공지사항에 설명한 바와 같이 이 게시판에 수식을 잘 입력할 수 있다는 것을 보여주기 위하여 2017년 4월 15일에 올려놓은 글을 여기에도 올려본다.
------------------------------------------------------------
먼저 다음을 살피자:
\begin{equation} \label{Eq:20170406_1}\tag{1}
e^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{ k!}.
\end{equation}
$e$의 연분수 표현은 이를 이용하여 얻어진다. 이제 다음을 살펴보자.
\begin{equation}
\frac{1}{\alpha_1} - \frac{1}{\alpha_1 \alpha_2} = \frac{1}{\alpha_1 + \frac{\alpha_1}{ \alpha_2 -1}}
\end{equation}
이를 이용하면 다음을 알 수 있다.
\begin{align}
\frac{1}{\alpha_1} - \frac{1}{\alpha_1 \alpha_2} + \frac{1}{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3}
&= \frac{1}{\alpha_1} - \frac{1}{\alpha_1} \left( \frac{1}{ \alpha_2} - \frac{1}{\alpha_2 \alpha_3} \right) \\
& = \frac{1}{\alpha_1} - \frac{1}{\alpha_1} \frac{1}{ \alpha_2 + \frac{\alpha_2}{ \alpha_3 -1} } \\
&= \frac{1}{ \alpha_1 + \frac{\alpha_1}{ \alpha_2 -1 + \frac{\alpha_2}{\alpha_3 -1}}}.
\end{align}
이 과정을 반복하면 다음을 얻을 수 있다.
\begin{equation}\label{Eq:20170406_2}\tag{2}
\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_k} =
\frac{1}{ \alpha_1 + \frac{\alpha_1}{ \alpha_2 -1 + \frac{\alpha_2}
{ \alpha_3 -1 + \frac{\alpha_3 }{ \alpha_4 -1 + \frac{\alpha_4 }{\alpha_5 -1 + \cdots} }}}}
\end{equation}
(\ref{Eq:20170406_1})과 (\ref{Eq:20170406_2})를 이용하여 다음이 얻어진다는 것은 여러분에게 남긴다.
\begin{equation}
e = 2 + \frac{2}{2 + \frac{3}{ 3 + \frac{4}{ 4 + \frac{5}{ 5 + \cdots}}}}.
\end{equation}
------------------------------------------------------------
참고 : 이 글은 현재 제가 가르치고 있는 토픽 코스 (부제: 수학과 컴퓨터의 융합) 과목 수강생들을 위한 글입니다.
| 