= 2006년 여름방학에 공부한 내용 = 해석학을 공부할 때는 다음과 같은 사항을 생각하고 계획을 세워서 공부합니다.
우선 전체적인 내용은 다음과 같이 나누어져 있어요.
- 실수의 성질과 실수의 위상적 성질: 극한, compactness, connectedness, 수열의 극한, Cauchy sequence, 급수의 수렴/발산.
- 함수의 연속성: 위상적 성질과 연속함수의 관계.
- 미분, 적분 계산법.
- 함수의 수열과 급수: 함수들의 집합에서 compactness의 이해.
- 다변수함수에 대한 위의 모든 이론: 최대/최소, 역함수(음함수)정리, 적분의 미분, 미분형식의 적분, Poincare의 도움정리, Stokes의 공식.
- 일반적분론: Lebesgue의 적분론.
이 내용을 공부하는 데는 단계를 나누어야 하고, 그리고 목표를 설정해야 합니다.
- 크게는 1변수, 다변수, 일반적분론의 셋으로 나눕니다.
- 그리고 1변수 부분은 다시 위상과 연속성, 미적분 계산법, 함수의 수렴으로 나눕니다.
목표를 설정할 때는 ”’1변수 함수 이론의 궁극적 목표는 물론 함수열의 수렴”’을 다루는 것입니다.(사실 응용으로 가면 이것 밖에는 쓰는 것이 없어요. 라플라스변환, 테일러/푸리에급수, 미분방정식 등등에서 이것만 써요.) 그런데 이것을 잘 다루려니까 쉽게 수열에 대해서 한번 해 보는 것이 첫번째 위상과 연속성이라고 할 수 있지요. 중간에 있는 미적분 계산은 1학년때 계산과 크게 다를 것이 없어요.
한편 다변수 이론에서 미분은 1학년때랑 크게 다르지 않은데… 적분은 더 어렵게 생각해 보지요. 우선 미분에서는 역함수정리를 사용하는 법을 배우는 것이고요, 적분에서는 스토크스 정리를 배우는 것입니다. 스토크스 정리를 통해서 1학년때의 그린, 스토크스, 가우스의 발산정리를 모두 합해서 하나의 정리를 만들어 버리는 방법을 배우는 겁니다.
마지막으로 르베그의 적분론은 리만적분의 모자라는 점을 보충해서 가장 완벽한 적분의 정의를 내리는 방법을 설명하는 것이고 이것이 있어야 유한구간의 연속 함수들에 대해서 적분을 거리로 써서(아래 정의 참조) 수렴을 잘 다룰 수 있는 벡터공간을 만들 수 있기때문이지요. 여기서 말하는 거리란 구간 $ [a,b] $ 에서 정의된 연속함수 $ f,g $ 에 대하여 이 두 함수 사이의 거리를 $ d(f,g) = \sqrt{\int_a^b |f(x)-g(x)|^2 dx} $ 라고 하는 것입니다. 이 거리는 너무 중요해서 이것 없으면 아무것도 할 수 없어요. 이런 거리는 앞의 푸리에급수의 수렴에서도 (이미) 마찬가지로 쓰입니다.