미분기하학II 2K7 가을학기

• 기말시험 채점 결과네요. (160024:0.5점, 160009:6—점, 160145:1-점, 160002:5.5점, 160011:4.5점, 950168:3.5점, 160135:3점, 160085:1.5점, 741002:0점) 성적은 시험 안 본 사람들도 있어서 본 사람들은 모두 pass할 것 같군요. 한 학기 동안 고생 많이 했어요. 그래도 고생한 보람이 있었으면 좋겠어요.
• (12/4) 이제서야 중간시험 채점을 했네요. 성적을 적어둡니다. 한 문제당 1점씩으로 채점했어요. (7점:160002, 6점:160011, 5.5점:160009, 4.5점:160085,160135,950168, 2.5점:160024) 입니다.
• (10/7) 1학기 이야기까지 다 하느라 진도가 조금 늦군요. 이제 한 3주 동안 조금 빨리 나갈겁니다. 미리 무슨 이야기가 있는지 읽어보고 오세요. motivation은 조금 생략할께요.
• 아래 공지 이후에 두 사람이 이름을 적었지만 사실 그 이전에 이미 강의록을 주문하여서 2학기 강의록만이 나왔습니다. 수학과 사무실에서 복사/제본비를 내고 받아가세요. 1학기 부분을 원하는 사람은 다시 내게 말해주세요.
• (9/4) 강의록은 2학기 강의록만을 제본할까 하고 있습니다. 그렇지만 혹시 양성덕교수님의 1학기 강의록도 한꺼번에 제본하기를 원하는 사람은 내게 e-mail하던가 아니면 여기에 이름을 남겨주세요. (참고로 양교수님의 1학기 강의록의 오타와 내용을 많이 고쳤고 그림도 새로 들어간 것이 많습니다.)

Xun Jiang(exchange student)

• 숙제 문제에 힌트를 추가하고 틀린 글자를 바로잡고, 풀이도 달았습니다: 2k7_dg_mid_hw_sol.pdf
• (10/18) 숙제 파일 하나 올라갑니다. 이 문제들도 풀어보세요. 계산을 모두 검토하지 못했기 때문에 앞의 문제는 계산이 이상하면 내게 알려주세요. 2k7_dg_mid_hw.pdf

10월 8일 강의록: dg2k7_ln_05_egregium.pdf , dg2k7_ln_06_geodesic.pdf

구면삼각법: mm03_sph_trig.pdf

Q:

Q: 교수님, 강의록 page120, 정리 3.2의 증명(K는 내재적 양이다)에 Γ과 L 이 나오는데 이것들이 식에서 무엇을 의미하는 것입니까?

• 04수학과 이동선

  A: 시간에 설명했지요? 이것들은 $ X_{ij} $ 를 basis의 일차결합으로 나타내려고 할 때의 계수로 정의됩니다. 즉 이 basis에 대한 성분 또는 좌표이지요. 이 식이 Gauss의 공식입니다.

Q: 미분기하 강의록103page (5.3) $ < e_1,e_2 > < e_2,e_2 > – < e_1,e_2 > < e_2,e_1 > > 0 $ 이 (1),(2)에서 나왔다고 하는데 이해가 안갑니다. 어떻게 한거죠? (힌트라도 살짝..)

• 04수학과 이동선

A: 이것은 그냥 한 줄로 나오는 그런 것은 아닙니다. 어려운 이론을 써서 제일 쉽게 알 수 있는 방법의 하나는 다음과 같이 생각하는 겁니다: 우선 책의 같은 page의 (5.2)의 행렬이 대칭행렬이므로 단위고유벡터를 basis로 써서 대각화할 수 있습니다. 그리고 나면 두 개의 고유값은 양수가 돼야 합니다.(왜냐하면 그 고유벡터 $ v $ 를 $ < v,v > $ 할 때 고유값이 곱해지니까요.) 그런데 (5.3)의 행렬식의 값은 새 basis에 대하여 써도 같은 값이 되는데, 이 새 행렬의 행렬식은 두 고유값의 곱이 되지요. 물론 양수이고요. 이보다 조금 간단하게 계산하는 방법은 이 행렬을 완전제곱으로 바꾸는 것입니다. 그런데 직교변환을 하지 않고 다음과 같이 하는 거지요. (어려운 이론을 안 쓰는 대신 이것은 설명이 없는 그냥 계산입니다.) \[ = ax^2+ 2bxy+cy^2=a(x+ \frac{b}{a} y)^2 + \frac{1}{a} (-b^2+ac) y^2 \] 이니까 모든 $ (x,y) $ 에 대하여 위의 식이 양수가 되려면 $ a>0 $ 이고 $ ac-b^2>0 $ 이라야 하겠지요? 이건 한 줄로 나왔네요. 하지만 $ n× n $ 행렬에 대하여 증명하려면 계산이 조금 길지요. 그리고 왜 꼭 행렬식이라야 하는지 설명이 어렵고요. – 김영욱

Q: 교수님 감사합니다. 앞부분 설명은 잘이해하지 못하겠으나 아래 식을 보니 이해가 갑니다. 하지만 \[ \frac{1}{a} (b^2-ac) y^2 \] 의 부호가 반대로 적혀 있습니다.

• 04수학과 이동선 A: 아 맞아요.

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