질문은 Q: 를 말머리에 붙이고 써 주고, 답글은 A:를 말머리에 붙이면 좋겠네요. 답글은 한줄 비우고 새 줄에 시작하며 A: 앞에는 공백을 넣어서 들여쓰기가 되게 해주세요. 또 글 마지막에는 자신의 이름을 붙여주세요.
글을 쓰는 방법은 메뉴 가운데 ”’고치기”’를 누르고 나타나는 편집창에 아래와 같이 입력합니다. 중간 중간에 미리보기를 해도 되고요, 마지막에는 꼭 저장을 눌러서 써놓은 글이 없어지지 않도록 합니다.
”’글은 최근 것을 가장 위에 씁니다.”’
Q : 답변 정말 감사합니다^^ 조금만 더 여쭤볼께요….그럼 jordan form이 같으면 similar한 건가요???? 그리구 제가 개념이 잘 안잡혀서 그러는데요, jordan form을 하는 이유가 충분한 eig,vec이 없는 경우 즉 대각화가 안될 때 대각화 시키려고 하는 거 맞죠????(2005.11.21.김은희)
A : A와 B의 Jordan form이 같다면 \[ P^-^1 A P = Q^-^1 B Q \] 이렇게 쓸 수 있습니다. 식을 적절히 변형해주면 \[ Q P^-^1 A P Q^-^1 = B \] 가 됩니다. \[ P Q^-^1 = R \] 이라고 치환해주면 \[ R^-^1 A R = B \] 라고 표현 되므로 A와 B는 Similar라고 볼 수 있습니다. Jordan form은 말씀하신대로 대각화가 되질 않을 때 차선책으로 쓰입니다. 맞나요 -_-; (2005.11.21. 조비호) 맞아요. – 김영욱
Q : similar에 대해 궁금한 것이 있는데요, 두 matrix가 similar할 경우에는 같은 eigenvalue set을 갖고 이 말은 같은 characteristic polynomial을 갖는다와 동치이다라고 노트에 필기를 했는데요(강의록에도 그렇게 나와있어요…)….이게 서로 필요충분인가요? similar할 경우에 저 성질이 성립하는데 역으로 characteristic polynomial이 같으면 similar라고 말할 수 있나요?? 궁금합니다..알려주세요…^^(2005.11.21.김은희)
A: 흠…제가 답변을 해도 되는지는 잘 모르겠지만..^^ 우선 두행렬 A,B의 characteristic polynomial이 같다고 해서 두 행렬이 similar 한 것은 아닙니다. 동치 조건을 정확히 말하자면
A is similar to B iff A and B have the same Jordan form iff nullity(A-sI)^j=nullity(B-sI)^j is true for all eigenvalue s.
입니다. 아마도 강의록의 동치 조건 eigen value set이 같다는 말의 의미는 nuillity(A-sI)^j=nuillity(B-sI)^j is true for all eigen value s 에서 나온 말 일 것입니다. 이는 숙제 문제 4번에서도 확인 할 수 있습니다. 즉 char polyn 이 (s-1)^3 이지만 서로 similar 하지 않은 행렬이 존재합니다. 가능한 minimal polyn 에 따라 Jordan block를 나누어 보세요. 한편 characteristic polyn 이 muliple root를 가지지 않는 경우에는 characteristic polyn 이 같다면 두 행렬은 similar 하다고 말할 수 있습니다. 왜냐하면 char polyn 의 근이 모두 서로 다르다면(= 모두 서로 다른 eigenvalue를 가짐) 이는 대각화가 가능하기 때문이죠. 이는 숙제 2번에서 확인 할 수 있습니다.(2005.11.21.신영식) 좋습니다. – 김영욱
Q : 숙제 문제 5번을 풀다가 궁금한 점이 생겼습니다. Calely-Hamilton 정리에 의하여 characteristic polynomial의 식에 행렬 A를 대입하면 0인 것을 수업 시간에 배운적이 있었는데, 역(?)도 성립하는 지가 궁금합니다. 즉, 행렬 A 에 관한 polynomial equation이 0 이라면 A 대신 s 를, I 대신 1을 대입한 것을 이용하여 characteric polynomial을 구할 수가 있는 지가 궁금합니다. 이 문제에서의 풀이는 정확한 characteristic polynomial은 알 수 없지만 minimal polynomial 이 될 수 있는 것은 구할 수 있는 것 같은데 그렇다면 characteristic polynomial은 이 minimal polynomial에 i, j 승을 한 form 이라고 말할 수 있는 것입니까? (2005.11.20. 신영식)
