가 사영변환이라는 것을 증명하면 되지요. 노트에 대략 있지요. 그러지 않고 직접 계산해서 보일 수도 있는데… 우선 1차분수함수는 1/x 라는 함수와 x+a, cx 꼴의 함수를 적절히 여러번 합성해서 만든 것이니까 이 세 함수가 복비를 보존한다는 것을 보여도 돼요…
- 세 번째 문제는 쉬운데 사영변환이라는 것은 배경변환(투시)을 여러번 되풀이한 것이니까 이런 것이 두 개 있어서 합성하여도 배경변환을 합해놓은 것 만큼 되풀이하는 것에 불과하지요. 따라서 합성에 대하여 닫혀있어요.