홍길주의 구면삼각법 형상화

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1. 홍길주는 18세기 말에 태어나서 19세기 중반까지 활동한 우리나라 양반 수학자이다. 그는 여러 가지 학문을 공부하고 그 내용을 기록해서 숙수념 등의 문집에 남겼는데 그 가운데 호각연례라는 chapter에는 구면삼각형을 푸는 방법을 정리했다.

   구면삼각형은 직각삼각형과 일반삼각형 두 가지로 나눠서 다루는데 직각삼각형에는 Napier가 만든 10개의 공식이 있고 일반삼각형을 푸는 방법은 여러 가지가 나와 있다. 홍길주는 호각연례에서 이 10개의 공식을 적용하는 모든 경우인 30개의 문제와 일반삼각형을 푸는 방법을 모든 경우에 적용한 60개의 문제의 해결 방법을 증명과 함께 정리했다.

   홍길주의 문제 一之一은 세 각 甲, 乙, 丙(이 각은 직각)이 주어진 정호삼각형(=직각삼각형)에 대해서 변 乙丙(각 甲의 대변)의 길이를 구하는 것이다. 역상고성은 “각각 황도교각黃道交角, 황도교극권각黃道交極圈角이 주어진 경우에 삼각형을 풀라”는 말로 쓰여있다. 홍길주는 이를 풀 때 다음과 같은 공식을 썼다:
   \[
   \sin \text{甲} : \cos \text{乙} = 1 : \cos \text{甲丙}.
   \]
   여기서 $1$은 각 丙의 sine 값이고, 이 공식은 다시 써서 구면직각삼각형의 10개 공식 중의 하나인
   \[
   \cos \text{乙} = \cos \text{甲丙} \sin \text{甲} \quad\text{즉,}\quad
   \cos B = \cos b \sin A
   \]
   이다.
   이 공식을 쓰면 간단히 구하는 변 甲丙의 크기를 알아낼 수 있다. 홍길주는 이것이 성립하는 이유를 그림을 그려서 설명했다. 홍길주의 그림을 3차원 그림으로 복원한 것이 위 그림이다.

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