A: 행렬을 모르면서 행렬이 만족하는 다항식 하나만 알고서 그 characteristic polyn을 구할 수 없어요.우리가 알 수 있는 것은 그 다항식의 인수 가운데 이 행렬의 minimal polyn이 있다는 사실만 알 수 있어요. A의 size를 알고 있어도 아마 ch. polyn.은 알 수 없을 거예요. 그리고 ch. polyn.과 minimal polyn.의 관계는 각 1차 인수는 모두 일치하는데 그 차수만이 차이난다는 관계를 가지고 있지요. – 김영욱
Q : QR decomposition에 대해서 궁금한 점이 있습니다. 하나의 Matrix를 QR decomposition에 의해 분리할 경우, 하나의 결과만 나타날까요? 즉 A=QR을 만족하는 QR은 하나만 될 수 있는지 궁금합니다. 만약 여러개의 QR decomposition이 가능하다면, Gram-Schmidt process가 아닌 다른 process가 필요할 것 같은데요, 참고 서적을 찾아봤는데 잘 못찾겠습니다. 의도하는 바는 다음과 같습니다. A, B Matrix가 있고, 이를 각각 QR decomposition하도록 하는데, A에서 사용했던 basis(v1, v2, v3)를 B에서 똑같이 적용하려고 합니다. 그런데 Gram Schmidt 방식에서는 u1 = v1으로 시작하기 때문에, u1 = a1v1 + a2v2 + a3v3로 선형결합되었을 경우를 포함하지 않는 것 같습니다. 아래 orthonormal basis에 대한 질문의 연장선인 것 같습니다만. 아무쪼록 답변 감사합니다.(2005.10.05 김형년)
A: 전 수강생이지만 감히 답변을 하자면…우선 Orthonormal basis는 일반적으로 무한히 많으니 QR Decomposition의 결과도 무한히 많은 결과가 있겠죠. 그렇다고해서 다른 Process 가 필요할 이유는 없습니다. Gram-Schmidt process 자체로 이미 무한히 많은 Orthonormal basis를 만들수 있으니까요. 그리고 두번째 질문을 보니 QR Decomposition에 대해서 제대로 이해하지 못하신 부분이 있는 것 같은데요. 질문에서 쓰신 행렬 A, B 자체가 basis 를 column vector 로 나열하여 이루어진 행렬이기 때문에, ‘A에서 사용한 basis 를 B에 똑같이 적용한다’는 말은 ‘A와 B가 완전히 같은 행렬’이라는 별의미없는 말과 같습니다.
Q : 한가지 더 여쭤보겠습니다. Least Square Method의 경우, basis에 projection하여 최소 거리값을 구하는 게 되는데요, 2-Dimension에서 best fitting을 위하여 projection하였을 경우 실제 data와 fitting line 사이의 y축 차이 값을 제곱하여 구하는 것 같습니다. 그런데 best fitting이라는 측면에서 보자면, y축과의 거리가 아니라, 실제 data 2차원 점과 fitting line 사이의 거리(not y축 거리)를 최소로 해야 하는 것이 아닐까요? 즉, fitting line (ax + by + c = 0 : a, b, c는 미지수)과 data point (Xn, Yn : n = 1 ~ N)간의 거리를 summation해야 할텐데, 그랬을 경우, least square method와는 다른 식이 되지 않을까요? 그렇다면 실제 점과 선사이의 거리를 최소로 하는 방식으로 best fitting하는 방법은 무엇이 있을까요? (2005.09.20 김형년)
A: best fitting은 각 변수값 t에서의 함수값의 차가 최소의 오차를 가지기를 바랍니다.(이건 통계의 문제이지요.) 그 경우 우리가 한 방법(Gauss의 방법)이 옳습니다. 형년군이 이야기하는 fitting은 함수값의 오차를 줄이는 것이 아니라 그래프의 점의 위치에 대한 fitting이고 이것은 다른 문제입니다. 이 경우는 점-valued인 함수로 생각하면 또 같아집니다. 즉 (x(t), y(t))라는 함수를 각 t 마다 값을 알 때 이 함수값이 가장 오차가 작게 만드는 것이 될 겁니다. – 김영욱
