추석 전까지 공부한 내용입니다.
(TableOfContents)
1차함수
1학기 때 1차함수는 말 그대로 변수( $ x_1,…,x_n $ )의 일차함수를 말하는 것이었다. 이제 변수벡터가 단순히 숫자의 나열로 이루어진 $ \mathbb{R}^n $ 의 벡터가 아닌 일반적인 벡터공간의 벡터인 경우에는 어떻게 주어진 함수가 일차함수라는 사실을 알아낼 수 있는가? 이것을 제대로 하려면 일차함수가 되기 위한 조건을 변수에 대한 1차식이라는 것 말고 다른 방식으로 표현하는 법을 알아내야 한다. 그것이 선형성(linearity)이고 1학기 때 이미 배웠었다. 이 조건은 \[ l(x+y)=lx+ly, \quad l(kx)=k(lx) \] 라고 쓸 수 있다. 이 조건을 만족시키는 1차함수를 예전에 1차식을 다루듯이 자유자재로 사용할 수 있으려면 이런 일반화된 1차함수에 대하여 기본적인 성질을 알고 있어야 한다. 이를 위한 정리가 정리 1이다. 이 정리는 기본적으로 1차함수의 모양이 예전에 사용하던 것과 다르지 않다는 말을 하고 있다. 즉 공간의 basis를 하나 정하고, 이로 부터 만들어지는 특수한 1차함수들인 좌표함수들을 사용하면, 이들의 1차결합 즉 1차식 꼴로 1차함수 전부를 나타낼 수 있다는 것이다. 또 다시 말하면 추상적인 벡터공간 위에 정의된 추상적인 1차함수도 실제로 들여다보면 기본함수의 1차식에 불과하다는 말이다. 이제 우리는 이런 어려운 공간에서도 1차함수를 1학기 때와 마찬가지로 쓸 수 있는 것이다.
쌍대공간: 1차함수의 공간
쌍대공간(Dual Space)
위에 설명한 정리 1은 또 한 가지 이야기를 하고 있다. n 차원 벡터 공간에는 1차함수가 얼마나 많이 있는가? 이것은 일반적인 벡터공간에서 다른 방식(추상적)으로 1차함수를 정의한 마당에 매우 궁금한 것이다. 혹시 우리가 정의한 방식이 별로 좋지 않아서, 또는 어떤 다른 이유 때문에 1차함수라고 부르려는 것들이 쓸데 없이 너무 많은 것은 아닌가? 등등 여러 가지 생각이 들게 된다. 그러나 정리 1은 그럴 수가 없다고 말하고 있다. 즉 1차함수는 좌표함수의 1차결합 뿐이고 좌표함수들은 서로 1차독립이므로 1차함수의 개수는 정확히 벡터공간의 벡터만큼 밖에는 없다는 것이다. 즉 이 공간의 1차함수 전체는 또 다시 n 차원 벡터공간 꼴을 하고 있다는 것이다. 이 공간을 ”’쌍대공간”’이라고 부르기로 한다.
쌍대라는 말은 단순히 이것만을 뜻하는 것은 아니다. 이말은 주어진 벡터공간에 대하여 그의 쌍대공간이 하는 역할과 똑같이 쌍대공간에 대하여 주어진 원래의 벡터공간이 같은 역할을 하고 있다는 것이다. 즉 그 둘은 서로 마주 보면서 서로 서로에게 같은 관계를 이루고 있다. 즉 마치 상대편은 모양만이 아니라 자신과의 관계에서도 자신을 거울을 통하여 보는 것과 같이 일종의 대칭성을 가지고 있다는 것이다. 이것이 두 대상 사이의 관계를 \[ l(x)=(l,x)=x(l)=xl \] 등과 같이 여러 가지로 나타내는 것을 설명하여 주고 있다. 이것은 예전의 1차함수를 볼 때, \[ ax+by+cz=xa+yb+zc \] 와 같이 쓰고 보면 $ (x,y,z) $ 가 변수인지 $ (a,b,c) $ 가 변수인지 구별이 안되는 것을 설명하는 것이다. 구별 못하는 것이 잘못이 아니라, 원래 구별이 안 되게 되어 있는 것이었었다. 1차함수는 벡터에 작용하고, 이와 똑 같이 벡터는 1차함수에 작용하는 것이므로 구별은 서로에 대해서만 되지(한쪽을 벡터라고 하면 상대편이 1차함수인지 알지만) 절대적으로는 구별이 안되는 것이다(어느쪽이 진짜 벡터인지는 알 수 없다.).
구별을 못하니까 잘 모르는 것 같고 구별을 할 수 있는 것 보다 나쁜 것 같지만 사실은 그 반대이다. 구별을 할 수 없다는 것은 훨씬 더 자유롭게 사용할 수 있다는 말도 되기 때문이다.