공지사항
- 숙제 제출은 Exercises section 하나씩 제출합니다. ”’숙제 제출 기한은 각 절을 시작한 날로부터 1주일”’입니다. 예를 들면 1.4절을 월요일에 시작했으면 다음 주 월요일 ”’강의시간 전까지”’ 1.4절의 문제를 풀어 제출합니다. 숙제 제출은 숙제 제출 박스를 이용합니다.
- 숙제: 2k11s_LA_exercises.pdf : 이 파일은 계속해서 업데이트 됩니다.
(UploadFile)
연습
- 2011년 6월10일까지 숙제함에 숙제 넣어 두겠습니다. 찾아가세요.
- 2011년 6월08일 Least Square solution, Orthogonal Bases and A=QR Factorization.
- Gram-Schmidt Process and QR Fatorization gramschmit.txt (MATLAB)
- Orthogonal Vectors and Projections aa7.pdf
- 2011년 4월20일 연습합니다.
- 2011년 4월13일 연습 aa6.pdf
- 2011년 4월06일 연습 aa5.pdf
- 2011년 3월30일 연습 aa4.pdf
- 2011년 3월23일 연습 aa3.pdf
- 2011년 3월16일 연습 maa2.pdf
- 2011년 3월 9일 연습 aa1.pdf
- 숙제함은 아산이학관 5층 수학토론방 안쪽에 있습니다.
질문
Q. 어떤 matrix가 R^2의 공간의 어떤 평면 P를 nullspace로 두고 있다는 것이 무슨 의미인가요? 어떻게 이 martix 를 구해야 하는지요. 헷갈려서 질문드립니다.. 감사합니다. (물리학과 2005160042)
Q. 3.3 절에서 질문드립니다. (물리학과 2010160147) A가 independent columns 를 가지면 A^T A 가 square, symmetic, invertible 인 이유가 무엇인가요?
-> \[ A \] 가 \[ (m \times n) \] 이라면 \[ A^T A \] 는 ( \[ n \] by \[ m \] ) times ( \[ m \] by \[ n \] )가 되어서 그 결과는 ( \[ n \] by \[ n \] ) square가 되겠지요. 그리고 \[ (A^T A)^T=(A^T A) \] 이므로 symmetric입니다. invertible 인 이유는 \[ A \] 와 \[ A^T A \] 가 같은 nullspace를 가지고 있기 때문입니다. 답이 되었나요?
Q. 3.3절에서 질문드립니다. (물리학과 2007160095)
162쪽에 figure 3.8에서 질문드립니다. A의 Column space C(A)와 error vector(b-p)는 서로 orthogonal complement 인가요?
우선, e가 C(A)의 모든 vector들과 수직하고, 두 subspace의 dimension을 합하면 전체 공간 R^3 이 되니까 서로 orthogonal complement가 되는 것 같은데… 서로 orthogonal complement이려면 두 subspace 모두 0벡터를 포함해야 하고, 0벡터에서만 만나야 하는 것 아닌가요? 그러한 것에 대한 설명없이 orthogonal complement라고 해도 되는지… (164쪽에 projection matrix에 대한 설명에서도 두 개가 서로 orthogonal complement라고 나와있던데…)
아; 다시 생각해보니까…두 subspace의 교집합이 0벡터밖에 없는게 맞군요…ㅜㅜ (점에서 만나니까)
제가 0벡터를(0,0,0)에서 만나야한다는 것과 혼동했네요…
Q. rank(AB)\(\leq\) rank(A)이 성립하는 이유는?
AB는 column A의 linear combination이기 때문입니다.
Q. 물리학과 2005160016 2.2 절에 figure2.2 의 complete solution에 관한 질문입니다.
그림에서는 particular solution두 가지를 표현해 놨는데 (1,1) 은 shortest 이고 (2,0) 은 매트랩의 솔루션이라고 되어있습니다. 본문에서는 이 식에서의 complete sol.을 구하는 과정에서 particular sol. 을 (1,1)로 하여 complete sol.을 (1-c,1+c)라 했습니다.
그런데 이때 particular sol.을 (2,0)으로 하면 complete sol. 이 (2-c, c) 가 되는데 이렇게 해도 맞는건가요?
complete sol.이 반드시 하나만 존재하는건지 아니면 이렇게 particular sol.의 설정에 따라 무한히 바뀔수 이는건지 헷갈립니다…
”’A”’: 이 두 solution은 같은 solution입니다. $ (2-c,c)=(1-(c-1), 1+(c-1))=(1-d,1+d) $ 이므로 두 표현이 나타내는 해 전체의 집합은 같은 집합입니다. 우리가 solution이라 하면 solution의 표현 형태를 말하는 것이 아니라 solution의 집합을 말하는 것이지요. 이것은 고등학교때 다 배운 것인데… 대부분 정의를 기억하지 못하지요. 이런 기회에 고등학교때 공부한 것들을 되돌아볼 필요가 있어요.
Q. 첫 번째 질문입니다. (물리학과 2007160095)
2.4절에 Existence of inverses에 관해서 질문드립니다.
UNIQUENESS: Full column rank r = n. Ax = b has at most one solution x for every b if and only if the columns are linearly independent. Then A has an n by m left-inverse B such that BA = I”'(n by n)”’. This is possible only if m > n.
In the uniqueness case, if there is a solution to ”’Ax = b”’, it has to be x = BAx = Bb. But there may be no solution. The number of solutions is 0 or 1.
여기에서, 이 uniqueness의 경우에는 A가 left-inverse를 갖잖아요. 그런데 바로 위에 굵게 표시한 식에 x 대신에 Bb를 넣어보면,
A(Bb)=b 이고,
즉, (AB)b=b 이므로 AB=I”'(m by m)”’ 가 되어, A는 left-inverse 뿐만 아니라 right inverse도 갖게 되는 것 아닌가요 ??
→ Ax=b에 근이 없을 수도 있겠지요.
→ 그렇다면,근이 있으면 right inverse도 갖게 되는 것인가요?
A: $ ABb=b$ 라고 해서 $ b$ 를 양변에서 지우고 $ AB=I$ 를 얻을 수 없어요. – 김영욱
→ ”ABb = b” 를 만족하는 AB가 반드시 I일 필요는 없지만, AB = I 이어도 등식이 성립하잖아요? 양변에서 b를 지울 순 없지만, 직관적으로 AB = I 라고 생각할 수 있지 않나요?
A: 우선 $ AB$ 는 $ I$ 가 될 수가 없어요. 정사각행렬이 아닌 $ A$ 중에서 $ AB=I$ 가 되는 경우가 왜 존재할 수 없는지 생각해 보세요. (물론 $ m>n$ 일 때 입니다.)
직관적으로 생각한다는 것이 무슨 뜻인가요? 한번 이렇게 되는 A, B, b를 하나 만들어서 계산하면서 어떻게 되는지 해보세요. 이 구체적인 계산에서 $ ABb=b$ 이지만 $ AB¬=I$ 인 것을 확인해 보세요.