Q : 오늘 수업중에 orthonormal basis를 구하는 process가 있었는데요, {v1, v2 , … , vn}에서 v1부터 시작하여 v2, v3… 를 차례로 유도했습니다. 그런데 만약 v2부터 시작한 orthonormal basis를 구한다면 처음에 구한 orthonormal basis와 다른 형태의 basis가 구성될 것 같습니다. 마찬가지로 v3에서 시작한 basis로 부터 v1, v2, v4…등을 추출할 수 있구요. 그렇다면, 하나의 vector를 n개의 orthonormal basis set으로 나타낼 수 있다는 것인데, 이러한 n개의 basis set들간의 관계는 무엇일까요? v1부터 시작해야 한다는 규칙이 없다면 basis의 계수들간의 관계를 살펴보는 과정에서도 문제가 발생하지 않을까요? (2005.09.20 김형년)
A: orthonormal basis는 무한히 많습니다. 이 가운데 주어진 basis와 (순서까지도) 잘 맞는 것을 하나 찾는 방법일 뿐입니다. 이 경우 순차적으로 원래 basis와 새 basis가 잘 맞아들어갑니다. 즉, k번째까지의 basis의 span은 새 basis에서도 k번째까지의 basis의 span과 일치합니다. 순서를 바꾸어서 하면 이런 내용이 달라지지만 이 새로운 순서에 대하여는 그대로 잘 맞는 것이 나오지요. 이들 사이에는 특별한 관계는 없어 보입니다. 물론 v1에서 시작해야 한다는 법은 없는 것이지요. 필요에 맞게 순서도 정하고 찾으면 됩니다. – 김영욱
Q : 공부하다 보니 linear,bilinear,multilinear 이런것들이 나오던데요. linear하다는 것은 이해가 가는데 나머지 두 개념은 이해가 가지 않습니다. 예를 들어 어떤 함수들이 bilinear,multilinear 한것인가요? (2005.08.25 정호)
A: 조금 있으면 공부할 거지만요 bilinear 함수의 대표적인 예는 내적입니다. $ a ⋅ b $ 는 두 벡터의 쌍 $ (a,b) $ 를 변수로 하는 함수인데 $ a $ 에 대하여도 선형함수이고 $ b $ 에 대하여도 선형함수인 쌍선형함수(bilinear form)입니다. 한편 셋 이상의 벡터에 대한 multilinear 함수의 예로는 (물론 내적이 bilinear 이니까 n=2 인 multilinear 이지만) 행렬식(determinant)가 대표적입니다. 3×3 행렬의 행렬식은 행벡터 3개에 대한 함수로 보면 각각의 벡터에 대하여 선형함수이니까 tri-linear입니다. 이런 식의 함수는 그리 많지 않아서 모두 만들 수 있는데 이런 이론은 대수학에서 공부할 수 있습니다. 특히 대칭인 함수와 왜대칭인 함수가 있으며 모든 다중선형함수는 이런 두 가지 함수의 합으로 만들 수 있어요. 이런것의 기본이 대칭식이론이지요. Like $ a + b $ , $ ab $ 가 두 실수 변수에 대한 대칭식… 등등.
Q:안녕하세요. 선형대수관련 질문은 아닌데 질문할수있는데를 여기밖에 못찾아서 여기다 질문하게 되었습니다. 어쨌거나 제가 물리학과 학생이어서 일반상대성이론에 대해 관심을 가지고 있는데요. 관련서적을 찾아보니 미분기하학을 어느정도 배워놓고 시작해야 될 것 같더라구요. 그래서 미분기하학의 내용 중에 일반상대성이론에 필요한 내용만 골라서 읽어보려고 하는데요.(제가 뒤적뒤적 거리다보니 tensor,one-forms,christoffel symbols,metric,curvature,riemannian manifolds,covariant differentiation 등등 이런 용어들이 나오더라구요) 미적분학과 선형대수를 수강한 입문자가 읽기쉬운 미분기하학 서적을 조금 알려주세요. 감사합니다.(050731) – WhoAmI
A: 우선 일반상대론을 공부하려면(나는 공부한 적이 없지만) 미분기하학 중에서 일부만 알면 되는 것이 아니라, 전부 다 알아야 합니다. 그리고 나서 euclid 공간(내적)을 기본으로 한 미분기하학의 이론을 모두 Minkowski 공간(내적)의 이야기로 바꾼 공간에서 물리학을 하는 겁니다. 따라서 기본 개념은 tensors, forms, metric, curvature, connection 등의 계산에 익숙해야 하며 특히 positive definite하지 않은 내적을 다루는데에도 익숙해져야 하니까 많은 공부가 필요하지요.
