Q: 안녕하세요. 바로 밑 질문을 했던 학생인데요. 밑에다 적으면 불편하실것같아 위에다 적어봅니다. 곡면을 나타낼때 직교좌표계를 쓰지않으면, 그러니까 각점에 접하는 벡터공간의 basis들이 서로 수직이 아닐수도있으면 metric 을 행렬로 표현할때 \(0\) 이아닌 비대각성분이 나타난다고 알고있는데요. 함수공간에서 basis 를 서로 수직하지않게 잡는다면 내적을 어떻게 표현해야하나요? 벡터공간만 생각해보아도 저에게는 너무 어렵네요. 지난번 가르쳐주신대로 내적 $ xu+yv $ 를 $ g_{11}xu+g_{22}yv (g_{12}=g_{21}=0) $ 으로 바꾸는것이
\[ \langle f,g\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}f^{*}(x)h(x)g(x)dx \]
에 해당하는 것처럼 \[ \langle (x,y),(u,v) \rangle = g_{11} xu + g_{12} xv + g_{21} yu + g_{22} yv \] 은 함수공간의 어떤 내적에 해당하는지 궁금합니다. 아 그리고 지난번 답변 감사드립니다.- 유상현
A: 나도 별로 생각해 보지 않아서 그냥은 잘 모르겠네요. 아, 보통 Hilbert 공간에서는 직교좌표를 잘 쓰고요, 직교좌표에서는 성분의 곱의 (무한)합으로 내적을 나타낼 수 있으니까 이것의 중간에 (무한)행렬을 넣어서 $ {}^tXAY $ 처럼 쓰는 것이면 되겠지요. 일반적으로는 다음과 같이 나타내야 하겠네요: $ A $ 는 positie definite인 linear transformation으로 함수공간에서 자기 자신으로 정의된 것으로 하면 새 내적은
$ ⟨ X,AY ⟩ $
이라고 쓰면 되겠네요. 여기서 괄호는 먼저 쓰던 내적임. 이런 A의 예는 함수를 직교basis에 대하여 썼을 때는 위와 같이 행렬꼴로 써 볼 수 있을 것 같고요, 그렇지 않고 직접 함수에 작용하는 예로 잘 알려진 것은
$ I + Δ $
같은 것을 들 수 있어요. 여기서 I 는 단위사상 $ v → v$ 이고 $ Δ $ 는 Laplacian 즉, $ x $ 에 대하여 두 번 미분하고 그 결과에 마이너스 부호를 붙여주는 사상입니다. – 김영욱
-— Q: 미분기하학을 배우던 도중 떠오른 질문이 있어서 이렇게 질문하게되었습니다. 내적
\[ ds^2 = E(u,v)du^2 + 2F(u,v)dudv + G(u,v)dv^2 \]
에서 곡면의 각점 (u,v) 마다 E,F,G의 값이 달라지고 내적이 달라지면서 휘어진곡면을 나타내게 된다고 배웠는데요. 평면은 휘어지지않고 E,F,G의 값이 일정한 벡터공간이라는것도 배웠습니다. 그런데 함수들이 모여있는 공간도 벡터공간이라는것을 배웠거든요. 그리고 보통 함수공간에서 내적이
\[ \langle f,g\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}f^{*}(x)g(x)dx \]
이렇게 주어지는 경우가 많더라구요.( $ f(x) $ 의 켤레복소수를 $ f^{*}(x) $ 라고 썼습니다.) 함수공간도 벡터공간이라 평면과 비슷한 일종의 평평한 공간이라고 볼수도 있을것같은데요. ds^2 의 E,F,G값이 곡면의 각점마다 달라지면서 휘어진곡면을 나타내는것처럼 $ ⟨ f,g⟩ = ∫_{-∞}^{+∞}f^{*}(x) [ XXX ]g(x)dx $ 의 $ [XXX] $ 안에 (E,F,G와 비슷하게) 함수공간의 각점마다 값이 바뀌는 무언가가 들어가면 휘어진함수공간(?)같은걸 나타내게되는게 아닐까 하는 생각이 들었습니다. 그런것이 있을수있는지 알고싶어서 질문하게되었습니다. 짧게 쓰려고했는데 너무 길어졌네요. 죄송합니다. 그럼 답변기다리겠습니다. 감사합니다. – 물리학과 유상현
A: 좋은 질문입니다. 위의 생각에서 중요한 것은 함수들의 공간에서 점(벡터)는 함수 $ f,g $ 라는 것을 잊지 말기 바래요. 그러니까 각 점에서 내적이 바뀐다는 것은 $ f $ 와 같은 점이 바뀌면 내적이 바뀐다는 것이지요. 조금 복잡하지만 하나 하나 따져서 선형대수와 새로운 공간을 비교해보면 됩니다.
