미분기하학I 2K8 봄학기

• 이번 학기 강의를 열심히 들어준 학생들에게 고맙다는 말을 전합니다. 이와 함께 그 동안 강의시간 중에 강의록에 오자 등 고친 점을 모으고자 합니다. 그래서 고치는 내용을 강의록에 잘 적어놓은 사람들은 방학동안 강의록을 내게 빌려주면 좋겠습니다. 현재 두 학생의 강의록을 빌리겠다고 말해 놓은 상태이지만 다른 학생들도 빌려주면 고맙겠습니다. 빌려줄 학생은 수학과 사무실 신미혜 선생님께 제출하면 되겠고요, 책 안쪽면에 이름, 학번, e-mail, handphone 등을 적어주면 나중에 돌려주는데 도움이 될 것입니다.
• 이 강의록을 만들고 계시는 양성덕 교수님께서 이 강의록을 수정하는 데 동참하여 줄 학생들을 찾습니다. 이 작업에는 ”’타자, 그림그리기”’와 함께 ”’이 책의 내용에서 어려운 부분을 지적해 주는”’ 것이 있습니다. 이 가운데 자신이 관심있는 것 만을 도우면 됩니다. 시험 주 주말까지 ywkim@korea.ac.kr 또는 sdyang@korea.ac.kr 로 연락주면 됩니다.
  • 특히 2학기 미분기하 강의를 수강하는 학생은 이 작업에 동참하는 것이 공부(성적?)에 많은 도움이 될 수 있습니다.
• 시험은 6월 11일 강의시간 중에 강의실에서 봅니다.
• Office Hour는 월,수 미분기하학 강의 끝나고(7교시) 입니다. (강의시간 끝나자마자 내게 말하세요. 아무도 말하지 않으면 바로 문 닫습니다.)
• 중간시험은 4월 16일 수요일 강의시간에 봅니다.
  • 예전 시험문제 모음이 있어요. 어떤 것은 풀이도…: http://math.korea.ac.kr/~ywkim/mawiki/wiki.php?MyMisc#s-1.1.2

• [http://math.korea.ac.kr/~ywkim/courses/2k8dg/la_crashguide.pdf 선형대수 요약 파일]
• 지난 시간 강의록:
  • 곡선의 Taylor전개: dg2k8_ln_2a1_curve_misc.pdf
  • 다르부(Darboux)의 Frenet공식: dg2k8_ln_2a2_darboux_trihedron.pdf
  • Circular Helix를 TNB 좌표에서 바라본 모양 계산 Mathematica 파일: helix_in_tnb.nb
• 미분기하 [wiki:DiffGeometry2k8SprProb 보충 연습문제 페이지] 입니다. 숙제는 아닙니다. ”’문제를 푼 사람들은 답을 올려주세요. 풀이는 안 올려도…”’
• section 1 입니다. [http://math.korea.ac.kr/~ywkim/courses/2k8dg/dg2k8_ln_11_plane_what_is_curvature.pdf 곡률이란 무엇인가?]
• 첫 강의자료를 업합니다. [http://math.korea.ac.kr/~ywkim/courses/2k8dg/dg2k8_ln_01_introduction.pdf Introduction]

Q: 질문 미분기하 연습문제에 관한 질문입니다^^ 강의록 80페이지에 있는 16번 문제에서 $[-1,1]$ 에서 정의 되고 $1$ 과 $-1$ 에서의 함수값이 $b$ 인 함수들의 집합 $F$ 중(모든 함수는 2번 미분 가능, 2계도함수는 연속)일때 그것을 $x$ 축으로 회전시켜 얻어진 회전 곡면의 넓이를 $A(f)$ 라 할 때 어떤 $g$ 가 있어 $A(g)\le A(f)$ (모든 $F$ 의 $f$ 에 대해)라면 즉 최소이면 $g$ 는 현수면 일부임을 보이라는 것인데 어떤 식으로 접근 해야 할지 잘 모르겠습니다…

답변 부탁드리겠습니다.^^

감사합니다.

A: 이 문제는 앞의 극소곡면의 방정식을 유도하는 과정을 회전면에 대해서 직접 적용해 보는 문제입니다. 경계점 $(-1,b),(1,b)$ 를 지나는 그래프를 갖는 함수 $g$ 에 대하여 $g$ 를 조금 움직여 봅니다. 즉 $g(x)+th(x)$ 라는 함수를 생각해 보지요. 여기서 $h(-1)=h(1)=0$ 이 되는 것만을 생각합니다. 그렇게 해서 $g(x)+th(x)$ 는 계속 같은 경계점을 지나는 그래프를 갖게 되지요. 그리고 회전면의 넓이함수를 구하고 (1학년 미적분의 회전면의 넓이를 써서), 이 넓이 $A(t)$ 가 $t=0$ 일 때 최소값을 가지므로 미분이 0이라고 놓고 계산하면 위와 같은 임의의 $C^2$ 함수 $h$ 에 대하여 이 미분값이 0이라는 조건이 $g$ 가 만족시켜야 할 조건을 미분방정식으로 줍니다. 그 방정식은 73쪽 한 가운데 있는 미분방정식과 똑같게 될거예요. 경계조건을 만족시키도록 그것을 풀면 똑같은 현수선을 얻게 되지요. 단지 이 경우에는 $1$ 과 $-1$ 에서 값이 $b$ 인 현수선이겠지요.

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