교과서로는 일반적인 리만기하학의 교과서와 상대성이론이 적힌 semi-riemannian geometry 교과서 등이 있는데, 리만교과서의 입문서는 do Carmo의 Riemannian Geometry, Willmore의 Ri… Geo…, 고전으로 Eisenhart나 Weatherburn의 Riemannian Geometry가 있고요. 물리학에서는 Eddington경이 쓴 The mathematical theory of relativity 등이 있어요. 또 Gockeler/Schucker가 쓴 Diff. geometry, gauge theories, and gravity도 있고요. 암만해도 계산이 중요하니까 옛날 책들이 더 좋을 수도. 한편 semi-riemannian 기하는 대표적으로 내 박사논문 committee셨던 O’neill교수님의 Semi-riemannian geometry가 있고요 이 밖에 간단한 책으로는 Frankel의 책이 있어요(제목?), 물리쪽에도 많은데 Ward의 General relativity, 나 Hawking/Ellis의 책들도 기하학 책이라고 볼 수 있어요.
Q: 빠르고 자세한 답변 정말 감사합니다. (ㅠㅠ감동) 그런데 선형대수와 미적분학만 배우면 리만기하학을 배우기 위한 준비가 어느정도 되었다고 봐도 괜찮은가요? 첫페이지부터 처음보는 용어들 (homeomorphism 등등..)이 나오는데,, 모르는 용어들은 다른 책을 참고해가면서 리만기하학 교과서를 읽어나가도 큰 무리가 없을까요?
A: 우선 위상수학의 기본을 알아야 됩니다. 물론 처음에는 선형대수, 해석학이면 충분해 보이지만 문제는 리만기하에서 다루는 모든 내용의 포인트는 어떻게 미분기하적 양(quantity)로부터 위상적인 양을 구해내는가 하는 이야기여서 대수위상을 조금(homeomorphism, fundamental group, homology)은 알아야 하고, 또 많은 부분에서 사상의 연속성과 미분가능성이 중요하게 부각되므로 해석학 보다 조금 더 깊은 general topology 근처의 이야기도 도움이 많이 됩니다.(metric space 정도로도 될거예요.) 공부해 나가면서 같이 공부할 수 있을거예요.
Q : vector space 에서 field에 대한 질문입니다. 간단히 R^n 을 생각할때 이 vector space가 정의된 필드가 다를경우 dimenstion이나 어떤 특징들이 다를지 궁금합니다. 예를들어 U는 R위에서 정의된 space이고 W는 Z위에서 정의된 필드일때 어떤 차이점이 존재하는가요?(2005.07.02 정호)
A: 예를 들어 봅니다.
| vector space | scalar field | dimension |
| $ \mathbb{R} $ (실수) | $ \mathbb{R} $ | 1 |
| $ \mathbb{R} $ | $ \mathbb{Q} $ (유리수) | 무한차원 |
| $ \mathbb{C} $ (복소수) | $ \mathbb{C} $ | 1 |
| $ \mathbb{C} $ | $ \mathbb{R} $ | 2 |
| $ \mathbb{C}^n $ | $ \mathbb{C} $ | $ n $ |
| $ \mathbb{C}^n $ | $ \mathbb{R} $ | $ 2n $ |
정수의 군 $ \mathbb{Z} $ 는 체(field)가 아니므로 벡터공간의 scalar가 될 수 없어요. 이렇게 덧셈, 뺄셈, 곱셈만을 할 수 있는 것(나눗셈 없이)을 환(ring)이라 하고요, ring을 scalar로 하는 마치 벡터공간 같은 것을 이 ring 위에서 정의된 가군(加群,module)이라고 하지요. 물론 module도 차원을 이야기할 수는 있지만…