우선 위에서 말하는 개념은 벡터공간을 무한차원으로 바꾼 함수공간이고 이에 대한 이론은 보통 함수해석학이라는 과목에서 공부합니다. 무한차원벡터공간론이죠. 여기에 내적이 주어진 경우는 Hilbert공간론이라고 하고요. 그런데 각 점마다 접평면이 이런 Hilbert공간이 되어서 위와 같은 내적을 사용하여야 되는 공간은 Hilbert 다양체(manifild)라 하는데 이런 공간을 생각할 수 있습니다. 이런 내용을 공부하는 것은 이름이 Global Analysis(대역해석학)이라고 하는 분야에서 담당하는데 그 이유는 이런 공간의 이론에서 가장 어려운 것이 편미분방정식이기 때문입니다. 이 부분은 1970년 전후해서 많이 연구되었는데 요즈음은 조금 뜸한 편입니다. 기초적인 정의는 Serge Lang의 (Introduction to) differentiable manifolds 라는 책에 잘 나와 있고 이 책은 내적보다는 Norm(벡터의 크기)만 주어진 Banach manifold(바나크 다양체)에 대하여 쓰여 있어요. 쉽게 읽을 수 있는 다른 책은 얼른 생각나지 않네요.
이제 위에서 물어본 것을 조금 살펴보면 함수공간의 내적
\[ \langle f,g\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}f^{*}(x)g(x)dx \]
을
\[ \langle f,g\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}f^{*}(x)h(x)g(x)dx \]
와 같이 바꾸는 것은 마치 내적 $ xu+yv $ 를 $ axu+byv $ 와 같이 바꾸는 것이고 이것은 단순히 벡터공간에서의 내적을 바꾸는 것에 해당합니다. 따라서 원하는 식으로 구부러진 공간을 생각하는 것은 각 점이 함수같은 것들이고 이것의 접평면방향도 함수들로 이루어진 것을 생각해야 하지요.
예를 들면, 함수들로서 $ ∫_0^1 |f(x)|^2 dx =1 $ 을 만족하는 $ f $ 들의 집합을 생각하면 돼요. 이것은 마치 보통 벡터공간에서 구면(원)을 생각하는 것과 같아요. 이 면의 각점에서 접선방향을 모두 생각하면 무한차원 벡터공간이 되며 그 원소는 다시 함수가 되는데 이 내적은 점에 따라서 다른 공간의 내적이 됩니다. 즉 점에 따라 벡터공간 자체가 바뀝니다. 조금 더 복잡한 공간은 $ ∫_0^1 h(x)|f(x)|^2dx=1 $ 으로 정의된 $ f $ 들의 곡면을 생각하면 됩니다.
Q : 자세하게 답변해주셔서 정말 정말 진심으로 감사드립니다. 또 여쭈어볼것이 있는데요… 예로 들어주신 \(\int^{1}_0 |f(x)|^2 dx = 1\) 을 만족하는 $ f $ 들의 집합에서 각 점에 접하는 벡터공간을 계산해보고싶은데요. 작년 미분기하학에서 처음 배웠을때는 2차원곡면을 3차원 유클리드공간 안에 들어있다고 생각한 뒤 곡면을 나타내는 방법을 공부했었는데요. 이 방법과 비슷한 방법을 쓰면 될것같기는 한데 구체적인 계산방법을 모르겠네요. 더 높은 수준의 이론을 배워야 계산이 가능한가요? 그리고 하나 더 궁금한것이 있는데요. 2차원곡면이 3차원유클리드공간안에 들어있다고 가정하지않고, 리만기하학에서는 처음부터 2차원곡면을 독립적인 공간이라 생각한뒤 3차원유클리드공간에 대한 언급이 전혀없이도 곡면을 나타낸다는 것을 배웠는데요, 이것과 비슷한 방법을 써서도 접공간이 함수공간이 되는 공간을 나타낼수 있을까요? – 유상현 (Date(2007-01-23T19:14:27))
A: 우선 이 곡면은 구면이기 때문에 이 곡면 위의 한 점 $ f $ 에서의 접평면은 $ f $ 와 수직인 $ g $ 전체의 집합이라고 하면 됩니다.(쉬운 경우죠.) 그러니까 $ ∫_0^1 f^*(x) g(x) dx=0 $ 인 $ g $ 를 생각하면 되죠. 이런 $ g $ 들에 대해서 내적을 위와 같이 써서 계산합니다. 둘째 질문은 우선 공간을 잡고 공간의 각 점 $ f $ 마다 그 공간과 똑 같은 공간을 접공간이라고 생각합니다. 이 공간을 $ X $ , 접공간을 $ T_fX $ 라고 하기로 하죠. 그리고 $ T_fX $ 는 $ X $ 와 똑 같은 모양의 공간입니다. 이제 $ T_fX $ 에 내적을 정의하는데 위에서와 같이 $ h(x) $ 를 써서 정의하는 것인데 이 $ h(x) $ 가 매 $ f $ 마다 달라지도록 하면 됩니다. 즉,
$ ⟨ g_1,g_2 ⟩ = ∫_0^1 g_1^*(x)g_2(x) h_f(x) dx $
라고 잡아보면 점 $ f $ 가 변하는데 따라서 내적이 변하는 것이 되지요. – [김영욱] (DateTime(2007-01-24T02:51:07))