선형대수 I (2011 봄)

공지사항

숙제 제출은 Exercises section 하나씩 제출합니다. ”’숙제 제출 기한은 각 절을 시작한 날로부터 1주일”’입니다. 예를 들면 1.4절을 월요일에 시작했으면 다음 주 월요일 ”’강의시간 전까지”’ 1.4절의 문제를 풀어 제출합니다. 숙제 제출은 숙제 제출 박스를 이용합니다.
숙제: 2k11s_LA_exercises.pdf : 이 파일은 계속해서 업데이트 됩니다.

(UploadFile)

연습

2011년 6월10일까지 숙제함에 숙제 넣어 두겠습니다. 찾아가세요.
2011년 6월08일 Least Square solution, Orthogonal Bases and A=QR Factorization.
Gram-Schmidt Process and QR Fatorization gramschmit.txt (MATLAB)
Orthogonal Vectors and Projections aa7.pdf
2011년 4월20일 연습합니다.
2011년 4월13일 연습 aa6.pdf
2011년 4월06일 연습 aa5.pdf
2011년 3월30일 연습 aa4.pdf
2011년 3월23일 연습 aa3.pdf
2011년 3월16일 연습 maa2.pdf
2011년 3월 9일 연습 aa1.pdf
숙제함은 아산이학관 5층 수학토론방 안쪽에 있습니다.

질문

Q. 어떤 matrix가 R^2의 공간의 어떤 평면 P를 nullspace로 두고 있다는 것이 무슨 의미인가요? 어떻게 이 martix 를 구해야 하는지요. 헷갈려서 질문드립니다.. 감사합니다. (물리학과 2005160042)

Q. 3.3 절에서 질문드립니다. (물리학과 2010160147) A가 independent columns 를 가지면 A^T A 가 square, symmetic, invertible 인 이유가 무엇인가요?

-> $A$ 가 $(m \times n)$ 이라면 $A^{T} A$ 는 ( $n$ by $m$ ) times ( $m$ by $n$ )가 되어서 그 결과는 ( $n$ by $n$ ) square가 되겠지요. 그리고 $(A^{T} A)^{T} = (A^{T} A)$ 이므로 symmetric입니다. invertible 인 이유는 $A$ 와 $A^{T} A$ 가 같은 nullspace를 가지고 있기 때문입니다. 답이 되었나요?

Q. 3.3절에서 질문드립니다. (물리학과 2007160095)

162쪽에 figure 3.8에서 질문드립니다. A의 Column space C(A)와 error vector(b-p)는 서로 orthogonal complement 인가요?

우선, e가 C(A)의 모든 vector들과 수직하고, 두 subspace의 dimension을 합하면 전체 공간 R^3 이 되니까 서로 orthogonal complement가 되는 것 같은데… 서로 orthogonal complement이려면 두 subspace 모두 0벡터를 포함해야 하고, 0벡터에서만 만나야 하는 것 아닌가요? 그러한 것에 대한 설명없이 orthogonal complement라고 해도 되는지… (164쪽에 projection matrix에 대한 설명에서도 두 개가 서로 orthogonal complement라고 나와있던데…)

아; 다시 생각해보니까…두 subspace의 교집합이 0벡터밖에 없는게 맞군요…ㅜㅜ (점에서 만나니까)

제가 0벡터를(0,0,0)에서 만나야한다는 것과 혼동했네요…

Q. rank(AB) $\leq$ rank(A)이 성립하는 이유는?

AB는 column A의 linear combination이기 때문입니다.

Q. 물리학과 2005160016 2.2 절에 figure2.2 의 complete solution에 관한 질문입니다.

그림에서는 particular solution두 가지를 표현해 놨는데 (1,1) 은 shortest 이고 (2,0) 은 매트랩의 솔루션이라고 되어있습니다. 본문에서는 이 식에서의 complete sol.을 구하는 과정에서 particular sol. 을 (1,1)로 하여 complete sol.을 (1-c,1+c)라 했습니다.

그런데 이때 particular sol.을 (2,0)으로 하면 complete sol. 이 (2-c, c) 가 되는데 이렇게 해도 맞는건가요?

complete sol.이 반드시 하나만 존재하는건지 아니면 이렇게 particular sol.의 설정에 따라 무한히 바뀔수 이는건지 헷갈립니다…

”’A”’: 이 두 solution은 같은 solution입니다. $(2 - c, c) = (1 - (c - 1), 1 + (c - 1)) = (1 - d, 1 + d)$ 이므로 두 표현이 나타내는 해 전체의 집합은 같은 집합입니다. 우리가 solution이라 하면 solution의 표현 형태를 말하는 것이 아니라 solution의 집합을 말하는 것이지요. 이것은 고등학교때 다 배운 것인데… 대부분 정의를 기억하지 못하지요. 이런 기회에 고등학교때 공부한 것들을 되돌아볼 필요가 있어요.

Q. 첫 번째 질문입니다. (물리학과 2007160095)

2.4절에 Existence of inverses에 관해서 질문드립니다.

UNIQUENESS: Full column rank r = n. Ax = b has at most one solution x for every b if and only if the columns are linearly independent. Then A has an n by m left-inverse B such that BA = I”'(n by n)”’. This is possible only if m > n.

In the uniqueness case, if there is a solution to ”’Ax = b”’, it has to be x = BAx = Bb. But there may be no solution. The number of solutions is 0 or 1.

여기에서, 이 uniqueness의 경우에는 A가 left-inverse를 갖잖아요. 그런데 바로 위에 굵게 표시한 식에 x 대신에 Bb를 넣어보면,

A(Bb)=b 이고,

즉, (AB)b=b 이므로 AB=I”'(m by m)”’ 가 되어, A는 left-inverse 뿐만 아니라 right inverse도 갖게 되는 것 아닌가요 ??

→ Ax=b에 근이 없을 수도 있겠지요.

→ 그렇다면,근이 있으면 right inverse도 갖게 되는 것인가요?

A: $A B b = b$ 라고 해서 $b$ 를 양변에서 지우고 $A B = I$ 를 얻을 수 없어요. – 김영욱

→ ”ABb = b” 를 만족하는 AB가 반드시 I일 필요는 없지만, AB = I 이어도 등식이 성립하잖아요? 양변에서 b를 지울 순 없지만, 직관적으로 AB = I 라고 생각할 수 있지 않나요?

A: 우선 $A B$ 는 $I$ 가 될 수가 없어요. 정사각행렬이 아닌 $A$ 중에서 $A B = I$ 가 되는 경우가 왜 존재할 수 없는지 생각해 보세요. (물론 $m > n$ 일 때 입니다.)

직관적으로 생각한다는 것이 무슨 뜻인가요? 한번 이렇게 되는 A, B, b를 하나 만들어서 계산하면서 어떻게 되는지 해보세요. 이 구체적인 계산에서 $A B b = b$ 이지만 $A B \neg = I$ 인 것을 확인해 보세요.