Q : 오늘 시험문제에 대한 질문입니다. 6번. “R2 에서 P1, P2가 y= 1/2 x 와 y = 2 x로의 정사영일때 Tv = P1v – P2v 가 onto 임을 보이시오.”라는 문제가 있었는데요. T 는 R2에서 R2로의 map 이라고 생각하고 문제를 풀었습니다. 여기서 계산실수만 무한반복 하였을지도 있겠지만 N_T = {(0,a) : a=스칼라}의 공간이며 따라서 dim N_T = 1, dim R_T도 또한 1이 되어 공역의 차원(=2)과 치역의 차원(=1)이 다르다는 결과가 계속 나왔는데요. 공역의 차원과 치역의 차원이 다르다면 onto가 될수 없지 않나요? 또한 P1, P2는 2 x 2 matrix 이기때문에 공역의 차원은 당연히 2 이지 않나요? 결국 소신을 지켜 답안지에는 “T는 onto가 아니다” 라고 적었는데 ㅠㅠ 무엇이 잘못되었는지 궁금합니다. (2005.06.09 신영식)
A: 우선 T는 domain과 codomain이 같은 것이지요. (정사영의 차는 R^2 안에서만 의미가 있으니까…) 어떤 방법으로 풀었는지 궁금하군요. 그냥 계산한 것이라면 계산을 주의하여야 할 것이고… 힌트에 있듯이 차원정리를 쓰면 2차원 공간에서 2차원 공간으로의 사상이니까 onto는 dim(R_T)=2 라는 말이고, 이 말은 dim(N_T)=0 이라는 말이어서 Tv=0 을 풀어보아 항상 v=0임을 보이라는 말과 같은데… 이 말은 P1(v)=P2(v)와 같고, P1(v)는 직선 y=(1/2)x 위에 놓이고 P2(v)는 y=2x 위에 놓이니까 이 두 벡터가 같으려면 P1(v)=P2(v)=0 일 때 뿐이지요. 그런 v는 v=0 밖에 없고요… 나중에 풀이를 보고 틀린 부분이 어딘지 이야기해 보지요. – 김영욱
A: 어떤 부분을 잘못 생각했는지 알았습니다. ㅠㅠ 어이없게도 orthogonal projection 과 projection 에 대한 혼동을 하고 문제를 풀었습니다.개념에 대한 혼동이 있으니 올바른 풀이를 생각해내지 못한게 당연하지요. 쩝…앞으로는 더 열심히 공부해야겠습니다. 답변해주셔서 감사합니다. ^^ (2005.06.11 신영식)
Q(=Q1): 0벡터에 대한 질문입니다. 벡터공간 X의 부분집합이 U로 정의되었을때, dim X = dim U + dim W – dim (U∩W) 가 성립하고, W가 U의 여공간일때는 우항의 dim (U∩W) = 0 이 되어버립니다. 0벡터의 경우 U와 W에 모두 속하기에 굳이 차원으로 친다면 0차원이 될텐데요. 몫공간의 경우 V/U 로 표시될때, 부분공간 U의 coset 인 {x} 에 있어, x+U (단, x≠0) 의 공간은 0 벡터를 포함하지 않습니다. 잉여류들의 연산에서는 0벡터를 0 + U = U 로 사용하는데요, 고정된 벡터 x가 있으면 V/U의 {x} 자체가 그 내부에서 덧셈과 스칼라곱이 허용되는 공간으로 볼 수 있나요? (2005.6.8 이진영)
A(+Q)(=Q2): 저는 수강생이지만 감히 답변을 달자면.. (죄송^^) 그러한 집합은 벡터의 덧셈과 스칼라곱에 대해서 닫혀있지않음을 쉽게 확인하실수 있을겁니다. 그래서 벡터공간이 될수가 없다는군요. 만약 벡터공간이 되면 몫공간이라는 새로운 공간을 정의하지 않아도 될것같은데 맞나요? 그럼 저도 교수님의 답변을 기다리겠습니다. -[wiki:WhoAmI 나는누굴까?] A: 우선 앞의 질문(Q1)에서 U는 X의 ”’부분공간”’이라야 하고요… 🙂 그런데 Q1의 질문은 이해를 하고 Q2의 comment가 옳지만, 복잡하게 물어본 것이 뭔가 그 질문 말고도 묻고 싶은 것이 있는 것 같군요… 뭔지 몰라서 답은 못하겠네요. 마지막으로 Q2의 나중질문 부분은 시간중에 몫공간을 정의할 때 왜 이런 정의를 하는지에 대하여 많이 설명했었는데 그 부분을 이해하면 답이 될 듯 싶군요.
Q: 쌍대바탕벡터를 계산해보려고 했는데요. 쌍대바탕벡터가 일차함수니까, 쌍대바탕벡터가 무엇인지 보여주려면 벡터 x의 함수값이 무엇인지 써주는 방식으로 표현해야하나요? 그러니까 쌍대바탕벡터가 일차함수 A 라고 하면 A가 무엇인지 보여주기 위해 A(x)=(함수값) 이런식으로 표현하기만 하면 되는건가요?
