김영욱

미분가능다양체론의 강의목표는 다양체의 구조를 밝히는 몇 가지 일반적인 방법 가운데 하나인 de Rham – Hodge 의 이론이다. 전체적인 내용은 Frank Warner의 유명한 교과서인 Foundations of Differential Manifolds and Lie Groups 를 따른다. 이 교과서는 매우 잘 쓴 것이지만 한 학기에 맞추기 위하여 다른 책과 병행해서 나간다. 강의의 스타일은 내용을 따라가되 많은 복잡한 정리의 증명은 빼고 … Read more

= 2004년도 2학기 선형대수 강의의 개요 = 1학기에 공부한 행렬과 벡터에 대한 선형대수학은 어떤 의미에서 구체적인 대상(좌표를 가지고 실수로 표현된)을 다루는 방법을 익힌 것이라고 할 수 있다. 이 때 익힌 내용을 간단히 요약하면 다음과 같다. 1차연립방정식의 이론 1차함수(linear transformation)의 이론 내적의 이론 고유값, 고유벡터의 이론 2차함수(quadratic form)의 이론 등이다. 이러한 내용은 선형대수학에서 typical한 내용이다. 선형대수학의 … Read more

Change of Basis Formula Duality Multilinear Algebra

숙제 문제를 올려 놓을 것입니다. 답도 올리지요. 형식은 LaTeX을 사용합니다. [숙제1] = [숙제2] = [숙제3] 새로운 보너스 숙제 각 문제에 대하여 옳은 두 개의 답이 제출되면 (하나는 full credit, 하나는 half credit) 시간이 되는대로 답을 이곳에 올릴 것입니다. [숙제4] = [숙제5] = 제출된 숙제의 순서등 현황입니다.   ”’숙제현황”’   ”’문제”’ ”’제출자1”’ ”’제출자2”’ ”’제출자3”’   ”’비고”’ … Read more

추석 전까지 공부한 내용입니다. (TableOfContents) 1차함수 1학기 때 1차함수는 말 그대로 변수( $ x_1,…,x_n $ )의 일차함수를 말하는 것이었다. 이제 변수벡터가 단순히 숫자의 나열로 이루어진 $ \mathbb{R}^n $ 의 벡터가 아닌 일반적인 벡터공간의 벡터인 경우에는 어떻게 주어진 함수가 일차함수라는 사실을 알아낼 수 있는가? 이것을 제대로 하려면 일차함수가 되기 위한 조건을 변수에 대한 1차식이라는 것 말고 … Read more

[wiki:선형대수숙제: 위로] 숙제 4 ”’이 숙제를 하면서 Mathematica 사용법에 대한 질문이 생기면 [Mathematica사용법]에서 질문하시오.”’ ”’1.”’ 다음 행렬의 Jordan Form을 계산하는 과정과 그의 설명을 Mathematica의 노트북(*.nb 파일)으로 만들어서 제출할 것. 7/6   5/3   -1/2   1/3   -1/6 1/3   4/3   2   -4/3   2/3 1   -2   5   -3   … Read more

숙제 문제를 올려 놓을 것입니다. 답도 올리지요. 형식은 LaTeX을 사용합니다. [숙제1] = [숙제2] = [숙제3] 새로운 보너스 숙제 각 문제에 대하여 옳은 두 개의 답이 제출되면 (하나는 full credit, 하나는 half credit) 시간이 되는대로 답을 이곳에 올릴 것입니다. [숙제4] = [숙제5] = 제출된 숙제의 순서등 현황입니다.   ”’숙제현황”’   ”’문제”’ ”’제출자1”’ ”’제출자2”’ ”’제출자3”’   ”’비고”’ … Read more

D. Determinants, Jordan form, Euclidean structures. \begin{enumerate} \item If $A$ and $B$ are linear transformations such that $AB=0$, $A\neq0$, $B\neq0$, then $\det A=\det B=0$. \item Prove the following and see if the converse is true. \begin{enumerate} \item If $A$ and $B$ are similar, then $\det A=\det B$. \item If $A$ and $B$ are similar, then … Read more

= 풀이 3 = C.1 번 이 문제에는 선형변환 $A,B$가 정의되어 있는 벡터공간에 대한 언급이 없다. 이 벡터공간이 유한차원 공간이라는 조건이 없으므로 이 변환을 행렬로 바꾸어 쓸 수도 없고, rank나 determinant를 쓸 수도 없다. 할 수 없이 invertible의 정의나 이와 동치인 isomorphism이라는 사실을 보인다. 즉, (\(\Rightarrow\))는 간단히 \((B^{-1}A^{-1})(AB)=Id\) 임을 확인하는 식으로 끝나지만, (두 개씩 두 … Read more

(TableOfContents) B.1 번 직접 계산하여 보일 것. B.2 번 $y$는 \(V\) 위에 정의된non-zero linear function 이므로 \(p\in V\) 가 존재하여 \(y(p)=q\neq 0\) 가 된다. 이제 임의의 스칼라 $α$에 대하여 \(\alpha p/q\) 에서 $y$의 값을 계산하여 보면 \[ y\left(\frac{\alpha p}q\right) = \frac{\alpha}q y(p) = \alpha \] 이므로 \(y(x)=\alpha\) 인 $x=\dfrac{\alpha p}q∈ V$가 존재한다. (박배준의 답) B.3 … Read more