e의 연분수 표현

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먼저 다음을 살피자:

(1)   \begin{equation*} e^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{ k!}. \end{equation*}

e의 연분수 표현은 이를 이용하여 얻어진다. 이제 다음을 살펴보자.

(2)   \begin{equation*} \frac{1}{\alpha_1} - \frac{1}{\alpha_1 \alpha_2} = \frac{1}{\alpha_1 + \frac{\alpha_1}{ \alpha_2 -1}} \end{equation*}

이를 이용하면 다음을 알 수 있다.

(3)   \begin{align*} \frac{1}{\alpha_1} - \frac{1}{\alpha_1 \alpha_2} + \frac{1}{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3} &= \frac{1}{\alpha_1} - \frac{1}{\alpha_1} \left( \frac{1}{ \alpha_2} - \frac{1}{\alpha_2 \alpha_3} \right) \\ & = \frac{1}{\alpha_1} - \frac{1}{\alpha_1} \frac{1}{ \alpha_2 + \frac{\alpha_2}{ \alpha_3 -1} } \\ &= \frac{1}{ \alpha_1 + \frac{\alpha_1}{ \alpha_2 -1 + \frac{\alpha_2}{\alpha_3 -1}}}. \end{align*}

이 과정을 반복하면 다음을 얻을 수 있다.

(4)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_k} = \frac{1}{ \alpha_1 + \frac{\alpha_1}{ \alpha_2 -1 + \frac{\alpha_2}{ \alpha_3 -1 + \frac{\alpha_3 }{ \alpha_4 -1 + \frac{\alpha_4 }{\alpha_5 -1 + \cdots} }}}} \end{equation*}

(1)과 (4)를 이용하여 다음이 얻어진다는 것은 여러분에게 남긴다.

(5)   \begin{equation*} e = 2 + \frac{2}{2 + \frac{3}{ 3 + \frac{4}{ 4 + \frac{5}{ 5 + \cdots}}}}. \end{equation*}

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참고 : 이 글은 현재 제가 가르치고 있는 토픽 코스 (부제: 수학과 컴퓨터의 융합) 과목 수강생들을 위한 글입니다.