A: 물론 그래요. 다른 방법도 있을 수 있지만 그 함수를 구체적으로(식으로) 쓰면 그 이상 좋을 수가 없겠지요. (여기서 다른 방법이라고 하면 쌍대공간의 바탕벡터를 하나 알고 있을 때는 그 바탕벡터의 일차결합으로 나타낼 수 도 있을 것이고… 등등 상황에 따라 다른 방법도 있을 수 있다는 겁니다.) – 김영욱
Q: 다항식의 집합인 $ \mathcal{P}_n $ 에 대해 질문 있는데요. 가령 $ \mathcal{P}_2 $ 이면, $ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 $ 로 표현되고, 이는 $ \mathbb{R}^3 $ 과 동형사상을 찾을 수 있다고 하셨는데요. 다항식의 집합인 $ \mathcal{P}_2 $ 에서 $ x^2 $ 의 계수가 0인 1차 이하의 다항식들도 이 집합에 포함이 되는건가요? 중고등학교에서부터 2차 방정식의 경우 $ x^2 $ 앞에는 0이 올 수 없다는 관념이 있어서요. (2005.06.03 이진영)
A: 물론이예요. 그래서 우리가 $ \mathcal{P}_2 $ 를 정의할 때 이 공간은 2차 이하의 차수를 가지는 다항식이라고 했고요, 그냥 이차다항식의 집합이라고 하지 않았었어요. 따라서 이차항의 계수가 0이 되어 실제로는 1차다항식이나 0차다항식(상수다항식)인 경우에도 모두 $ \mathcal{P}_2 $ 의 원소가 된답니다. – 김영욱
Q : 화살표를 벡터로 생각할 때 basis 화살표들로 기하학적으로 표현하는 것처럼 Dual space 안의 벡터들도 Dual basis 로 기하학적으로 표현할 수 있나요?
A: 1차함수 $ ax+by $ 를 간단히 1차함수 $ (a,b) $ 라고 쓰기로 하면, $ (a,b) $ 도 기하학적으로 나타낼 수는 있지요. 이런 답을 원하는 건지? 아니면 뭔가 더 기하학적으로 나타내기 힘든 것을 생각하고 있는건지? 계속 밑에 달아서 질문해요… – 김영욱
Q: (노트 p19. 셋째줄) α1,α2,.. 를 x의 함수라고 한 부분에서 ”’x1,x2,..를 고정시켜 놓고”’ x를 변화시키면 α1,α2,..가 변하기 때문에 α1,α2,..를 x의 함수라고 한 건가요?
A: That’s right. 바로 그거예요. – 김영욱 Q: 그렇다면 x가 n개의 component로 이루어졌으니까 α는 변수가 n개인 함수가 되는거죠?
A: $ x $ 가 $ n $ 차원 벡터공간의 벡터라고 꼭 $ \mathbb{R}^n $ 의 벡터는 아니거든요. 그래서 $ x=(x_1,…,x_n) $ 인 경우에는 변수가 실변수 $ n $ 개라고 해도 좋지만 그렇지 않고 벡터가 다항식이라던가 그런 일반적인 경우에는 변수는 그냥 한개라고 하는 것이 더 맞을 것 같애요. 실제로 변수의 개수는 그리 중요하지 않고요, 중요한 것은 변수 전체가 이루는 공간의 차원이지요.
Q : 좀 엉뚱한 질문인데요. 두 행렬을 곱할 때 ‘행’의 성분과 ‘열’의 성분을 곱하여 더하는 작업을 하게 되는데, 만약 이것을 조금 바꾸어서 곱셈이 ‘행’의 성분과 ‘행’의 성분을 곱하여 더하는 것으로 정의하면 어떤 안좋은 성질을 갖게 되나요? 즉 행렬의 곱셈에서 성분끼리 곱하여 더하는 것 자체에는 관심이 없고요. 왜 ‘행’과’열’을 짝지어서 계산하고 ‘행’과 ‘행’을 짝짓지 않는 것인지를 알고싶습니다. – WhoAmI
A: 생각해 보니 좋은 질문이군요. 🙂 두 행렬 $ A,B$ 에서 $ A$ 의 i행과 $ B$ 의 j행을 내적한 값을 ij-성분으로 하는 행렬을 만들면 이 행렬은 실제로는 $ AB^T$ 랑 똑같아요. 행렬의 곱셈을 이렇게 쓰기로 해도 안될 것은 없는데 지금 하는 것이랑 내용이 다른 것은 하나도 없고요…(즉 지금 이론하고 isomorphic한 이론이 생기고요) 그런데 우리 방식이 실제로 곱셈을 보는데 조금 더 편리하지요. – 김영욱
Q:노트7쪽의 도움정리 1.2에 대한 증명에서 8번째줄에 “k>n이었다고 가정하면 y1,y2…yk는 일차종속이 될수 밖에 없으며” 라고 되어있는데요. 증명하려는 명제는 “y1,y2…yk가 일차독립일때 k<=n 이다.”인데 이것과 8번째줄에 써있는 명제와 대우관계여서 동치인것같습니다. 명제를 증명할 때 그 명제와 동치인 명제를 이용할수는 없는데, 노트의 증명이 잘못되었을리는 없고, 제가 어느부분을 파악하지 못한건가요?
