도우미 선생님이랑 페이지

1. 10월 9일 업데이트 하였습니다. 확인해주세요.
2. 중간고사 전까지 토요일에 연습합니다.
3. 아래 문제 다보고 개념 체크할 분은 파일에 있는 문제 풀어보세요.

geometryexcise1.pdf

1. 다음 주 토요일 18일 오전 10시 107호에서 연습 합니다.
2. 18일에 오실 때 중요 식들과 전개과정 등은 외우고 오세요.
3. 질문에 대한 답을 메일로 발송하였습니다.
4. 11월 5일 미분기하 수업 후 미분기하 문제풀이 연습 시간을 정할 생각입니다. 도우미 신청한 분은 남아주세요. 메일도 확인해주세요.
5. 11월 12일 미분기하 수업 후 다음 주 미분기하 연습시간을 정할 생각입니다. 도우미연습 참석하실 분들은 남아주세요.

1. 11월 17일 연습 오실 때 미리 공부하고 오세요. differential_geometry_poincare_plane.pdf
2. 24일 연습 오시기 전에 풀어보고 오세요.24NOV08.pdf 24NOV08ans.pdf
3. 12월1일에 한 문제입니다. differengeo01DEC08.pdf
4. 12월 6일 오전 9-12시까지 질문 받습니다. 책 가지고 오셔서 같이 기말 공부해도 좋아요.
5. 기말고사 후 LaTeX같이 공부하실 분 연락주세요. donsen2 at 핫메일.com
6. 미분기하2 공부하신다고 수고 많으셨어요.

17 DEC 08 donsen

”’Q”’:

1. 내적이 만족해야 하는 성질 4가지를 안다.
2. (5.3)을 증명한다.
3. \[ = ( f_1^* )^2+2 ( f_1^* )( f_2^*)+ ( f_2^*)^2 \] 내적이 이렇게 되는 것을 안다.
4. 계량기가 있으면 알 수 있는 것인 길이, 각도, 넓이에 대해 그 이유를 설명하라.
5. 예제 41을 푼다.
6. 예제 42을 푼다.
7. 예제 43을 푼다.
8. page122, 연습문제 2번을 푼다.
9. 구면좌표에서 계량기를 계산하라.
10. 직사영으로 지도를 만들어서 계량기를 계산하라.
11. 북극점에서 입체사영을 이용하여 계량기를 계산하라.
12. page129 연습문제 1번을 푼다.
13. Mainardi-Codazzi equation이 성립함을 자세히 보인다.
14. page 140 아래에 있는 회전면에 관한 크리스토펠 기호를 구하여라. find \[ \Gamma_{11}^1 , \Gamma_{11}^2 , \Gamma_{12}^1 , \Gamma_{12}^2 \] \[ \Gamma_{21}^1 , \Gamma_{21}^2 , \Gamma_{22}^1 , \Gamma_{22}^2 \]
15. page 146 Thm 6.1을 증명하여라.
16. 공변미분의 정의를 쓰고 그 식이 intrinsic quantity임을 보여라.
17. \[ k^2=k_{g}^2+K_{n}^2 \] 를 설명하여라.
18. page 152 정리7.1를 증명하여라.
19. page 162 연습문제1을 푼다.
20. page 162 연습문제2를 푼다.
21. 다음 torus의 surface area (표면적)을 구하여라.

\[ x(\theta,\phi)=((b+a \sin \phi) \cos \theta,(b+a \sin \phi) \sin \theta , a \cos \phi) \]

1. page156 연습문제2를 푼다. \[k=[-(({\frac{E_v}{2 \sqrt{EG}}})_v+({\frac{G_u}{ 2 \sqrt{ E G }}})_u)] \frac{1}{\sqrt{EG}} \]

2. Gauss-Bonnet formula를 이용하여 아래 다각형 S의 내각의 합을 구하여라.

   \[ C_1: 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \phi = \frac{\pi}{4} \]

   \[ C_2: \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \]

   \[ C_3: 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \phi = \frac{\pi}{2} \]

   \[ C_4: \theta =0 , \frac{\pi}{4} \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \]

   \[ C_2,C_3,C_4 \] 는 곧은 선이다.

답은 \[ 2 \pi \] 입니다.

1. 예제 53을 푼다.
2. 예제 54를 푼다.
3. 아래와 같이 계량기가 주어지면 \[g_{11}=g_{22}= \frac{1}{y^2},g_{12}=g_{21}=0 \] (0,1)에서 (1,1)로 가는 곧은 선은 어떻게 생겼는가?
4. page175 연습문제2, 쌍곡 평면의 가우스 곡률은 얼마인가?
5. page176 예제55, 새로운 내적 \[ _1=(v_1 v_2) \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1& 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} \] 에서 \[ {}_1 \] 에 의한 (1,0)의 길이와 (1,0)과 (0,1)사이의 각도는 얼마인가?

1. page179 소 정리를 이해한다. page180 따름정리 2.3을 이해한다. page181 소 정리과 page182 정리 2.4를 안다.

30.page183 정리3.1 \[ \cosh{c}=\cosh{a} \cdot \cosh{b} \] 을 이해한다.

1. 쌍공평면 상에서 각 \[ \anlge \] B가 90도인 \[ \triangle ABC \] 삼각형이 있다. \[ \bar{BC} \] 의 길이가 \[ \ln{5} \] 이고 \[ \bar{AB} \] 의 길이가 \[ \ln{13} \] 이면 \[ \bar{AC} \] 의 길이는 얼마인가? 그 길이가 \[ \ln{(17+ 12 \sqrt{2} )} \] 인 것을 확인하라.

32.page188 정리4.1을 이해한다.

1. 다음을 증명하시오. \[ \cos{\alpha}=\frac{\tanh{b}}{\tanh{c}} \]

34.page192 연습문제1을 증명하시오. \[ \cosh{a} = \frac{\cos{\cos{\beta}} \cos{\cos{\gamma}} + \cos{\alpha}}{\sin{\beta} \sin{\gamma}} \]

page192__ex2.pdf

1. 곧은 선을 보존하고 상반 평면을 상반 평면으로 보내는 변환 5가지를 이해한다.

36.page203 정리1.2를 이해한다.

37.page205 정리1.3을 이해한다.

38.page208 선형 분수 변환(fractional linear transformaion)을 이해한다.

1. (fractional linear transformaion) -1은 0, \[ \infty \] 은 1, i는 \[ \infty \] 로 (mapping)보내는 선형 분수 변환을 찾아라.
2. 정리2.3 2.6을 이해한다.
3. 예제58, 상반 평면에서 \[ f_(z)=\frac{z-1}{z+1} \] 은 회전,평행이동, 반사 중 어느 것인지 판단하라.
4. 상반 평면에서 점 p, 점q 를 연결하는 곧은 선은 유일한가?

[0] 양성덕, 미분기하 강의록

[1] 고바야시 쇼시찌, (곡선과 곡면의)미분기하학.

[2] John Oprea, Differential Geometry and Its Applications 2nd ed.

[3] Gray, Alfred, Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica 3rd ed.

[4] Lipschutz, Martin M,Schaum’s outline of theory and problems of differential geometry.

[5] Greg Martin, Greg Martin’s math page of The University of British Columbia.

[6] 윤갑진, 미분기하학.

[7] 김강태, 미분기하학.

[8] Saul Stahl, A Gateway to Modern Geometry 2nd ed.

[9] James W. Anderson, Hyperbolic Geometry.

[10] Theodore W. Gamelin, Complex Analysis.

[12] Goldman, William Mark, Complex hyperbolic geometry.