A: 명제 자체를 대우명제로 바꿔서 증명하기는 힘들구요, 정리중, Linearly dependent iff at least one of vectors is expressible as a linear combination of the other vectors in ~ 를 이용하면, k>n 일때 종속관계가 확실하게 증명되네요. 이것의 증명은 수업시간에 다뤘구요. Q2: 그렇다면 “k>n이었다고 가정하면 y1,y2…yk는 일차종속이 될수 밖에 없으며” 이것과 “y1,y2…yk가 일차독립일때 k<=n 이다.” 이것은 동치관계가 아닌가요? 노트의 증명은 잘못이 없는건가요? A: 동치 관계를 이용해서 증명을 하는 경우도 있죠? 다시 원점으로 돌아와서요, 노트7쪽의 증명 방법은, 대우명제를 증명하는게 아닌데요, 가정을 k≥n(k=n 이란 표현이 낫지 않은지?),일때 n-1 번의 y를 표현하면, $ \{y_1,y_2,…,y_n\}$ 를 생성할 수 있고, 이때가 k=n 이 되겠군요, 하지만, k > n 일땐, 모순이 되겠죠? (생성된 벡터는 반드시 V를 span 해야 합니다. 부분 공간이면 안 되죠.) 그래서, k ≤ n 으로 증명이 끝납니다. Q: 빠르게 답변해주셔서 감사합니다. 그런데k > n 일때 일차독립을 이루는 벡터가 일차종속을 이루는 벡터수보다 커진다는 것이 무슨 뜻인지 잘 파악하지못하겠어요. A: 일차독립을 이루는 벡터가 $ \{y_1,y_2,…,y_k\}$ 로 나타내어지고, 이보다 벡터의 개수가 작은 $ \{y_1,y_2,…,y_n\}$ 이면 V를 span하지 못하죠, 그럼 전제에 모순이 되겠죠.(윗부분 표현이 부적절해서 삭제했습니다.)
A: 우선 첫째 답변은 옳습니다. 그리고 둘째 질문(Q2)은 명제가 “이 때, $ k>n$ 이었다고 가정하면 $ y_1,y_2,…,y_k$ 는 일차종속이 될수 밖에 없으며”로 되어 있으며 “(항상) $ k>n$ 이었다고 가정하면 $ y_1,y_2,…,y_k$ 는 일차종속이 될수 밖에 없으며”이란 뜻이 아닙니다. 즉 증명 과정에서 $ \{y_1,y_2,…,y_n\}$ 이 $ V$ 를 span함을 알게 되었을 때 $ k>n$ 이 된다고 가정하면 모순이라는 말입니다. 도움정리의 명제의 대우인 항상… 그러하다는 말과는 다른 뜻이지요. ”’그나저나 질문한 친구는 누구고, 답변한 친구는 누군가요?”’ – 김영욱
Q : 교과서 9판 238쪽의 1.(e) 에 대한 문의입니다. $ \mathbb{R}^3$ 의 부분공간에 대한 질문인데요. all vectors of the form (a, b, 0) 에서 5.2.1 Theorem 의 addition, multiplication of scalar k 가 모두 만족하는데, 정답은 (e) 가 포함이 되어있질 않네요. 제가 이상한건지?
그리고, 5번의 (a) 에서 tr(A)가 의미하는 것은 무엇이죠? (upper triangular form or lower triangular form?) 제가 수업시간에 못들어서 모르는건가요..? (05/04/20 -이진영)
A: 우선 앞의 1.(e)는 지금 교과서가 없어서 알 수가 없네요. 뒤의 5번의 tr(A)는 A의 trace입니다. 수업시간에 안 했어요… – 김영욱
Q : 오늘 수업시간 때 시험문제가 교과서의 연습문제와는 다른 형태의 문제라고 하셨는데요. 그러면 노트에 있는 문제는 시험문제와 비교했을때 상대적으로(교과서의 연습문제에 비해) 더 비슷한가요? 그리고 시험문제와 교과서연습문제의 차이점이, 시험문제는 책의 도움 없이 정의나 정리를 생각해내어 정확히 이용할수 있어야풀수있고, 교과서 연습문제는 단순히 정의나 정리를 적용하면 풀 수있다는 것의 차이점인지도 알고싶습니다.(050419-이호진)
A: 다른 형태라고 할 수는 없지만 똑같은 유형의 문제를 숫자만 바꾼다거나 하지는 않는다는 말입니다. 어떤 문제는 교과서 문제와 유사하게 보일 수도 있고 어떤 것은 노트의 문제에 더 가까워 보일 수도 있지요. 물론 비슷한 문제가 하나도 없는 것도 아니고요… 🙂 오히려 더 혼란스럽게 보일 것 같네요. 어떻게 보면 교과서의 연습문제와 대동소이하지만 새로운 문제도 있다는 정도입니다. 공부한 것과 꼭 같은 형태의 문제만 나온다고 생각할까봐 한 말이었어요. – 김영욱
Q: 1. space와 field의 차이
- vector space는 vertor들의 합과 스칼라배가 정의어 있는 공간이다. 이것은 벡터가 n-tuple의 linear combination으로 이루어져 있다. 그렇기 때문에 이것들은 spanning 할 수 있다.
vector space에서의 dimention은 n-tuple에서 n 이며 이것은 고정되어있다. (덧셈에 대하여 닫힌 공간이므로.)
그리고 vector field는 vector들의 합과 scalar multiplation, 이들의 innerproduct와 outer product, 즉 벡터의 외적과 내적이 정의된 공간이다. vector 간의 곱이 정의되어야 하기 때문에 이에 앞서서 gradient와 연속성, 그리고 미분가능성 등이 정의되어야 한다.
2번은 공부하다가 갑자기 의문이 생겨 몇시간동안 고민하다가 아직 결론은 이정도 났는데요… 제 생각이 얼마나 어디에서 잘못된 것인지 알고 싶구요.. 1번은 어떻게 일반적으로 정의 내리고 비교할 수 있는 것인지 알고 싶습니다.
A: 우선 field는 덧셈과 곱셈이 정의되어 있어야 하는 것이므로 space와는 다릅니다.(space에는 스칼라배만 있지, 두 벡터의 곱은 정의되어 있지 않습니다.) 그러나 모든 field는 자기 자신을 스칼라로 해서 vector space가 됩니다.(1차원이죠.) 2번에서 n-tuple이라 하면 스칼라의 n-tuple을 이야기하는 것인지? 벡터가운데는 n-tuple이 아닌 벡터들도 많이 있으니까… 이 이야기는 $ \mathbb{R}^n$ 의 경우라면 맞는 말입니다. 그리고 셋째로 우리는 vector field는 이야기한 적이 없는데… 무슨 다른 것을 이야기하는 것 같기도 하고…(애매~) – 김영욱
Q: 이번주 목요일 수업내용중에 정리를 증명하는 것이 있었는데 어떤 정리였는지 알고싶습니다.필기를 하지 못해서 기억이 나질 않네요. {x1,x2,x3,…,xn} {y1,y2,y3,…,yn} 이런게 나오면서 x1과 y1 자리를 바꾸기도하면서 증명이 되었던 것 같은데 교과서나 부교재에서 찾기가 어려워 부탁드립니다. 그리고 시험에서 나오게 증명문제에 관해서 궁금한 것이 있는데요. 증명을 전개해나갈때 어떤 정리가 필요한 경우, 그 어떤 정리를 증명하지않고 ‘이 정리에 의해서 이렇다’고 바로 써도 되는것인지 궁금합니다. (20050416-이호진)
A: 이 정리는 $ \{x_1,x_2,…,x_n\}, \{y_1,y_2,…,y_k\}$ 에 대한 것이고요… 증명은 부교재 노트의 도움정리 1.2 (7쪽)에 있습니다. 증명은 짧아보이지만 argument 보충이 밑의 footnote에 있습니다. 증명을 해 나갈 때 필요한 정리는 사용하여도 됩니다. 정리를 사용하기를 원치 않으면 ”’정의로부터 증명하여라”’라는 맡이 문제에 들어 있을겁니다.
Q: transpose matrix는 어떤곳에 사용되는지와 선형대수에서 어떤의미를 가지고 있는지를 알고싶습니다.(20050318-정호)
A: 강의를 수강하는 학생인가요. 그러면 조금 기다려야 할 거고요. 안그러면… ㅠ.ㅠ 간단히 여기서 설명할 수 있는 내용이 아니네요. 선형대수에서는 매우 중요한(^^) 의미를 가지고 있는데, 1차함수와 벡터의 관계에서와, 2차함수에서 큰 의미를 가집니다. – 김영욱
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